第一章《反比例函数》单元检测题 2024—2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

第一章《反比例函数》单元检测题 2024-2025学年九年级上册数学鲁教版（五四制） 一、单选题 1．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（11·漳州）如图，P (x，y)是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积 A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定 3．已知点，，都在反比例函数的图象上，则（） A． B． C． D． 4．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（    ） A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m 5．若点在过点的反比例函数上，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 7．如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点．在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，一次函数y=kx﹣1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，BC垂直x轴于点C．若△ABC的面积为1，则k的值是（　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在第一象限内，点A，B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，轴，轴，若，，则k的值为（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 10．如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是2和5，则k的值是（　　） A．7 B． C．2+ D．10 二、填空题 11．因为有人造谣：碘盐可以预防核辐射，导致人们抢购碘盐，造成碘盐价格波动．一个人准备用100元到市场上购买碘盐，则购买数量y（千克）与价格x（元/千克）的关系为 12．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 13．如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ． 14．如图，已知点是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点，随着点的运动，点的位置也随之变化，设点的坐标为，则，满足的关系式为 ． 15．如图，反比例函数的图像经过菱形OABC的顶点C，且与AB交于点D，若点A的坐标为，的面积为，则k的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为 ． 17．在同一坐标系中，反比例函数y=和y=分别与一个正比例函数在第一象限相交于A、B两点，则OA：OB= ． 18．如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴． （1）若矩形的对角线，则矩形周长为 ； （2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为 ． 三、解答题 19．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示． P 1.5 2 2.5 3 4 … V 64 48 38.4 32 24 … （1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式 ； （2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？ 20．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 21．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数(k为常数，)的图象交于A、B两点，过点A作轴，垂足为C，连接，已知，， (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)结合图象直接写出：当时，x的取值范围． 23．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 24．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）写出月产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （2）求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式； （3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？ （4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，熟知“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”是解答此题的关键． 根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，关于原点对称的两个点的横纵坐标为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴另一个交点坐标是， 故选： B． 2．A 【分析】因为过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变． 【详解】解：依题意有矩形OAPB的面积=|k|=3， 所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变． 故选A． 3．D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小大．当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 分别把各点代入反比例函数求出、、，的值，再比较出其大小即可． 【详解】都在反比例函数的图象上， 故选：D． 4．B 【分析】利用点P的坐标求出F=，当F=10时，即F==10，求出s，即可求解． 【详解】解：设函数的表达式F=， 将点P的坐标代入上式得：3=，解得k=12， 则反比例函数表达式为F=， 当F=10时，即F==10， 解得s=1.2（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 5．B 【分析】用待定系数法求出该反比例函数表达式，再分别求出a，b，c的值，即可比较． 【详解】解：设该反比例函数的表达式为， 把点代入得：， ∴该反比例函数的表达式为：， 把点代入得：，解得：， 把点代入得：，解得：， 把点代入得：，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数表达式的步骤． 6．C 【分析】设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k． 【详解】作CD⊥x轴于D， 设OB＝a，(a＞0) ∵△AOB的面积为3， ∴OA•OB＝3， ∴OA＝， ∵CD∥OB， ∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a， ∴C(，2a)， ∵反比例函数y＝经过点C， ∴k＝×2a＝12， 故选C． 【点睛】本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键． 7．B 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC=-k、S△AOM=-k，再根据中位线的性质即可得出S△EOF=4S△AOM=-2k，由此即可得出S1、S2的数学量关系． 【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．    ∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴S矩形ODBC=-k，S△AOM=-k． ∵AE=AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴， ∴AM=OF，ME=OM=OE， ∴S△EOF=OE•OF=4S△AOM=-2k， ∴2S矩形ODBC=S△EOF， 即2S1=S2． 故答案为：2S1=S2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象系数k的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数k的几何意义找出S矩形ODBC=-k、S△EOF=-2k是解题的关键． 8．B 【分析】根据B在反比例函数图象上，设出B坐标，进而表示出BC与OC，表示出三角形ABC面积，将已知面积代入求出kx的值，联立反比例与直线解析式，求出交点B坐标，即可求出k的值． 【详解】解：∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴可设B的坐标是（x，），则BC=，OC=x， ∵y=kx-1， ∴当y=0时，x=，则OA=，AC=x-， ∵△ABC的面积为1， ∴AC×BC=1， ∴（x-）•=1， ∴kx=3， 联立方程组，消去y得：=kx-1， 解得：x=， ∴B的坐标是（，2）． 把B的坐标代入y=kx-1得：k=2． 故选B． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，以及反比例函数图象上点的特征，设出B点坐标是本题的突破点． 9．D 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点、的坐标，根据题意即可得出， ，解方程组即可得出结论； 【详解】解：设， 在反比例函数的图象上， ， 轴，且点在反比例函数的图象上， ，． 轴， ，， 又，， ， 解得或（舍去）， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据线段间的关系找出关于的方程组是解题的关键． 10．C 【分析】设D（t，），由矩形OGHF的面积为2求得HF=，根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（kt，），再利用矩形面积公式得到（kt﹣t）•（﹣）=5，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值． 【详解】设D（t， ）， ∵矩形OGHF的面积为2，DF⊥x轴于点F， ∴HF=， ∵EG⊥y轴于点G， ∴E点的纵坐标为， 当y=时，=，解得x=kt， ∴E（kt，）， ∵矩形HDBE的面积为5， ∴（kt﹣t）•（﹣）=5， 整理得，（k﹣2）2=10， ∵k＞0， ∴k=． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，求得点E的坐标为（kt，）是解决问题的关键. 11．y= 【分析】根据数量×价格=总钱数，可求出购买数量y（千克）与价格x（元/千克）的关系式． 【详解】购买数量y（千克）与价格x（元/千克）的关系式为y． 故答案为y． 【点睛】本题考查了理解题意能力，关键知道数量×价格=总钱数． 12．3 【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6， ， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键． 13． 【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°， 由题意得OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠DOB， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC=OD，OC=BD， 设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b， ∴点A的坐标为（-b，a）， ∵点B在反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 14． 【分析】首先根据点的坐标为，分别求出点的坐标、点的坐标；然后根据点B和点C的横坐标相同，求出，满足的关系式即可． 【详解】解：由反比例函数的性质可知，点和点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为，， 点的坐标为，， 根据图象可知，点和点的横坐标相同， ，即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 15．4 【分析】根据题意设出点C的坐标，根据菱形的性质和△OCD的面积为，可以得到关于点C的坐标有关的方程，可以得到点C的坐标，即可计算k． 【详解】解：由题意可得， 设点C的坐标为， ∴， ∴即， ∵点A的坐标为，菱形OABC, ∴OC=OA ∴即， 解得：(a＞0）， ∴， 故答案为：4 【点睛】本题考查反比例函数的性质、菱形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16． 【分析】过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示和点B向下平移个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题． 【详解】解：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a， 在中， ，， 则，， 点B向下平移个单位的点为，即 则有 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 17．：3． 【分析】分别过A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，设A（a，），B（b，）（a＞0，b＞0），证明△AEO∽△BFO，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求得b=a，再由即可求解. 【详解】解：分别过A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为E、F， 设A（a，），B（b，）（a＞0，b＞0）， ∴OE=a，OF=b，AE=，BF=， ∵AE∥BF， ∴△AEO∽△BFO， ∴， ∴ ， ∴， ∴6a2=2b2， ∴b=a， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用函数关系式表示点的坐标是数学中常用的方法，要熟练掌握，解决此类问题时与平行相似结合在一起列等量关系式，可以求出线段的比． 18． 4或 【分析】（1）设矩形的两边为、，利用反比例函数的几何意义得到，再根据勾股定理得到，根据完全平分公式变形得到，则可计算出，从而得到矩形的周长； （2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，利用三角形面积公式得到，再根据对称轴的性质得垂直平分，，接着证明垂直平分得到，所以，则；当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，证明四边形为正方形得到，，则可计算出，而，于是得到． 【详解】解：（1）设矩形的两边为、，则， 矩形的对角线， ， ， ， ， 矩形的周长为， 故答案为； （2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点， 矩形的面积， 而， ， 点与点关于对称， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ； 当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3， 点与点关于对称， ，， 为等腰直角三角形， 平分， 四边形为正方形， ，， ， ， 而， ， 综上所述，的面积为4或， 故答案为4或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质． 19．（1）p＝；（2）4.8千帕；（3）气球的体积至少为立方米． 【分析】（1）设p与V的函数的解析式为p= ，利用待定系数法即可求函数解析式； （2）把v=20代入p= 可得p=4.8； （3）把p=144代入p= 得，V= ．可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为 立方米． 【详解】解：（1）设p与V的函数的解析式为p＝， 把点A（1.5，64）代入， 解得k＝96． ∴这个函数的解析式为p＝； 故答案为p＝； （2）把v＝20代入p＝得：p＝4.8， 当气球的体积为20立方米时，气球内的气压是4.8千帕； （3）把p＝144代入p＝得，V＝， 故p≤144时，v≥， 答：气球的体积至少为立方米． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题． 20．(1) (2) (3)两腿迈出的步长之差最多是厘米 【分析】（1）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，设反比例函数的解析式为，并将表格中的数据代入即可求解； （2）某人两腿迈出的步长之差为厘米代入反比例函数解析式即可求解； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设反比例函数解析式为，当时，， ∴，即， ∴与之间的函数表达式是． （2）解：某人两腿迈出的步长之差为厘米，即， ∴， ∴某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，将代入反比例函数， ∴，解方程得，， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴两腿迈出的步长之差最多是厘米． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际的综合应用，理解反比例函数的定义，及图像的特点是解题的关键． 21．(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 22．(1)， (2)或． 【分析】(1)求得，把代入可得反比例函数的解析式为，求得，把，代入一次函数，可得一次函数的解析式为． (2) 当时，x的取值范围或． 【详解】（1）解：详解：(1)∵，， ∴， ∴， 把代入可得，， ∴反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数，可得， ∴， 把，代入一次函数，可得 ， 解得，， ∴一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用方程组解决，学会利用图象确定自变量的取值范围． 23．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 24．（1）产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y=﹣2x+860；（2）Q=；（3）成本占销售价的；（4）销售单价最低为230元． 【分析】（1）设y=kx+b，把，代入解方程组即可． （2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题． （3）求出销售价即可解决问题． （4）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得 ∴解得， ∴产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y=﹣2x+860． （2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，将Q=60，y=160代入得到m=9600， 此时Q=． （3）当Q=30时，y=320，由（1）可知y=﹣2x+860，所以x=270，即销售单价为270元， 由于，∴成本占销售价的． （4）若y≤400，则Q≥，即Q≥24，固定成本至少是24元，400≥﹣2x+860，解得x≥230， 即销售单价最低为230元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$