第1章 一元二次方程 单元测试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册《第1章一元二次方程》单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将一元二次方程，化成的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.一元二次方程的二次项系数与一次项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，． 3.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.若与互为相反数，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则等腰三角形底边的值是 A. B. C. 或 D. 或 6.下列一元二次方程中，有实数根的是(    ) A. B. C. D. 7.若，则的值等于(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 8.若关于的方程的一个根的值是则另一根及的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.若，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.设，是方程的两个实数根，则的值为______． 12.已知，则______． 13.如图，一块长、宽的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的设配色条纹的宽度为，根据题意，列方程为______． 14.写出以下方程，，的两个共同点 ______ ______，如果一个方程是一元二次方程，还应添加______条件． 15.若代数式与的值相等，则的值为______． 16.若，则的值为______． 17.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为          ． 18.若实数满足，则的结果为______． 19.关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是______． 20.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了          人． 三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 解下列方程                 ． 22.本小题分 已知关于的方程． 为何值时，此方程是一元一次方程？ 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 23.本小题分 已知、是不相等的实数，方程的两根差与方程的两根差相等，求的值． 24.本小题分 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 25.本小题分 每年的月日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为元，在标价元的基础上打折销售． 现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？ 据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出套，现乙卖家先将标价提高，再大幅降价元，使得这款沙发在月日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到了元，求的值． 26.本小题分 已知数轴上两点、对应的数分别为，． 、两点间的距离为______； 如图，如果点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒． Ⅰ运动秒时对应的数为______，对应的数为______；用含的代数式表示 Ⅱ当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是______； Ⅲ求、相距个单位长度时的值； 如图，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿射线自点向点运动当、两点相遇时，请直接写出点的运动速度． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版九年级上册《第1章一元二次方程》单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将一元二次方程，化成的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：， 则， ， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 2.一元二次方程的二次项系数与一次项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，． 【答案】C  【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项是， 故选：． 根据一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项即可得到答案． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：一元二次方程的一个根是， ， ， ． 故选：． 利用一元二次方程根的定义得到，然后利用代数式变形得到的值． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4.若与互为相反数，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意得：， ， 解得：， ， 故选：． 由互为相反数的意义可得：，然后由非负数的性质可得关于、的方程组，解方程组求得、的值，代入求值即可． 本题主要考查的是非负数的性质、解二元一次方程组，由非负数的性质得出关于、的方程组是解题的关键． 5.等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则等腰三角形底边的值是 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．分为两种情况：腰长为，底边为，分别求出即可． 【解答】解：设底边为， 分为两种情况：当腰长是时，则， 解得：， 即此时底边为， 底边为，腰长为， 即底边长为或， 故选C． 6.下列一元二次方程中，有实数根的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ，故选项A无实数根； ， ， ，故选项B有实数根； ， ，故选项C没有实数根； ， ， ，故选项D没有实数根； 故选：． 根据根的判别式即可求出答案． 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 7.若，则的值等于(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 先移项，再把系数化成，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】 解：， ， ， ， 或． 8.若关于的方程的一个根的值是则另一根及的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系可知： ， ， 又的值是， ，． 故选：． 根据一元二次方程根与系数的关系可知：，，又的值是，由此可以求出另一根及的值． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 9.若，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，是方程的两根， ， 故选：． 由根与系数的关系可直接得出答案． 本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程的两根分别为与，则，解题时要注意这两个关系的合理应用． 10.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低，若每年下降的百分数相同，则这个百分数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设电视机的成本，设每年下降的百分数为，根据题意列方程得， ， 解得：，不合题意，舍去． 答：每年下降的百分数． 故选：． 此题设出参数电视机的成本，设每年下降的百分数为，利用电视机的成本现价，列出方程解答即可． 此题考查一元二次方程的应用，解答时关键抓住每年下降的百分数相同，找出蕴含的等量关系，列方程即可解答． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】  【解析】解：是方程的实数根， ， ， ， ， ， 故答案为：． 先根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算． 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 12.已知，则______． 【答案】  【解析】解：，而，， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 根据偶次方和绝对值的非负数的性质列式求出和的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 13.如图，一块长、宽的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的设配色条纹的宽度为，根据题意，列方程为______． 【答案】  【解析】解：设配色条纹的宽度为米， 根据题意得：， 故答案为： 设配色条纹的宽度为米，根据矩形的面积公式结合配色条纹的面积，即可得出关于的一元二次方程． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 14.写出以下方程，，的两个共同点 ______ ______，如果一个方程是一元二次方程，还应添加______条件． 【答案】未知数的最高次数是；二次项系数不为；整式方程  【解析】解：下方程，，的两个共同点未知数的最高次数是二次项系数不为，如果一个方程是一元二次方程，还应添加整式方程条件， 故答案为：未知数的最高次数是；二次项系数不为，整式方程． 根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 15.若代数式与的值相等，则的值为______． 【答案】或  【解析】解：由题意得，， ， ， 解得，， 故答案为：或． 根据题意列方程得，解出这个一元二次方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 16.若，则的值为______． 【答案】  【解析】解：设， 则，即， 解得，即， 故答案为：． 设，方程整理得，利用平方根的意义即可求解． 本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义． 17.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求出的取值即可． 【解答】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得：． 故答案为：． 【点评】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 18.若实数满足，则的结果为______． 【答案】  【解析】解：设，则 ， 整理得， 解得舍弃，， 即． 故答案为：． 设，则原方程转化为关于的一元二次次方程，通过解方程求得的值，即的值． 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 19.关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是______． 【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以的最大整数解为． 故答案为：． 根据一元二次方程根的判别式的意义得到，再解不等式，然后在的取值范围找出最大的整数即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了          人． 【答案】  【解析】解：设平均一人传染了人， 或舍去． 平均一人传染人． 故答案为：． 设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解． 本题考查一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 解下列方程                 ． 【答案】解：， ， ， 则，； ， ， ， ，   ．  【解析】方程利用公式法求出解即可； 方程利用平方根定义开方即可求出解． 此题考查了解一元二次方程公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 22.本小题分 已知关于的方程． 为何值时，此方程是一元一次方程？ 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】解：根据一元一次方程的定义可知：，， 解得：， 答：时，此方程是一元一次方程； 根据一元二次方程的定义可知：， 解得：． 一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．  【解析】根据一元一次方程的定义可得，，解即可； 根据一元二次方程的定义可知：，再解不等式即可． 此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义． 23.本小题分 已知、是不相等的实数，方程的两根差与方程的两根差相等，求的值． 【答案】解：设、是方程的两根， 则，， 两根差； 同理设、是方程的两根， 则，， ； 依题意得 两边平方得， 因此， 、是不相等的实数， ．  【解析】分别求得两个方程两根差，进一步利用根与系数的关系得出关于、的等式，整理得出的数值即可． 此题考查根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 24.本小题分 无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】解：支付给春秋旅行社旅游费用为元，当旅游人数是时，元，低于元． 这次旅游超过了人． 假设这次旅游员工人数为人，根据题意列出方程得： ， ， 解得：，， 当时，符合题意 当时，不合题意，舍去 答：该单位这次共有员工去天水湾风景区旅游．  【解析】首先分析得出这次旅游员工大体人数，因为支付给春秋旅行社旅游费用为元，当旅游人数是时，元，低于元，可得出实际人数超过了人，再表示出每人应交钱数，结合实际问题列出方程求出即可． 此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键． 25.本小题分 每年的月日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为元，在标价元的基础上打折销售． 现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于？ 据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出套，现乙卖家先将标价提高，再大幅降价元，使得这款沙发在月日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了，这样一天的利润达到了元，求的值． 【答案】解：设降价元， 依题意，得：， 解得：． 答：最多降价元，才能使利润率不低于． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：的值为元．  【解析】设降价元，根据利润售价成本结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； 根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26.本小题分 已知数轴上两点、对应的数分别为，． 、两点间的距离为______； 如图，如果点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒． Ⅰ运动秒时对应的数为______，对应的数为______；用含的代数式表示 Ⅱ当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是______； Ⅲ求、相距个单位长度时的值； 如图，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿射线自点向点运动当、两点相遇时，请直接写出点的运动速度． 【答案】解：； Ⅰ；； Ⅱ； Ⅲ由题意得：当点在左侧时得：， ， ； 点在点的右侧，， ， ， 所以、相距个单位长度时的值为或； 由题意可知，点所表示的数是，点所表示的数是， 此时， 点绕着点顺时针方向旋转到点所用的时间为秒， 所以，此时点的速度为单位长度秒， 点绕着点顺时针方向旋转到点所用的时间为秒， 所以，此时点的速度为单位长度秒， 答：点的速度为单位长度秒或单位长度秒．  【解析】解：由数轴可知：、两点间的距离为：， 故答案为：； Ⅰ由题意可知：点表示的数为：，点对应的数为：， 故答案为：；； Ⅱ当、两点相遇时，， ， ， ， 所以点在数轴上表示的数为：， 故答案为：； Ⅲ见答案； 见答案． 根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； Ⅰ用含有的代数式表示点、点的所表示的数即可； Ⅱ当、两点相遇时，根据线段之间的和差关系列方程求解即可； Ⅲ分两种情况分别进行解答，即当点在左侧，当点在右侧时分别列方程求解即可； 根据旋转的角度求出旋转的时间，再根据点移动的路程即可求出速度． 本题考查数轴表示数，一元一次方程的应用，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． 第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版九年级上册《第1章一元二次方程》单元测试卷答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14. 未知数的最高次数是；二次项系数不为；整式方程  15. 或  16.   17.   18.   19.   20.   21. 解：， ， ， 则，； ， ， ， ，   ．  22. 解：根据一元一次方程的定义可知：，， 解得：， 答：时，此方程是一元一次方程； 根据一元二次方程的定义可知：， 解得：． 一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．  23. 解：设、是方程的两根， 则，， 两根差； 同理设、是方程的两根， 则，， ； 依题意得 两边平方得， 因此， 、是不相等的实数， ．  24. 解：支付给春秋旅行社旅游费用为元，当旅游人数是时，元，低于元． 这次旅游超过了人． 假设这次旅游员工人数为人，根据题意列出方程得： ， ， 解得：，， 当时，符合题意 当时，不合题意，舍去 答：该单位这次共有员工去天水湾风景区旅游．  25. 解：设降价元， 依题意，得：， 解得：． 答：最多降价元，才能使利润率不低于． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：的值为元．  26. 解：； Ⅰ；； Ⅱ； Ⅲ由题意得：当点在左侧时得：， ， ； 点在点的右侧，， ， ， 所以、相距个单位长度时的值为或； 由题意可知，点所表示的数是，点所表示的数是， 此时， 点绕着点顺时针方向旋转到点所用的时间为秒， 所以，此时点的速度为单位长度秒， 点绕着点顺时针方向旋转到点所用的时间为秒， 所以，此时点的速度为单位长度秒， 答：点的速度为单位长度秒或单位长度秒．  第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$