2025年九年级中考复习数学三轮冲刺-二次函数面积最值问题

2025年九年级中考复习数学三轮冲刺 二次函数面积最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．求周长的最大值； (3)将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求的值． 2．如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． (1)抛物线解析式为 ； (2)如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； (3)如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 3． 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值 (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 6．已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，，且，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连接、，求的面积的最大值； ②连接，求的最小值． 7．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 8．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)若点是第四象限内抛物线上一个点，求的最大值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点，顶点为点G，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． (1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标； (2)求的面积的最大值并写出P点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接，当四边形周长取最小值时，求点E的坐标______．在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，直接写出周长的最小值为 　   　； (3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点G的坐标； 11．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴点A． (1)求二次函数的表达式； (2)连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD//AC，交AB于点D，试猜想的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标． (3)连接OD，在（2）的条件下，求出的值． 12．已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)． (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值． 13．如图1，已知二次函数的图像经过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线上异于点的一点，且，求点的坐标； (4)如图2，在（3）的条件下，点是线段上的动点，点在第一象限，且，交抛物线于点，连接，，，四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 14．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由． (3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考复习数学三轮冲刺-二次函数面积最值问题》参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，得出，解直角三角形求出，得出，然后根据二次函数的性质求出的最大值即可； （3）先求出平移后的表达式，然后分当时、当时、当时三种情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：∵抛物线的函数表达式为：， ， 设直线的解析式为， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴， ，轴， ，则， ，则， 的周长为：， 当最大时，的周长有最大值， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时的周长有最大值，最大值为； （3）将抛物线向上平移2个单位得到抛物线， ， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， ， （舍），， 当时， 当时，， 当时，， ， 不符合题意，应舍去； 当时， 当时，， 当时，， ， ， 综上可得，． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形综合，解直角三角形，二次函数的平移等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．(1) (2) (3)存在，最小值是 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点F作轴于点G，求出，待定系数法求出直线的解析式为，设点F的坐标为，则，根据得出当时，取最大值，根据面积一定，，当面积最大时，四边形面积的最大，求出最大值即可； （3）过点D作轴，截取，连接、，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点F作轴于点G，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点F的坐标为，则， ∴， ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵面积一定，， ∴当面积最大时，四边形面积的最大， ∴四边形面积的最大值为． （3）解：存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示： 把代入的解析式得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的对称性、二次函数的性质、面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键． （1）把点代入解析式中求得a的值，得到抛物线线解析式可确定顶点坐标P，由得到点是对称点得到，结合，确定点，进而求得、、，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数得到顶点，可判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1，根据函数的性质分类计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ． ∴二次函数的表达式为：． ∴该抛物线的顶点坐标为． ∵， ∴M、N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线，顶点为且， ∴，即， ∴，解得， ，， ∴，，， ． （2）∵二次函数，顶点为， ∴函数的最大值为2， ①当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设，的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； ②当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； 综上，a的取值范围为． 4．(1)； (2)； (3)点的坐标为或 ． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线AC的解析式为，设点，过点作轴，交直线于点，可得 ，即得，即可得到 ，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点， 连接交直线l于点M，则，又可知四边形是平行四边形，得即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线 沿射线AC向下平移2的单位长度，再向右平移4的单位长度得到新的抛物线y'，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵抛物线的函数图象与轴交于，两点，代入得，解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的函数图象与轴交于点， 当时，得， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， 过点作轴，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当 时， 的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：点的坐标为 或，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由， 解得（不合，舍去）或 ， ∴ ； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得（不合，舍去）或， ∴ ； 综上所述，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．(1)，； (2) (3)最大值为1． 【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答； （2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答； （3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案． 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 此时的周长最小，所以的周长为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 当时，有最大值是， 当时，， 点的坐标为时，有最大值是，此时的面积最大； ． 当时，的面积最大；面积的最大值为1． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 6．(1)抛物线的解析式为 (2)①的面积的最大值为；②的最小值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，可得对称轴为直线，由锐角三角函数可求点坐标，代入解析式可求解析式； （2）①先求出直线解析式，设，可得点，，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解； ②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， ， 又， ， 即， 代入抛物线的解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）①设，其中， 设直线的解析式为， ， 解得 即直线的解析式为， 令，得：， 点，， 把代入，得， 即， ， 的面积， 当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，据图形的对称性可知，， ， 过点作于，则在中，， ， 过点作于点，则， 线段的长就是的最小值， ， 又， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 7．(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对称轴方程可求得，把点的坐标代入可求得，可求得抛物线的解析式； （2）根据关于对称轴对称可求得点的坐标，利用抛物线的解析式可求得点坐标，根据对称性可得即为所求，勾股定理求得的长即可求解； （3）过点作轴，交于点，求得直线的解析式为，设，则，根据求得面积，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由，对称轴为， 可得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）由点坐标为，且对称轴方程为，可知， ∴， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为； 当三点共线时，最小，即为的长， ∴, 即的最小值为； （3）解：如图， ∵点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，轴对称求最短距离，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．(1)， (2)的最大值为9，此时点P的坐标为 (3)点E的坐标为，点H的坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）如图所示，连接，过点P作轴于E交于F，用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，推出，再求出，利用二次函数的性质即可得到答案； （3）先说明最小，就是最小；作，且，连接，则；作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；待定系数法求出直线的表达式，得到，设出点H的坐标，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行讨论求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点得： ， 解得：， ∴； ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴点G的坐标为． （2）解：如图所示，连接，过点P作轴于E交于F， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为9， ∴的最大值为9，此时点P的坐标为； （3）解：∵在中，，， ∴； ∴， ∴要使最小，即要使最小； 作，且，连接，如图所示，则， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴； 作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴； 设点H的坐标为， 当四边形为平行四边形时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知 ， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时，同理可得 ， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时，同理可得 ， ∴， ∴ 综上所述，点H的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 10．(1)； (2)； (3)面积的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，由轴对称的性质得出，此时取得最小值，再由勾股定理求解即可； （3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 如图所示：连接交对称轴于点H， ∵、两点关于对称， ∴， ∴，此时取得最小值， ∵， 在中， ， 在中， ， ∴周长的最小值为：， 故答案为：； （3）如图2所示：设， 过点G作轴，交于点F， 设直线BC的解析式为， ∵， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，面积的最大值为，此时． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 11．(1) (2)最大值； (3) 【分析】（1）根据题意，将点B，C坐标代入二次函数，求出a，c，进而求出函数解析式； （2）易证，得出，推出，进而得出，又，得出，进而求出面积有最大值及点P坐标； （3）当时，P为BC边的中点，则，得出，根据勾股定理求出AB的长，进而得出OD的长，最后得出的值． 【详解】（1）解：∵点，在二次函数的图象上， ∴ 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：的面积有最大值，点，理由如下： 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∴， 在中，令，解得， ∴点， ∴， ∴， ∵PD//AC， ∴∠BPD=∠BCA，∠BDP=∠BAC ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，的面积存在最大值． （3）解：当时，P为BC边的中点，则， ∴D为AB边的中点， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及到的知识点有待定系数法求解析式，二次函数求最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理求线段长以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，综合性较强，能够灵活熟练地运用以上知识是解决问题的关键． 12．（1），所以对称轴为x=1 （2） ①t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形 ②当t=20秒时，面积S有最小值3 【详解】解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)， ∴c =-3． 将点A(3，0)，B(2，-3)代入得 解得：a=1，b=-2． ∴．-------------------2分 配方得：，所以对称轴为x=1．-------------------3分 (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等， ∴BC∥OA． 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB． 即QE=AD=1． 又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1． 解得t=5． 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分 ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G． ∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， ∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ， ∴PF=QG． 又∵∠PMF=∠QMG， ∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG． ∴点M为FG的中点     -------------------8分 ∴S=， =． 由=． ． ∴S=．-------------------10分 又BC=2，OA=3， ∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0<t≤20． ∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分 13．(1) (2) (3) (4)的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，，，由得到，求出所在直线表达式为，设所占直线不等式为，然后将代入求出所在直线不等式为，然后联立求解即可； （3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E，求出，证明出，得到，设，则，利用等面积法表示出，然后根据求出，得到，，，然后勾股定理逆定理得到，等量代换得到，如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P，得到，点P即为所求，然后求出所在直线表达式为，和抛物线联立求解即可； （4）如图所示，连接，，设，然后表示出所在直线表达式为，求出所在直线表达式为，然后联立求出，得到，然后等量代换得到，然后代入根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，，， ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）解：如图所示，连接，， ∵ ∴点A到的距离等于点P到的距离 ∴ ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴设所在直线表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 ∴联立得， 解得（舍去）或 ∴将代入 ∴； （3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点P即为所求， ∵，， ∴可得所在直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （4）如图所示，连接，， ∵点M在抛物线上， ∴设 ∵，， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴设所在直线表达式为 ∴将代入得， ∴ ∴所在直线表达式为 ∵， ∴可得所在直线表达式为 ∴联立得， 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 ∴将代入得，． ∴的最大值为，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，面积最值问题，解直角三角形，一次函数的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 14．(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 15．(1)，对称轴为 (2)有， (3)有， 【分析】由且，得，抛物线的表达式为：，将代入可解得，从而可得抛物线的解析式及其对称轴； 过P作轴，交于点，先由已知求出坐标，再根据与同底等高求出，设，用含的代数式表示的面积，即可求出的面积有最大值是； 连接，过作交轴于，沿射线线平移得到，由四边形是平行四边形，可得CT=EF=OC=3，CE=TF，，且等腰直角，，，有CE=BE=TF，要使最小，只需最小，此时、、三点共线，而，，即可求出的周长的最小值为． 【详解】（1）∵OB=OC，C(0,3)， ∴点B(3,0)，即抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点， ∴抛物线的表达式为：； ∵C(0,3)， ∴，解得a=-1； ∴ 抛物线的表达式为：，且函数的对称轴为：x=1； （2）过P作轴，交AH于点Q，如图： ∵C(0,3)，B(3,0)， ∴直线BC解析式为y=−x+3， ∵， ∴设直线AH解析式为， 再将A(−1,0)代入得：0=1+m，解得m=−1， 直线AH解析式为； 由得，， ∴H(4,-5)， ∵， ∴与同底等高， ∴与面积相等， 则有：， 设，根据轴，则有：， 则有：， ∴， ∴代入相应的数值，化简得：， 则有：, 配方得：， 可知当时，有最大值，且最大值为， （3）连接CE，过F作交y轴于T，如图： ∵沿射线线OD平移得到， ∴，即轴， ∴四边形是平行四边形， ∴CT=EF=OC=3，CE=TF， ∴， ∵等腰直角，，， ∴OC=OB，∠DOC=∠DOB=45°， 又∵OE=OE， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使l最小，则有最小， 当T、F、B三点共线时，最小值即是的长度， 而，， ∴，即最小值是， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数解析式、对称轴、三角形面积的最大值、周长最小值等，解题的关键是熟练应用二次函数的相关性质，用含未知数的代数式表示相关线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$