第四章 指数函数与对数函数-章末检测-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 4．若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，函数则的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 10．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围为 11．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数则 . 13．一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在 h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 14．已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（1）求的值； （2）若，用表示. 16．（15分）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)解不等式． 17．（15分）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 18．（17分）已知二次函数的两个零点分别是和3. (1)求b、c的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在内的值域. 19．（17分）取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”. 已知函数，若 (1)已知，若只有一个“不动点”，求的值； (2)函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和，即.证明：； (3)讨论的稳定点个数. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 4．若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，函数则的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 10．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围为 11．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数则 . 13．一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在 h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 14．已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（1）求的值； （2）若，用表示. 16．（15分）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)解不等式． 17．（15分）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 18．（17分）已知二次函数的两个零点分别是和3. (1)求b、c的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在内的值域. 19．（17分）取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”. 已知函数，若 (1)已知，若只有一个“不动点”，求的值； (2)函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和，即.证明：； (3)讨论的稳定点个数. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B D C D C ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．A 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 3．B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 4．B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 5．D 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 6．C 【分析】计算分段函数在每一段上的值域，求并集可得结果. 【详解】当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上得，的值域为. 故选：C. 7．D 【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围. 【详解】令，则令 即有4个不同的实数根. 则要有两个解，    由图知，. ，得. 则. 令，得，则，，得，. 则. 故选：D. 8．C 【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，则可得函数与函数恰有3个交点，再将两函数图象画出，分析图象即可得解. 【详解】令，则， 则函数与函数恰有3个交点， 则如下图所示： 则函数与有一横坐标大于的交点， 即有，即，解得； 函数与有两个横坐标小于的交点， 令，有， 则，解得， 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数零点问题转化为函数图象交点问题，从而可借助图象，数形结合解答问题. 9．ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据条件得，即可判断选项A的正误，对于B，利用奇偶函数的判断方法，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解；对于D，根据条件得，即可求解. 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，所以选项A错误； 对于选项B，易知的定义域为，关于原点对称， 又，得函数为偶函数，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，解得，所以选项C正确； 对于选项D，因为函数在上单调递增， 必有，解得，所以选项D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】推导出，在等式中，令可求得的值，在等式中，令可求得的值，可判断A选项；由函数的周期性结合函数在上的单调性可判断B选项；利用函数的单调性与对称性可知，函数在区间上单调递减，可判断C选项；在等式中，令，可得出，再由可判断D选项. 【详解】因为，所以， 所以. 因为，取，得. 因为，取，得， 又，所以，故A正确； 由在区间上单调递减，得， 又，且，所以，故B正确； 因为，所以函数的图象关于点对称， 因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为，则，所以，故C错误； 由，取，得， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 12．7 【分析】根据分段函数先求，结合对数恒等式再求即可求解. 【详解】由题意有：， ， 所以 故答案为：7. 13．4.8 【详解】设最迟应在小时内再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得， 整理，得， 又因为， ∴最迟应在4.8h内再向病人的血液补充这种药． 14．10 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出，再由基本不等式的推广计算可得结果. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解. 【详解】（1） （2）. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时上的奇函数，利用即可求； （2）根据函数为奇函数，即可求在上的解析式； （3）根据函数的单调性，结合即可解不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 故，解得． （2）令，则，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以， 则，即在上的解析式为． （3）当时，，易得在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 又，所以的解集为． 17．(1)选择③来描述之间的关系，函数解析式为； (2)该企业要考虑转型. 【分析】（1）利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系. （2）利用（1）中结论，求出年利润率判断得解. 【详解】（1）点不同在函数的图象上，①不符合要求； 将代入，得，解得，， 当时，，不符合要求； 将代入，得，解得， ，当时，；当时，，符合题意， 所以选择③来描述之间的关系，函数解析式为. （2）由（1）知，，当时，，解得， 当时的年利润率，所以该厂要考虑转型. 18．(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）应用根与系数关系求参数值； （2）由单调性定义，令，应用作差法比较的大小，即可证； （3）根据二次函数的性质求区间值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得； （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，令， 所以 ， 而，则，所以， 综上，在上单调递增. （3）由，则在上单调递减，在上单调递增， 且，，故在的值域为. 19．(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）由不动点的定义有，结合已知，即可得； （2）根据不动点、稳定点的定义有，即可证； （3）根据稳定点的定义得且，注意对于需对判别式做讨论，即可得. 【详解】（1）由题设，且， 令，则， 由只有一个“不动点”，则； （2）若，则，即不动点一定是稳定点，所以，得证； （3）令，则，可得， 所以，整理得， 所以且，显然、满足， 对于①，则， 当，时，①无解，此时稳定点有2个； 当，时，①的解为，此时稳定点有2个； 当，时，①有两个不同解（不为），此时稳定点有4个； 综上，时稳定点有2个，时稳定点有4个. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$