第二节常用逻辑用语课件-2026届高三数学一轮复习

第二节　常用逻辑用语 1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件 的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、 必要条件的关系. 2. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. PART 1 知识 逐点夯实 必备知识 系统梳理 基础重落实 课前自修 目录 1. 充分条件与必要条件 命题真假 “若 p ，则 q ”为 真命题 “若 p ，则 q ”为假 命题 “若 p ，则 q ” 和“若 q ，则 p ”都是真命题 推出关系 p q p q p q 条件关系 p 是 q 的 ⁠ 条件， q 是 p 的 ⁠条件 p 不是 q 的 ⁠ 条件， q 不是 p 的 ⁠条件 p 是 q 的 ⁠ 条件，简 称 ⁠条件 ⇒　 ⇔　 充分　 必要　 充分　 必要　 充分 必要　 充要　 目录 高考总复习·数学 提醒　（1） A 是 B 的充分不必要条件⇔ A ⇒ B 且 B A ；（2） A 的 充分不必要条件是 B ⇔ B ⇒ A 且 A B. 2. 全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有 ⁠的命题 叫做全称量词命题 含有 ⁠的命题叫做 存在量词命题 全称量词　 存在量词　 目录 高考总复习·数学 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对 M 中任意一个 x ， p （ x ）成立”，可用符号简 记为“ ⁠ ” “存在 M 中的元素 x ， p （ x ） 成立”，可用符号简记为 “ ⁠” ∀ x ∈ M ， p （ x ）　 ∃ x ∈ M ， p （ x ）　 目录 高考总复习·数学 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对 M 中任意一个 x ， p （ x ）成立 存在 M 中的元素 x ， p （ x ）成立 简记 ∀ x ∈ M ， p （ x ） ∃ x ∈ M ， p （ x ） 否定 ⁠ ⁠ ∃ x ∈ M ，􀱑 p （ x ）　 ∀ x ∈ M ，􀱑 p （ x ）　 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再 改变量词. 目录 高考总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题. （　×　） （2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词. （　√　） （3）当 p 是 q 的充分条件时， q 是 p 的必要条件. （　√　） （4）若已知 p ： x ＞1和 q ： x ≥1，则 p 是 q 的充分不必要条件. （　√　） × √ √ √ 目录 高考总复习·数学 2. 已知命题 p ：∀ x ∈R， x ＞ sin x ，则 p 的否定为（　　） A. ∃ x ∈R， x ＜ sin x B. ∀ x ∈R， x ≤ sin x C. ∃ x ∈R， x ≤ sin x D. ∀ x ∈R， x ＜ sin x 解析：　对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论， p ：∀ x ∈R， x ＞ sin x ，则 p 的否定为：∃ x ∈R， x ≤ sin x .故选C. 目录 高考总复习·数学 3. （2023·天津高考2题）“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：　由 a 2＝ b 2，得 a ＝± b ，当 a ＝－ b 时， a 2＋ b 2≠2 ab .由 a 2＋ b 2＝2 ab ，得（ a － b ）2＝0，所以 a ＝ b .所以“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分条件.故选B. 目录 高考总复习·数学 4. “等边三角形都是等腰三角形”的否定是 ⁠ ⁠. 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一 个等边三角形，它不是等腰三角形. 5. 若“ x ＞ m ”是“ x ＞3”的充分不必要条件，则 m 的取值范围 是 ⁠. 存在一个等边三角形， 它不是等腰三角形　 （3，＋∞）　 解析：因为“ x ＞ m ”是“ x ＞3”的充分不必要条件，所以（ m ， ＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由图可知 m ＞3. 目录 高考总复习·数学 1. 充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设 A ＝{ x ｜ p （ x ）}， B ＝{ x ｜ q （ x ）}： （1）若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件； （2）若 A ⫋ B ，则 p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充 分条件； （3）若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件. 2. 命题 p 和􀱑 p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可 先判断此命题的否定的真假. 目录 高考总复习·数学 1. 设 x ∈R，则“ x ＞0”是“2 x ＞2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若2 x ＞2，则 x ＞1，因为（1，＋∞）⫋（0，＋∞），所 以由结论1得“ x ＞0”是“2 x ＞2”的必要不充分条件.故选B. 目录 高考总复习·数学 2. 若“∀ x ∈R， x 2－ ax －2 a ＞0”是假命题，则实数 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：由结论2得∃ x ∈R， x 2－ ax －2 a ≤0为真命题，所以Δ＝ a 2＋ 8 a ≥0，解得 a ∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）. （－∞，－8]∪[0，＋∞）　 目录 高考总复习·数学 PART 2 考点 分类突破 精选考点 典例研析 技法重悟通 课堂演练 目录 　　 全称量词命题与存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】　（1）已知命题 p ：∃ x ∈R， x ＝－1或 x ＝2，则（　　） A. 􀱑 p ：∀ x ∉R， x ≠－1或 x ≠2 B. 􀱑 p ：∀ x ∈R， x ≠－1且 x ≠2 C. 􀱑 p ：∀ x ∈R， x ＝－1且 x ＝2 D. 􀱑 p ：∃ x ∉R， x ＝－1或 x ＝2 解析：注意“ x ＝－1或 x ＝2”的否定是“ x ≠－1且 x ≠2”，所以命题 p 的否定是“∀ x ∈R， x ≠－1且 x ≠2”. 目录 高考总复习·数学 （2）下列命题为真命题的是（　　） A. ∃ x ∈R，ln（ x 2＋1）＜0 B. ∀ x ＞2，2 x ＞ x 2 C. ∃α，β∈R， sin （α－β）＝ sin α－ sin β D. ∀ x ∈（0，π）， sin x ＞ cos x 目录 高考总复习·数学 解析： ∵ x 2＋1≥1，∴ln（ x 2＋1）≥0，故A是假命题；当 x ＝3 时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时， sin （α－β）＝ sin α － sin β，故C是真命题；当 x ＝ ∈（0，π）时， sin x ＝ ， cos x ＝ ， sin x ＜ cos x ，故D是假命题.故选C. 目录 高考总复习·数学 解题技法 1. 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称 量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 目录 高考总复习·数学 2. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须 对限定的集合 M 中的每一个元素 x ，证明 p （ x ）成立；②要 判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一 个特殊值 x ＝ x 0，使 p （ x 0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在 限定的集合 M 中，找到一个 x ＝ x 0，使 p （ x 0）成立即可，否 则这一存在量词命题就是假命题. 目录 高考总复习·数学 考向2　含量词的命题的应用 【例2】　已知命题“∃ x ∈R，使 ax 2－ x ＋2≤0”是假命题，则实数 a 的取值范围是（　　） A. （－ ，0） B. （0， ） C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞） 解析：　因为命题“∃ x ∈R，使 ax 2－ x ＋2≤0”是假命题，所以命 题“∀ x ∈R， ax 2－ x ＋2＞0”是真命题，当 a ＝0时，得 x ＜2，不符 合题意；当 a ≠0时，得解得 a ＞ . 目录 高考总复习·数学 解题技法 由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 目录 高考总复习·数学 1. （2024·石家庄模拟）已知命题 p ：∃ x ∈（0，＋∞），ln x ＝1－ x ，则命题 p 的真假及􀱑 p 依次为（　　） A. 真；∃ x ∈（0，＋∞），ln x ≠1－ x B. 真；∀ x ∈（0，＋∞），ln x ≠1－ x C. 假；∀ x ∈（0，＋∞），ln x ≠1－ x D. 假；∃ x ∈（0，＋∞），ln x ≠1－ x 解析：　当 x ＝1时，ln x ＝1－ x ＝0，故命题 p 为真命题；因为 p ：∃ x ∈（0，＋∞），ln x ＝1－ x ，所以􀱑 p ：∀ x ∈（0，＋ ∞），ln x ≠1－ x . 目录 高考总复习·数学 2. 若命题“∃ x ∈（－1，3）， x 2－2 x － a ≤0”为真命题，则实数 a 可取的最小整数值是（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 3 解析：　由题意，∃ x ∈（－1，3）， a ≥ x 2－2 x ，令 h （ x ）＝ x 2－2 x ，因为函数 h （ x ）＝ x 2－2 x 在（－1，1）上单调递减，在 （1，3）上单调递增，所以 h （ x ）min＝ h （1）＝1－2＝－1，所以 a ≥－1.所以实数 a 可取的最小整数值是－1. 目录 高考总复习·数学 【例3】　（1）设 x ∈R，则“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的判定 目录 高考总复习·数学 解析：不等式 x 2－5 x ＜0的解集 A ＝{ x ｜0＜ x ＜5}，由｜x －1｜＜1得－1＜ x －1＜1，其解集 B ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，则集 合 B 是 A 的真子集，所以“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的 必要不充分条件，故选B. 目录 高考总复习·数学 （2）（2023·全国甲卷7题）设甲： sin 2α＋ sin 2β＝1，乙： sin α＋ cos β＝0，则（　　） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 目录 高考总复习·数学 解析：甲等价于 sin 2α＝1－ sin 2β＝ cos 2β，等价于 sin α＝± cos β，所以由甲不能推导出 sin α＋ cos β＝0，所以甲不是乙的充分 条件；由 sin α＋ cos β＝0，得 sin α＝－ cos β，平方可得 sin 2α ＝ cos 2β＝1－ sin 2β，即 sin 2α＋ sin 2β＝1，所以由乙可以推导 出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B. 目录 高考总复习·数学 解题技法 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据 p ⇒ q ， q ⇒ p 进行判断，适用于定义、定理判断性 问题； （2）集合法：根据 p ， q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适 用于条件中涉及参数范围的推断问题. 目录 高考总复习·数学 1. 已知 a ， b 都是实数，那么“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2－2 x －2 by ＋ b 2－ a ＝0表示圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　方程 x 2＋ y 2－2 x －2 by ＋ b 2－ a ＝0表示圆⇔方程（ x － 1）2＋（ y － b ）2＝ a ＋1表示圆⇔ a ＋1＞0⇔ a ＞－1.由 a ＞2能推 出 a ＞－1，但是 a ＞－1推不出 a ＞2，故“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2 －2 x －2 by ＋ b 2－ a ＝0表示圆”的充分不必要条件. 目录 高考总复习·数学 2. 记数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，则“ S 3＝3 a 2”是“{ an }为等差数 列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若数列{ an }是等差数列，则 S 3＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝3 a 2；当 数列{ an }的前 n 项和满足 S 3＝3 a 2时，数列不一定是等差数列， 如： a 1＝1， a 2＝2， a 3＝3， a 4＝5；所以“ S 3＝3 a 2”是“{ an }为 等差数列”的必要不充分条件，故选B. 目录 高考总复习·数学 【例4】　已知 P ＝{ x ｜ x 2－8 x －20≤0}，非空集合 S ＝{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }.若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，则 m 的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由 x 2－8 x －20≤0，得－2≤ x ≤10，∴ P ＝{ x ｜－2≤ x ≤10}.∵ x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，则 S ⊆ P ，∴ 解得0≤ m ≤3，故0≤ m ≤3时， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件. [0， 3]　 充分、必要条件的探究与应用 目录 高考总复习·数学 　（变条件）本例中条件“若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件”变为“ x ∈ P 是 x ∈ S 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范 围. 解：由例题知 P ＝{ x ｜－2≤ x ≤10}.∵ x ∈ P 是 x ∈ S 的充分不必要条 件，∴ P ⫋ S . ∴[－2，10]⫋[1－ m ，1＋ m ].∴或 ∴ m ≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞）. 目录 高考总复习·数学 解题技法 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系， 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式 组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解 参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取 舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 目录 高考总复习·数学 　设 p ：1＜ x ＜2； q ：（ x － a ）（ x －1）≤0.若 p 是 q 的充分不必要 条件，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意知{ x ｜1＜ x ＜2}⫋{ x ｜（ x － a ）（ x －1）≤0}，则 a ＞1，即{ x ｜1＜ x ＜2}⫋{ x ｜1≤ x ≤ a }，从而 a ≥2. [2，＋∞）　 目录 高考总复习·数学 感 谢 观 看! $$