4.1 指数（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

4.1 指数 题型一 根式的化简与求值 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 题型二 分数指数幂与根式的互化 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得； 要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 4．（多选）（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 5.（多选）（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 6．（多选）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 题型三 指数幂的运算、化简、求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得①；由得②．得，得． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 3．（19-20高一·全国·课后作业）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 题型四 根式、指数幂的混合运算 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 【答案】BD 【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B． ，B正确； 对于C，原式 ，C错误； 对于D，当时，，得， 由，得， 所以，D正确． 故选：BD. 2．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 3．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 【答案】0 【分析】运用指数幂运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：0. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】1 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 ． 故答案为：1. 题型一 指数幂运算中的条件求值 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 【答案】 【分析】根据可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故答案为：. 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，， 则 . 【答案】15 【分析】根据指数幂的运算法则求解． 【详解】若，，则． 故答案为：15． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平方关系，变形求值即可. 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 4．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 题型二 指数幂的运算与基本不等式交汇问题 1．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得结果. 【详解】由得， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为. 故选：D. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算或化简下列各式： (1)． (2)若，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算化简即可； （2）通过平方运算，得，进而得，代入求值即可. 【详解】（1）因为，， 故． （2）∵， ∴两边平方，得， ∴， 两边平方得：， ∴原式． 4．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （3）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （4）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，即可求解； 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 6．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用根式和指数幂的运算求解； （2）利用指数幂和平方关系求解. 【详解】解：（1）， ， ； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 指数 题型一 根式的化简与求值 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 题型二 分数指数幂与根式的互化 1．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 4．（多选）（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 指数幂的运算、化简、求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，那么（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 3．（19-20高一·全国·课后作业）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 根式、指数幂的混合运算 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 2．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 题型一 指数幂运算中的条件求值 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，， 则 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 4．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型二 指数幂的运算与基本不等式交汇问题 1．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算或化简下列各式： (1)． (2)若，求值． 4．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 6．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$