第17讲 指数函数及其性质-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第17讲 指数函数及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点2 常用结论 （1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. （2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. （3）当底数大小不定时，必须分“ a 1”和“ 0 a 1 ”两种情形讨论． （4） 当 0 a 1 时， x , y 0 ；当 a 1时 x , y 0 ． 当 a 1时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快． 当 0 a 1 时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快． （5）指数函数 与 的图象关于 y 轴对称． 函数①；② ；③ ；④ 的图象如图 1-3-1 所示，则 0＜b＜a＜1＜d＜c； 即 x(0，+∞)时，（底大幂大）；x(－∞，0)时，． （6）特殊函数：函数 的图象如图 1-3-2 所示． 知识点3 指数式大小比较方法 （1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． （2）中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． （3）分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． （4）比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若 A B 0 A B ； A B 0 A B ； A B 0 A B ； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 ，或 即可． 教材习题01 求函数在区间上的最大值和最小值． 解题方法 解：令， 则原函数转化为， 当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 【答案】最大值为9；最小值为. 教材习题02 （1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？ （2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的性质”，谈谈你对该观点的看法．    解题方法 （1）根据指数函数的图象知，指数函数的定义域为R；值域为；图象都过点； 当时，函数在R上单调递减，当时，函数在R上单调递增； 当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则； 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称； 几个指数函数图象在y轴右侧，具有底数越大，图象越高的特点. （2）因为指数函数的图象直观地反映了指数函数的性质，所以理解了指数函数的图象就掌握了指数函数的性质.. 【答案】见解析 教材习题03 已知，比较，，的大小． 解题方法 解：因为， 所以， 又因为， 所以指数函数在R上递减， 所以. 【答案】 考点一 指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 4．若函数是指数函数，则 ． 5．（1）已知函数是指数函数，且，则 ． （2）指数函数的图象过点，则 ， ． 6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 考点二 指数型函数图象恒过定点问题 1．函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 5．函数（，且）的图象过定点 ． 考点三 指数函数图象的应用 1．函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（   ） A． B． C． D． 2．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 （多选题）3．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． （多选题）4．已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． （多选题）5．下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 6．定义运算：设函数，则下列真命题的序号是 ． ①的值域为； ②的值域为； ③不等式的解集是； ④不等式的解集是． 考点四 指数函数的定义域和值域 1．函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 ，值域是 ． 3．函数的定义域是 ． 4．已知函数的值域为，且，则 . 5．求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 6．已知是偶函数． (1)求的解析式； (2)求的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围． 考点五 指数函数的单调性及最值问题 1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． （多选题）3．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 4．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域； (3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围. 5．已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 6．已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 考点六 比较大小 1．设实数，满足，则（  ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 5．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 知识导图记忆 知识目标复核 1．指数函数的概念 2．指数函数的图象与性质 3．比较大小 4. 恒过定点 一、单选题 1．若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 2．已知是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则为偶函数 B．若为奇函数，则为奇函数 C．若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D．若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 9．已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．定义“真指数”：（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 12．已知函数，若，则实数 ． 13．已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 四、解答题 14．已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值，并判断的单调性（不需要证明）； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 15．已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 16．已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 17．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 18．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 19．已知定义在上的偶函数满足：当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 20．已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 指数函数及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点2 常用结论 （1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. （2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. （3）当底数大小不定时，必须分“ a 1”和“ 0 a 1 ”两种情形讨论． （4） 当 0 a 1 时， x , y 0 ；当 a 1时 x , y 0 ． 当 a 1时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快． 当 0 a 1 时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快． （5）指数函数 与 的图象关于 y 轴对称． 函数①；② ；③ ；④ 的图象如图 1-3-1 所示，则 0＜b＜a＜1＜d＜c； 即 x(0，+∞)时，（底大幂大）；x(－∞，0)时，． （6）特殊函数：函数 的图象如图 1-3-2 所示． 知识点3 指数式大小比较方法 （1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． （2）中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． （3）分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． （4）比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若 A B 0 A B ； A B 0 A B ； A B 0 A B ； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 ，或 即可． 教材习题01 求函数在区间上的最大值和最小值． 解题方法 解：令， 则原函数转化为， 当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 【答案】最大值为9；最小值为. 教材习题02 （1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？ （2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的性质”，谈谈你对该观点的看法．    解题方法 （1）根据指数函数的图象知，指数函数的定义域为R；值域为；图象都过点； 当时，函数在R上单调递减，当时，函数在R上单调递增； 当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则； 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称； 几个指数函数图象在y轴右侧，具有底数越大，图象越高的特点. （2）因为指数函数的图象直观地反映了指数函数的性质，所以理解了指数函数的图象就掌握了指数函数的性质.. 【答案】见解析 教材习题03 已知，比较，，的大小． 解题方法 解：因为， 所以， 又因为， 所以指数函数在R上递减， 所以. 【答案】 考点一 指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故. 【详解】方法一：， 令，解得，故定义域为， 则， 因为是奇函数，所以，即， 故，因此； 方法二：，故， 即，故，解得， 故， 令，解得，故定义域为， 所以，故为奇函数. 故选：A. 3．若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 4．若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 5．（1）已知函数是指数函数，且，则 ． （2）指数函数的图象过点，则 ， ． 【答案】 125 【详解】（1）设（且），且，所以，则，故，所以． （2）设（且），则，则，故， 所以. 6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】结合指数幂的运算，根据奇函数的性质求解即可. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以， 所以. 故答案为： 考点二 指数型函数图象恒过定点问题 1．函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点. 【详解】根据题意，函数中， 令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点. 故选：A 2．已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D 3．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 4．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 5．函数（，且）的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据，可得指数型函数定点. 【详解】令得，此时， 故函数（，且）的图象过定点． 故答案为：. 考点三 指数函数图象的应用 1．函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定定义，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得函数不是向心函数，A不是； 对于B，点在函数图象上，且成立，函数是向心函数，B是； 对于C，由，得函数不是向心函数，C不是； 对于D，由，得函数不是向心函数，D不是. 故选：B 2．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得. 【详解】令函数，， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误； 对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确. 故选：D （多选题）3．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令，若，则；若，则；若，则． （多选题）4．已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立 （多选题）5．下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【详解】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD 6．定义运算：设函数，则下列真命题的序号是 ． ①的值域为； ②的值域为； ③不等式的解集是； ④不等式的解集是． 【答案】①③ 【详解】由函数，得即作出函数的图象如图．根据函数图象知的值域为．由函数图象可知，当，即时，不等式成立，当即时也成立，所以不等式的解集是． 考点四 指数函数的定义域和值域 1．函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得. 【详解】由题意，令， 可知函数的定义域为，且， 故函数为奇函数， 根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为， 即， 故． 故选：B． 2．函数的定义域为 ，值域是 ． 【答案】 【详解】由题意知，解得，所以定义域为．因为，所以，所以． 3．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 4．已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 5．求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 6．已知是偶函数． (1)求的解析式； (2)求的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，求解即可； （2）结合基本不等式即可求解； （3）通过参变分离得到对恒成立．令，分离常数，求最值即可. 【详解】（1）． 因为是偶函数，所以， 即，整理得， 因为不恒成立，所以，即， 所以的解析式为． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为． （3）由对恒成立， 得对恒成立． 设函数，则． 因为，所以，所以， 所以， 所以，即的取值范围为． 考点五 指数函数的单调性及最值问题 1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解. 【详解】因为时，单调递减， 又在上单调递减， 所以时，单调递减，则只需满足解得. 故选：B. 2．已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在R上为增函数，可得，再求出函数的正负即可判断. 【详解】因为函数在R上为增函数，且是单调递增函数， 所以， 又因为函数定义域为， 且时，，排除A； 当时，；当时，； 所以C，D选项错误； 故选：B （多选题）3．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 4．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域； (3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由奇函数定义公式计算即可求解； （2）先将函数 简化成，再根据函数的单调性即可求解； （3）根据和的关系结合对称性定义公式得到，接着将题设不等式变形为，在结合的单调性即可分析求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以对有， 即，整理得， 则由的任意性得，所以. 此时，的定义域为R，且， 所以，. （2）， 在上单调递减，在上单调递减且， 函数在上的值域为. （3）由向左移1个单位，向上移1个单位得到， 所以关于对称，所以令， 则，即：， 由得， 在上单调递减，在上单调递减， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令得：对任意恒成立， 令，其对称轴为，， 所以 所以实数的取值范围是. 5．已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可， （2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又， 所以 （2）因为，所以， 所以不等式，可化为， 所以，所以， 由已知存在，使得成立， 所以，其中， 因为函数在上单调递减， 所以函数在的最小值为， 所以， 所以的取值范围为． 6．已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 考点六 比较大小 1．设实数，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分类讨论进行求解即可. 【详解】设，其中为参数 依题意有零点 易知为单调递增函数. 大致图象如下所示：    当时，    有, 即 即. 当时，    有, 即 即. 综上可知，. 故选：D. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 3．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【详解】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 4．已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则函数在上为减函数，所以， 故，则， 因为，故，故， 综上所述，. 故答案为：. 5．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数， 又，； （2），函数在上是减函数． 又，； 又，函数在上是增函数． 又，． 综上可知，． 知识导图记忆 知识目标复核 1．指数函数的概念 2．指数函数的图象与性质 3．比较大小 4. 恒过定点 一、单选题 1．若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数值 【分析】先根据判断函数是周期函数，再结合函数的奇偶性求函数值. 【详解】由于函数对任意都有， 所以，所以是周期为4的函数， 所以. 由于是奇函数，所以. 故选：A 2．已知是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】结合充分条件和必要条件的概念，以及指数函数的单调性，判断与之间的充分性和必要性. 【详解】当时，函数在单调递增，，故充分性成立. 当时，函数在单调递增，，但不能推出，故必要性不成立. 是的充分不必要条件. 故选:. 3．函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再结合，时函数值的情况判断即可. 【详解】由，定义域为， 而，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误； 当时，，，则，故BC错误， 当时，，，则，D符合题意. 故选：D. 5．已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以．易知的定义域为， 当时，，则；当时，，则， 所以的值域为． 故选：A． 6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得，所以的取值范围为， 由能推出，但是由得不出， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 7．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式，可得出实数的取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】当时，由可得，此时， 当时，由可得，此时， 所以，满足不等式的实数的取值范围是， 因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则为偶函数 B．若为奇函数，则为奇函数 C．若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D．若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断指数函数的单调性、函数基本性质的综合应用 【分析】ABD可举出反例，C可利用函数的周期性进行推导. 【详解】A选项，不妨设， 当时，，且， ，故为偶函数，但不是偶函数，A错误； B选项，令，当时，， ，，所以恒等于，单调递增且为奇函数， 当不是单调函数，也不是奇函数，B错误； C选项，为一个周期为的函数，则， 又为单调函数，所以， 则为一个周期为的周期函数，C正确； D选项，若的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分是否单调， 例如，单调递增，且单调递增， 但不是单调函数，D错误 故选：C 9．已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶函数对称性的应用 【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断的区间单调性，讨论、、一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系. 【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D 二、多选题 10．定义“真指数”：（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、函数新定义、由基本不等式比较大小 【分析】利用题中定义可判断AB选项；利用特殊值法可判断C选项；利用题中定义结合基本不等式可判断D选项. 【详解】设，根据题意作出函数的图象如下图所示： 则函数不存在减区间，且对任意的、， 当时，，，且， 对于A选项，当，时，则， 所以，合乎题意， 若，时，则， 所以，合乎题意， 若，，则，所以， 若，，同理可知， 综上所述，，A对； 对于B选项，①若，，则，合乎题意， ②若，，则， 若，则，此时， 若，则，此时， 故当，时，，合乎题意， ③若，，则，，合乎题意， ④若，，则，，，则，合乎题意. 综上所述，，B对； 对于C选项，不妨取，，则，，此时，C错； 对于D选项，若，，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，合乎题意， 若，，则，，合乎题意， 若，，则， 则，当且仅当时等号成立， 若，，同理可知， 综上所述，，D对. 故选：ABD. 三、填空题 11．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 12．已知函数，若，则实数 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数函数的判定与求值 【分析】利用分段函数解方程即可． 【详解】若，则，无解； 若，则，解得， 故答案为：1． 13．已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】首先设，再根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】设，， 因为函数是奇函数，. 故答案为： 四、解答题 14．已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值，并判断的单调性（不需要证明）； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，；减函数 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）利用奇函数得，进而解得，即可得函数的单调性； （2）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，得， 则，经检验符合题意. 又，所以是减函数. （2）由在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数. 所以，即在时恒成立， 所以， 又，当且仅当时等号成立 所以. 15．已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为R，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在R上递增， 则在R上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 16．已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、由奇偶性求参数、指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值； （2）求出的表达式，结合单调性得出，则的二次函数值域即可求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴， 即， 即恒成立， 则，得； （2）因为，且，， 因为单调递增， 所以，， 即 ， 设， 因为在上单调递增，所以， 故实数k的取值范围是． 17．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 18．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求指数函数解析式、由指数函数的单调性解不等式、指数幂的运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【详解】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 19．已知定义在上的偶函数满足：当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）设，由时的解析式及奇偶性，求出时的的解析式，即可得到的解析式； （2）利用是偶函数，将转化为，再根据在上单调性，继续转化为，将其两边同时平方后转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 因为当时，，所以， 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. （2）因为是定义在上的偶函数，且， 所以. 又因为在上单调递增， 在上也单调递增， 所以在上单调递增， 所以，两边同时平方可得， 即，即，解得. 所以不等式的解集为. 20．已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】指数幂的化简、求值、根据二次函数的最值或值域求参数、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与，进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为， 所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以，， ①当时，在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$