2.2 等腰三角形（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

2.2 等腰三角形 题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了定要三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系确定可能的边长组合并计算周长即可． 【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况： 情况一：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立． 情况二：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立． 则周长为． 故选：B 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，由题意得，；分类讨论若等腰三角形的三边长为：3，3，7，若等腰三角形的三边长为：3，7，7，利用三角形三边关系加以验证即可． 【详解】解：由题意得． ∴，； 若等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：3，7，7， 则等腰三角形的周长为：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（    ）． A．9 B．9或12 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，运用完全平方公式的非负性求出即可.解题关键在于熟练掌握各种知识点的综合运用. 将已知方程配方成两个完全平方的和，利用非负性求出和的值，再根据等腰三角形的性质及三角形三边关系确定边长，计算周长. 【详解】解：配方求值： 可变形为：， 即； 根据非负性，得 且 ， 解得 ，； 等腰三角形分类讨论： 情况一：若 为腰，则另一腰为2，底边为5；此时 ，不满足三角形三边关系，舍去； 情况二：若 为腰，则另一腰为5，底边为2；此时 ，满足三边关系； 计算周长： 三边为，周长为 ， 综上，的周长为12， 故选：C . 4．（24-25七年级下·河北保定·期中）已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值和平方数的非负性，等腰三角形的概念和三角形的三边关系．首先根据绝对值和平方数的非负性求出，，然后根据等腰三角形的概念和三角形的三边关系分情况讨论，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴解得，． 当4是等腰三角形的腰时， 三角形三边分别为，4，4，9， ∵，围不成三角形，不符合题意； 当9是等腰三角形的腰时， 三角形三边分别为，4，9，9， ∵，能围成三角形，符合题意； ∴三角形的周长为． 故选：B． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足，则该等腰三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．11或13 【答案】B 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，解二元一次方程组，根据非负性列出方程组，求出的值，根据等腰三角形的定义结合构成三角形的条件，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当腰长为3时，，无法构成三角形， 故腰长为7，等腰三角形的周长为； 故选B． 6．（24-25七年级下·山东威海·期中）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为； ∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长为和， 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”； 故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 题型二：根据等腰三角形的特征进行判定 1．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，其关键在于对等式的变形，推导出的关系． 将等式进行移项和因式分解，得出，得到或，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ， ， 或， 或， 三角形是等腰三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义， 将等式进行因式分解，分析得出三角形边的关系，从而判断形状． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或，即或． 由于、、是三角形的三边，至少有两边相等，故一定是等腰三角形． 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； B、由题意，设，则， ∵， ∴不能构成三角形，则此项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意； D、∵，， ∴， ∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（    ） A． B． C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定定理等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、∵，则 ∴是直角三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意； B、∵， ∴可设， ∴是等腰三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意； C、根据，，，已知两角和夹边，能画出唯一确定的三角形，符合题意； D、根据，，，已知两边和一边的对角，不能画出唯一确定的三角形，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列条件能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理以及等角对等边． 根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不是等腰三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴不是等腰三角形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴不是等腰三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故本选项符合题意； 故选：D 题型三：利用等腰三角形的定义求线段长度 1．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 故选D． 4．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时， ， 底边的长为． 长为6，6，12的线段不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时， ， 底边的长为3，满足三角形的三边关系． 综上所述，底边的长为3， 故答案为3． 5．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可． 【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为. ①当为腰时， ， 不能组成三角形； ②当为腰时，能够组成三角形， ， ， ∴该等腰三角形底边长为2． 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若，的周长为18，则 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了等腰三角形，线段垂直平分线，熟练掌握等腰三角形边的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为18， ，即， ， ， ∵， ， 故答案为：11． 7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边长分别为，，4，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 分三种情况分别讨论即可求得三边的长，进而根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】当， 解得， 此时的三边长分别为3，3，4，符合三角形的三边关系； 当时， 解得， 此时的三边长分别为4，1，4，符合三角形的三边关系； 当时， 解得， 此时的三边长分别为，4，4，符合三角形的三边关系． 综上所述，的值为或或． 题型四：利用等腰三角形的特征求相关角度 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点摆至最右侧点时，钟摆旋转的角度为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角，根据题意得出，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵钟摆旋转的角度为， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的边长分别为，，，那么这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了，等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理判定即可，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据三角形三边关系及勾股定理判断三角形形状． 【详解】∵三边中有两边为， ∴该三角形为等腰三角形， ∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形一定是等腰直角三角形． 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理； 设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角的度数，进而可得顶角的度数． 【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个等腰三角形顶角的度数为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 【答案】， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于， ∴是等腰三角形的顶角， ∴另外两个角相等，且度数为， 故答案为：，． 6．（2025·江苏南京·二模）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 °． 【答案】40 【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果． 本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系，熟练掌握等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系是解决问题的关键． 【详解】解：等腰三角形的一个外角为， 故其相邻的内角为， 故其只能做顶角， 故等腰三角形的底角为， 故答案为：40． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】45度/ 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，找出题中等量关系计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是底角的2倍， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 题型五：利用等腰三角形的定义判断个数 1．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 2．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画4条． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上取一点，使为等腰三角形，符合条件的点C有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，分三种情况讨论，利用作圆和垂直平分线得到点是解答此题的关键．由A、B坐标可得，然后按A、B、C分别为顶点，即当，，，画出图形，即可找到点C． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ①当A为顶点时，即，以A为圆心，以为半径作圆交两坐标轴于点，，，共3个点； ②当B为顶点时，即，以B为圆心，以为半径作圆交两坐标轴于点，，，共 3个点； ③当C为顶点时，即，作线段的垂直平分线，正好过原点，只有1个点， ∴符合条件的点有7个． 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可 （2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，则， 当时，； 当时，， 综上所述，的度数为或或． 题型六：等腰三角形中尺规作图 1．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使一定是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，解题关键是根据各个图形，结合相关性质求解．根据平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，对四个图形逐一分析，作出判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴一定是等腰三角形，故A不符合； B、∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴一定是等腰三角形，故B不符合； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ∴一定是等腰三角形，故C不符合； D、只能得出，不能得出中有两边相等， ∴不一定是等腰三角形，故D符合， 故选：D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上． (1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由勾股定理得，故即为所求； （2）由勾股定理得，且上的高为3，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如上图，即为所求． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)4 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，写出点的坐标，等腰三角形的定义． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质，结合图形得出对称中心，根据坐标系写出坐标，即可求解； （4）根据两圆一线的方法，找出等腰三角形的顶点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：； （4）解：依题意，P在y轴上且为等腰三角形， 当时，点有2个，当时，点有1个，当时，有1个，共4个， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)直接写出坐标：_______________，_________________，_________________． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，请写出符合条件的一个点的坐标______________ 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形、等腰三角形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）根据在平面直角坐标系中，点所在的位置写出它们的坐标即可得； （3）根据等腰三角形的定义，在轴上找一点，使得即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可知，，，， 故答案为：，，． （3）解：如图，当点在轴上，且，则是等腰三角形， 由图可知，此时点的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1． (1)画出关于轴对称的（其中分别为A、B、C的对应点）； (2)点是轴上的一动点，连接，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)建详解； (2)作图见详解，，， 【分析】此题考查了作轴对称图形，确定直角坐标系中点的坐标，等腰三角形的定义，正确掌握轴对称的性质作出图形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质描出点，顺次连线即可得到； （2）根据等腰三角形的定义分类得到点D的坐标 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ∵， ∴时，， 当时，， 当时，， 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)请画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在y轴上找一点M，使得是以为底边的等腰三角形，则点M的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）线段的垂直平分线与y的交点即为点 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：如图，点M即为所求，． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，网格中小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上． (1)画出关于x轴对称的（其中、、分别为A、B、C的对应点）； (2)的面积为______； (3)点F是x轴上的一点，且是以为腰的等腰三角形，直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的定义，求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别画出关于x轴对称的，再依次连接，得出，即可作答； （2）运用割补法列式计算的面积； （3）根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：的面积； （3）解：根据题意得， ∵点F是x轴上的一点，是以为腰的等腰三角形， ∴由网格得，点F的坐标为或． 8．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，在的上方作，交于点E，则点E即为所求． 【详解】解：如图，在的上方作，交于点E， ∵， ∴， ∴， 则点E即为所求． 题型七：利用等腰三角形的定义进行证明 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连接，，猜想与的关系，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形， 先根据等腰直角三角形的性质得，可证明，可得，再根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：． 证明：如图所示， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 2．（2025·江苏盐城·一模）如图， 是等腰直角三角形，， D 为 边上一点， ，．证明：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．根据可证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答． （1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）设的度数为x，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 设的度数为x，则， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：， 故的度数为或或． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， 平分外角， ， ， ， 是等腰三角形． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和均为等腰直角三角形，其中．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得，，，利用证得即可得出结论． 【详解】证明：因为和均为等腰直角三角形， 所以，，， 所以， 即． 在和中， ， 所以， 所以． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，与均为等腰直角三角形，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键； 根据等腰直角三角形的性质得，，再证证，根据，即得结论． 【详解】证明：∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 即． 在与中， ∴． 7．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，D是的中点，于点D，点O在的垂直平分线上． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由“是的中点，于点D”可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，然后由等腰三角形的定义即可得出结论； （2）由（1）可得，，由等边对等角可得，，，进而可得，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，即，由此即可求出的度数． 【详解】（1）证明：是的中点，于点D， 垂直平分， ， 点O在的垂直平分线上， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）可得：，， ，，， ， ， ， ， ， 即：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)当点D在的中点时，，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【详解】（1）解：当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 题型一：等腰三角形中需要分情况讨论问题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，； 如图②，当钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角； ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在等腰中，其中一角为，则其它两角的度数分别为 ． 【答案】，或， 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：①当角是顶角时，底角的度数为：，故其它两角的度数分别是：，； ②当角是底角时，顶角的度数为：，故其它两角的度数分别是：，； 故答案为：，或，． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知是的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图： ， ， ， ， 是是的外角， ， ， ； 当高在等腰三角形内部时，如图： ， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类讨论．在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ， ∵点为直线上异于点的一点， ∴当是等腰三角形时，只能或， ①当时，如图所示： ∴； ∴， ②当时，点D在点B的左侧时，如图所示： ∴ ， ∵， ∴； 当时，点D在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴； 综上所述的度数为或或． 故答案为：或或． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，并作分类讨论是解题的关键．①当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点，交于点，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；②当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，在中可求得，从而得到，再由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：①当为锐角三角形时， 如图，设的垂直平分线交线段于点，交于点， ，， ， ， ； ②当为钝角三角形时， 如图，设的垂直平分线交于点，交直线于点， ，， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 题型二：等腰三角形被中线分成两个三角形题型 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键． 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况： 当腰和腰的一半的和为6时，则， 解得， 此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去； 当腰和腰的一半的和为12时，则， 解得， 此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形； 所以三角形的底边长是2； 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． 题中没有指明哪部分的周长大，故应该分两种情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当，时， ∵为腰的中线， ∵ ∴， ， ∴， ②当，时 ∵ ∴， ， ∴， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 【答案】(1)的周长为8或7 (2)这个等腰三角形的腰长为12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线. （1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可． （2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为； 当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为． 综上可知这个等腰三角形的周长为7或8． （2）设三角形的腰为x，如图： 是等腰三角形，，是边上的中线， ∴ 则有、或、， 分下面两种情况： 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为6，6，15， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为12，12，3． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为12． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由三角形的中线得到，分两种情况讨论，①当时；②当时，进行求解即可． 【详解】解：因为为边上的中线，所以， 又因为， 所以． 分两种情况：①当时，， 解得， 所以． 因为， 所以； ②当时，， 解得， 所以． 因为， 所以． 所以的长为或． 题型三：等腰三角形的定义与整式的乘法相结合 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． (1)利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． (2)类比应用：若，满足，求与的值． (3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案； （2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可； （3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：解：① ； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形。 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 (1)解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． (2)拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形．见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方公式、利用公式法分解因式、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解； （2）根据完全平方公式进行变形得出，结合非负数的性质求出，，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 3．（24-25八年级下·河南·阶段练习）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） （提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知，求式子的值； (2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 【答案】(1) (2)等腰的周长为32或34． 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，利用提公因式法分解得到，再求得，整体代入求解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴， ∴原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； ∴等腰的周长为32或34． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ， 阅读上面的材料，解决以下两个问题： (1)已知，求的值； (2)已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查完全平方公式的应用以及非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是通过配方将给定等式转化为几个非负数和为0的形式，再利用非负数性质求解未知数． （1）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得x、y的值，从而得到答案； （2）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得，值，根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系分别讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 当为腰长时，三边分别为3，3，6，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形， 当为腰长时，三边分别为3，6，6，因为，，满足三角形三边关系， 此时三角形周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为15． 5．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c为的三条边， (1)若，，的周长是小于17的奇数，求c的长． (2)若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长． 【答案】(1)或 (2)7或8 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，因式分解的应用，非负数的性质，熟知构成三角形的条件是解题的关键． （1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出c的范围，再根据周长是小于17的奇数进一步确定c的范围以及c是偶数，据此可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则由非负数的性质可求出a、b的值，再分腰长为a何腰长为b两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c为的三条边， ∴， ∵，， ∴， ∵的周长是小于17的奇数， ∴， ∴， ∴， ∴且c是偶数， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为7或8． 题型四：等腰三角形的定义中解答题压轴 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解； （）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则______； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价为______． 【答案】（1）；（2）6；（3）①与是偏等积三角形，见解析；②40000元 【分析】(1)当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论； (2)由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，．得，然后由三角形的三边关系求解即可； (3)①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得， ，求出，即可求解. 【详解】解：（1）当时，与是偏等积三角形， 理由如下： 设点到的距离为，则，， ， ，， ， 、， 与不全等， 与是偏等积三角形， 故答案为：； （2）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，，， 即：， ； （3）①与是偏等积三角形， 理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元）． 4．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； (2)如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，能正确利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形是解决此题的关键． （1）由坐标得，，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，进而即可得解； （2）由（1）得，得到，，进而即可得解； （3）如图，和的延长线相交于点，先证明得到，再证，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：理由如下： 如图，和的延长线相交于点， ， ，而， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， 轴平分， ， ， ∴， ， ． 6．（24-25九年级下·重庆北碚·阶段练习）在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点，交边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：，， ①__________． 在与中， （）， ③__________，即，是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，尺规作图---作垂线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法即可作图； （2）根据证明，即可填空． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：，， ． 在与中， （）， ，即，是等腰三角形； 对于钝角三角形，如图： ，， ． 在与中， （）， ，即，是等腰三角形； 故答案为：①；②；③；④在一个钝角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个钝角三角形是等腰三角形． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．若点、两点分别从点、同时出发． (1)经过2秒后，求证： ①； ②； (2)若的周长为，问经过几秒钟后，为等腰三角形？ 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）经过2秒后，，则，，结合已知可得，，，即可根据可证得；由；可得，再根据三角形的外角即可得证． （2）可设点E的运动时间为，是等腰三角形，则可知，，，，再根据的周长为，得出，当为等腰三角形时，分三种情况从而求得t的值即可． 【详解】（1）证明：当P，E两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有，， 则，， 是的中点， ， ，， 又中，， ， 在和中， ， ； ， ， ， ； （2）解：设当P，E两点同时出发运动t秒时， 有， 的取值范围为， 则，， 的周长为， ， 要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： 当时，则有 解得：（此时，舍去）； 当时，则有 解得：； 当时，则有 解得：； 三种情况均符合t的取值范围． 综上所述，经过秒或秒时，是等腰三角形． 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先根据轴对称的性质可得直线、的交点一定在上，垂直平分，，则选项A错误，选项D正确；再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的定义即可得选项B正确；然后根据全等三角形的性质即可得选项C正确． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴由轴对称的性质可知，直线、的交点一定在上，则选项A错误； 由轴对称的性质可知，垂直平分，，则选项D正确； ∴， ∴是等腰三角形，则选项B正确； 由轴对称的性质可知，， ∴与面积相等，则选项C正确； 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是线段的垂直平分线，交于点，若，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由题意易得，然后根据三角形的周长公式及题意可进行求解．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为8和， 当为底时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为和5， ∵， ∴的边等于2或5或8， 故选：D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．不相交的两直线一定是平行线 B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线的位置关系，平行线的性质，平行公理及等腰三角形的性质，根据以上以上知识点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，该选项说法错误，不合题意； 、两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直，该选项说法正确，符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 5．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，和均是等腰直角三角形，的延长线交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．过点A作交的延长线于H，先证明得，，则，进而可证明，则，由此可得的长． 【详解】解：过点A作交的延长线于H，如图所示： ∵和均是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分以为腰，为腰两种情况求解即可． 【详解】解：分以为腰，为腰两种情况；如图， ∴拼成的等腰三角形有5种， 故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．8 B．24 C．8或24 D．8或12 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件．对于题中中线分三角形的周长为两部分，在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出与后，不要忽略用三角形的两边之和大于第三边来判定能否构成三角形． 根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，底边为，根据中点定义得到与相等都等于腰长的一半，边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，分别表示出两部分，然后分，或，两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到与的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长． 【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下： 设这个等腰三角形的腰长为，底边长为， 为的中点， ， 根据题意得：或， 解得：或． 又三边长12、12、24不能构成三角形， 底边长为8． 故选A． 10．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，过点作于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，证明，进而得出点在直线上，结合已知条件，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， 又 ∴ ∴， ∴点在直线上， ∵， 设，，则 ∴，即 ∴ ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及三角形三边关系． 分两种情况，当腰长分别为或时，结合三角形三边关系，求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形三边分别为、、， ∵ ∴满足三角形三边关系，能构成三角形， 当腰长为，则三角形三边分别为、、， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合题意． 故答案为：或． 12．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11， 能构成三角形； 当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5， ∵，故不能构成三角形． 综上所述，的底边长是5． 故答案为：5． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分，则该等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ． 【答案】 8 2 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差6， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长8，底边长为，三角形三边分别为8、8、2，满足三角形三边关系，可以构成三角形． ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长4，底边长为，三角形三边分别为4、4、10不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 综上所述，这个三角形腰和底分别为8和2． 故答案为：8，2． 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，等腰的直角顶点在直线上，直线于点，若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点B作于点E，则，证明，则，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点B作于点E，则， ∵等腰的直角顶点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：4 15．（24-25七年级下·四川雅安·期中）若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)7或8 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，正确求得m、n是解答的关键． （1）化简这个多项式，因为代数式的值与y无关，所以含y的项的系数等于0，列出方程组求出、的值； （2）根据、，分两种情况求出该等腰三角形的周长． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得：； （2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长； 当2是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长． ∴该等腰三角形的周长为7或8． 16．（24-25八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照题例方法解答即可； （）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：方法运用：∵ ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴的值为； 拓展提升：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， 当时， ∵， ∴构成不了三角形，该种情况不符合； 当时，的周长； ∴的周长为． 17．（24-25八年级上·广西防城港·期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，，，，． (1)求证：． (2)若，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度的大小（假设每块砖的厚度相等）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是找出证明全等三角形全等的条件． （1）根据题意，，，，进而得到，根据证明三角形全等． （2）利用（1）中全等三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形， ，． 又，， ， ，， 则． 在和中， ； （2）解：一块墙砖的厚度为， ，， 由（1）可知， ，． ． ，即砌墙砖块的厚度为． 18．（24-25八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)① 见解析；②与的数量关系不变，，理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明即可得到结论； （2）①分别过点A作于点M，于点N，由全等的性质得到，，由等积法求出，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 【详解】（1）证明：∵， 在与中， ； （2）①证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，， ， ， ， 又∵，， ； ②解：与的数量关系不变，，理由如下： ∵， . 在与中， ， ， ，， 分别过点A作于点M，于点N， ， ， 又∵，， ， 即与的数量关系不变. 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 等腰三角形 题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（    ）． A．9 B．9或12 C．12 D．14 4．（24-25七年级下·河北保定·期中）已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不对 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足，则该等腰三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．11或13 6．（24-25七年级下·山东威海·期中）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 题型二：根据等腰三角形的特征进行判定 1．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（    ） A． B． C．，， D．，， 5．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列条件能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型三：利用等腰三角形的定义求线段长度 1．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 5．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 6．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若，的周长为18，则 ．    7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边长分别为，，4，若是等腰三角形，则的值为 ． 题型四：利用等腰三角形的特征求相关角度 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，一个挂钟的钟摆由最左侧点摆至最右侧点时，钟摆旋转的角度为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的边长分别为，，，那么这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 5．（24-25八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 6．（2025·江苏南京·二模）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 °． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 题型五：利用等腰三角形的定义判断个数 1．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上取一点，使为等腰三角形，符合条件的点C有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 题型六：等腰三角形中尺规作图 1．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使一定是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上． (1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)直接写出坐标：_______________，_________________，_________________． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，请写出符合条件的一个点的坐标______________ 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1． (1)画出关于轴对称的（其中分别为A、B、C的对应点）； (2)点是轴上的一动点，连接，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)请画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在y轴上找一点M，使得是以为底边的等腰三角形，则点M的坐标是______． 7．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，网格中小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上． (1)画出关于x轴对称的（其中、、分别为A、B、C的对应点）； (2)的面积为______； (3)点F是x轴上的一点，且是以为腰的等腰三角形，直接写出所有满足条件的点F的坐标． 8．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型七：利用等腰三角形的定义进行证明 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连接，，猜想与的关系，并证明. 2．（2025·江苏盐城·一模）如图， 是等腰直角三角形，， D 为 边上一点， ，．证明：； 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和均为等腰直角三角形，其中．试说明：． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，与均为等腰直角三角形，．求证：． 7．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，D是的中点，于点D，点O在的垂直平分线上． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型一：等腰三角形中需要分情况讨论问题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为 ． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在等腰中，其中一角为，则其它两角的度数分别为 ． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知是的高，，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则 ． 10．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 题型二：等腰三角形被中线分成两个三角形题型 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为 ． 4．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 5．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 题型三：等腰三角形的定义与整式的乘法相结合 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：． (1)利用上述方法解决下列问题： 分解因式：① ②． (2)类比应用：若，满足，求与的值． (3)延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 (1)解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． (2)拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级下·河南·阶段练习）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） （提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)已知，求式子的值； (2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：， ， ， 阅读上面的材料，解决以下两个问题： (1)已知，求的值； (2)已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长． 5．（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c为的三条边， (1)若，，的周长是小于17的奇数，求c的长． (2)若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长． 题型四：等腰三角形的定义中解答题压轴 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则______； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价为______． 4．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点，点，过点C作轴于点D，则______； (2)如图2，若点，点，过点C作轴于点D，则点C的坐标为______； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，则与有怎样的数量关系？并说明理由． 6．（24-25九年级下·重庆北碚·阶段练习）在学习了等腰三角形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形．他们的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论．请根据他们的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点，交边上的高于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，在锐角中，，，且．求证：． 证明：，， ①__________． 在与中， （）， ③__________，即，是等腰三角形． 进一步思考，如果三角形是钝角三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④__________． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．若点、两点分别从点、同时出发． (1)经过2秒后，求证： ①； ②； (2)若的周长为，问经过几秒钟后，为等腰三角形？ 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是线段的垂直平分线，交于点，若，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．不相交的两直线一定是平行线 B．两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角的平分线互相垂直 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 5．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 6．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，和均是等腰直角三角形，的延长线交于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．8 B．24 C．8或24 D．8或12 10．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是 ． 12．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分，则该等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）如图，等腰的直角顶点在直线上，直线于点，若，则的面积为 ． 15．（24-25七年级下·四川雅安·期中）若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 16．（24-25八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 17．（24-25八年级上·广西防城港·期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，，，，． (1)求证：． (2)若，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度的大小（假设每块砖的厚度相等）． 18．（24-25八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $$