第24讲 简单的三角恒等变换专项训练-2026届高三数学一轮复习

第24讲　简单的三角恒等变换 基础热身 1.sin 15°+cos 15°= (　 ) A. B. C. D. 2.已知点P(-3,4)是角α终边上一点,则的值为 (　 ) A.- B. C.- D. 3.cos2-cos2= (　 ) A. B. C. D. 4.已知第二象限角α满足sin(π+α)=-,则sin 2β-2sin(α+β)cos(α-β)的值为 (　 ) A.- B.- C. D. 5.若cos=,则sin=　　　　.  6.计算:=　　　　.  能力提升 7.在斜三角形ABC中,sin A=-2cos Bcos C,且tan B·tan C=-1,则角A的大小为 (　 ) A. B. C. D. 8.已知α∈,=,则tan= (　 ) A. B. C. D. 9.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°的等腰三角形,另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中,36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618,这个值被称为黄金比值.若t=,则= (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)下列计算中正确的是 (　 ) A.sin 15°-cos 15°=- B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= C.sin-cos=- D.sin 105°= 11.(多选题)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下结论正确的是 (　 ) A.sin 2α= B.cos(α-β)= C.cos αcos β= D.tan αtan β= 12.单位圆O与x轴正半轴交于点M,A,B为单位圆上两点,|AB|=1,∠MOB=α且A,点B位于第二象限,则+sincos-cos2=　　　　.  13.已知sin=-,sin=,且α∈,β∈,则α-β的值为　　　　.   14.(1)已知sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β). (2)化简:. 15.已知f(x)=sin+2sin·cos. (1)求f的值; (2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值. 能力拓展 16.为持续推进“改善农村人居环境,建设宜居美丽乡村”,某村委会计划在该村一矩形空地上进行绿化.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2n,点E是AD的中点,F,G分别是线段AB和线段DC上的动点(DC足够长),∠FEG=60°. (1)当DG=n时,求△AEF的面积; (2)求△EFG面积的最小值. 参考答案 1.A　[解析] sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.故选A. 2.A　[解析] 因为点P是角α终边上一点,所以sin α=,cos α=-,tan α=-,则===-,故选A. 3.D　[解析] 由题意得cos2-cos2=cos2-cos2=cos2-sin2=cos=. 4.D　[解析] 由题得sin α=,又α为第二象限角,所以cos α=-=-,则sin 2β-2sin(α+β)cos(α-β)=sin[(α+β)-(α-β)]-2sin(α+β)cos(α-β)=-[sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)]=-sin 2α=-2sin αcos α=-2××=. 故选D. 5.-　[解析] sin=sin=cos 2=2cos2-1=2×-1=-. 6.　[解析] == = == ===. 7.A　[解析] 由tan B·tan C=-1可得sin Bsin C=-cos Bcos C,则cos Bcos C-sin Bsin C= 2cos Bcos C,即cos(B+C)=2cos Bcos C,即cos A=-2cos Bcos C,又sin A=-2cos Bcos C, 所以sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,所以A=,故选A. 8.A　[解析] ∵α∈,=,∴=,得=,得sin 2αcos α- cos 2αsin α=2sin 2α,即sin α=4sin αcos α,∴cos α=,∴sin α=,则tan α=, 又tan α==,即tan2+2tan-=0,∴tan=(负值舍去).故选A. 9.D　[解析] 如图,在△ABC中,AB=AC,A=36°,则B=72°,由正弦定理得t=== 2cos 72°·=2cos 72°·=2cos 72°,所以====.故选D. 10.ACD　[解析] 对于A,sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15°= sin(15°-60°)=sin(-45°)=-,故A正确;对于B,sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10° +cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故B错误;对于C,sin-cos=2=2sin=2sin=-,故C正确;对于D, sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,故D正确.故选ACD. 11.AC　[解析] 因为cos 2α=-,α为锐角,所以sin 2α==,故A正确;因为cos(α+β)=-,α,β为锐角,所以sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+ sin 2αsin(α+β)=×+×=,故B错误;cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×=,故C正确;sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×=,所以tan αtan β=,故D错误.故选AC. 12.　[解析] 因为A,所以sin∠MOA=,因为|AB|=|OA|=|OB|=1,所以∠AOB=,故+sincos-cos2=+sin α-=sin α-cos α=sin=sin∠MOA=. 13.　[解析] 因为α∈,β∈,所以α-β∈.由α-β=π-,得sin(α-β)=sin=sin,不妨记x=-α,y=+β,则sin(α-β)=sin(x+y)=sin xcos y+sin ycos x,又x∈,sin x=-,所以cos x=,又y∈,sin y=,所以cos y=-,故sin(α-β)=sin xcos y+sin ycos x=,所以α-β=. 14.解:(1)∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0,又sin=,cos=, ∴cos=-,sin=-, ∴cos(α+β)=sin=sin×cos-cos×sin=×-×=-. (2)== == =-2. 15.解:(1)f(x)=sin+2sincos=sin-2sincos=sin-2sincos=sin-sin=sin 2xcos-cos 2xsin+ cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,故f=sin=0. (2)∵α∈,∴2α+∈,又f(α)=, ∴0<sin=<,∴2α+∈, ∴cos=-=-, ∴sin 2α=sin=sincos-cossin=×-×=. 16.解:(1)由DG=n,DE=AD=n,得tan∠DEG==,故∠DEG=60°.又∠FEG=60°,所以 ∠AEF=60°,则AF=AEtan∠AEF=n,所以S△AEF=AE·AF=n2. (2)设∠GED=α,由题意得30°<α<90°,则DG=ntan α,∠AEF=120°-α,所以AF=ntan(120°-α),则 S△AEF=AE·AF=n2tan(120°-α),S△DEG=DE·DG=n2tan α,S梯形ADGF=(AF+DG)AD=[ntan(120°-α)+ntan α]·2n=n2[tan(120°-α)+tan α],所以S△EFG=S梯形ADGF- S△AEF-S△DEG=n2[tan(120°-α)+tan α]=n2·= == .因为30°<α<90°,所以30°<2α-30°<150°,所以<sin(2α-30°)≤1,所以0<2sin(2α-30°)-1≤1,所以≥n2,当且仅当α=60°时取等号,所以△EFG面积的最小值为n 学科网（北京）股份有限公司 $$