精品解析：陕西省安康市平利县秋坪中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024~2025学年度第二学期期中调研试题（卷）八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 用了“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”这一不等式基本性质的变形是 （ ） A. 由 得 B. 由 得 C. 由 得 D. 由 得 【答案】D 【解析】 【分析】A.利用了“不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变” B.利用了“不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变” C.利用了“不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变” D.利用了“不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变” 【详解】A.由的两边同时减去3，得a−3>b−3，故本选项不符合题意 B.由a>b的两边同时乘以5，得5a>5b，故本选项不符合题意 C.由a>b的两边同时加上c，得a+c>b+c，故本选项不符合题意 D.由a>b的两边同时乘以−8，不等号的方向改变，即−8a<−8b，故本选项符合题意 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变. 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，需明确反证法的步骤是假设原命题结论不成立，进而推导矛盾；原命题结论为“”，其反面应为“”. 【详解】解：用反证法证明时，第一步需假设原命题结论的反面； 原命题结论为“在中，若，则”， 其反面是“”， 故选：A 4. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等边三角形的性质，得出，再根据题意，得出∠EDB＝∠EDC＝90°，再利用SAS，得出，再利用全等三角形的性质，得出∠EBC＝∠ECB＝45°，再根据角的关系计算，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵三角形是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 5. 将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（ ） A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 垂直平分线的性质 C. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D. 利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，理解图形是解题的关键． 根据图形可得，再根据角平分线的判定即可． 【详解】解：根据题意可得， 则为的角平分线， 故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：C． 6. 如图，在中，垂足为点A，交于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．直线恰好垂直平分线段，得到，由，，利用三角形的内角和定理求出，再根据含的直角三角形的性质，求出，最后根据即可得解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可．购买商品的钱不能超过44元． 【详解】解：∵， ∴她购买的商品超过了5件， 设她购买了x件商品， ， 解得：， ∴她最多可以购买该商品12件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解． 8. 如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 10. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（k为常数，）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集，先求得交点坐标为，然后找出正比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：由题意，将代入中，得，解得， ∴， 由图可得，当时，正比例函数图象位于一次函数图象上方部分， ∴关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是证明三角形全等，用转化的思想思考问题． 取中点，连接，，先根据直角三角形的性质求解，再由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短，可知：当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ，，， ， ， 点是的中点， ， ， 将线段绕点A按顺时针方向旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短，可知：当时，有最小值， 此时，，， ，即的最小值为1， 故答案为：1． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； 根据一元一次不等式的解法进行求解即可 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15. 如图，为等边三角形，点A，C在轴上，点在轴上．过点作，交轴于点，证明：是等腰三角形． 【答案】 证明：等边的三个顶点都在坐标轴上， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，通过等角对等边证明等腰三角形，先根据等边三角形性质得到，由，利用得到，即可得到结论． 【详解】略 16. 如图，在中，于D，于C，且，求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质得到，然后利用证明三角形全等即可． 【详解】略 17. 请用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点P，连接即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】 证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】略 19. 如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点A的对应点点C恰好在上，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到，根据图形，由，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质得， ∴， 则， 解得． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点A、B、C的对应点分别是点； （2）若点B与点关于点O成中心对称，请写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） 如图，点即为所求作： 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查画平移图形、中心对称图形，理解平移性质和中心对称图形性质是解答的关键． （1）根据平移性质得到对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后图形； （2）根据中心对称图形的性质得到对应点的位置，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为． 21. 以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； （2）解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】（1）一 （2）， 如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据不等式的性质和一元一次不等式的求解步骤进行解答即可； （2）先求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：由题目的解答过程可知， 第一步，解不等式②，去分母时，左右两边同时乘6，右边的1漏乘最简公分母6， ∴第一步开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集， ∴不等式组的解集为． 22. 如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】 证明：，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】略 23. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”不等式，例如不等式和不等式是“互联”不等式． （1）请判断不等式和是否是“互联“不等式，并说明理由； （2）若和是“互联”不等式，求a的取值范围． 【答案】（1） 是，理由如下； ， 解得，， ， 解得，， ∴， ∴有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，即不等式和是“互联“不等式； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式，解一元一次不等式组是解题的关键． （1）解，得，解，得，即，然后根据定义判断作答即可； （2）解，得，解，得，由和是“互联”不等式，可得，且，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得，， ， 解得，， ∵和是“互联”不等式， ∴，且， 解得，， ∴的取值范围为． 24. 如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． （1）求证：垂直平分 （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即垂直平分． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，，，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． （1）在甲花店购买的优惠价为____元，在乙花店购买的优惠价为_____元（均用含x的式子表示）； （2）请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 【答案】（1），； （2）当时，在甲花店购花更优惠；当时，在乙花店购花更优惠；当时，在甲，乙花店购花一样优惠；过程如下； 解：当时，，解得：，即当时，在甲花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在乙花店购花更优惠； 当时，，解得：，即当时，在甲，乙花店购花一样优惠． 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用，一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出函数解析式和一元一次不等式成为解题的关键． （1）直接根据优惠方案列出函数解析式即可； （2）根据题意，分三种情况，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：在甲花店购买的优惠价为元； 在乙花店购买的优惠价为元． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，点D在线段上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，点F落在线段上．求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是一块种植园，，点D是入口，、是两条小路，点E、G分别在上，，现把绕点D逆时针旋转得到线段，点F落在线段上，沿再修建一条小路．管理员为了方便灌溉，沿铺设地下水管，沿修建水渠，在实际操作过程中需要知道地下水管与水渠之间的数量关系，请你帮助管理员探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1，连接， ∵在中， ∴， 由旋转可得， 是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，连接， 由旋转可知，，． ． ，， ，， ，， ， 在和中， ， ，， ． ， ，， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及图形旋转性质；解题关键是利用角度关系判定等腰三角形，通过构造全等三角形转化线段关系 ． （1）连接，由旋转得，推出，利用等角对等边证 ，再根据角度关系证 ，最后通过等量代换得 ． （2）过点作交于，连接 ．利用旋转性质和已知角度证得 ，再由平行关系和角度推出等腰三角形，得出 ，最后等量代换得 ． 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中调研试题（卷）八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用了“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”这一不等式基本性质的变形是 （ ） A. 由 得 B. 由 得 C. 由 得 D. 由 得 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ） A. 18° B. 20° C. 30° D. 15° 5. 将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（ ） A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 垂直平分线的性质 C. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D. 利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 6. 如图，在中，垂足为点A，交于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 7. 某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 8. 如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 10. 不等式的解集为______． 11. 如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（k为常数，）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是______． 13. 如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式：． 15. 如图，为等边三角形，点A，C在轴上，点在轴上．过点作，交轴于点，证明：是等腰三角形． 16. 如图，在中，于D，于C，且，求证：． 17. 请用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 19. 如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点A的对应点点C恰好在上，．求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点A、B、C的对应点分别是点； （2）若点B与点关于点O成中心对称，请写出点的坐标． 21. 以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； （2）解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 22. 如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 23. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”不等式，例如不等式和不等式是“互联”不等式． （1）请判断不等式和是否是“互联“不等式，并说明理由； （2）若和是“互联”不等式，求a的取值范围． 24. 如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． （1）求证：垂直平分 （2）若，求证：是等边三角形． 25. 为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案： 甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费； 乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费； 某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束． （1）在甲花店购买的优惠价为____元，在乙花店购买的优惠价为_____元（均用含x的式子表示）； （2）请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，点D在线段上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，点F落在线段上．求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是一块种植园，，点D是入口，、是两条小路，点E、G分别在上，，现把绕点D逆时针旋转得到线段，点F落在线段上，沿再修建一条小路．管理员为了方便灌溉，沿铺设地下水管，沿修建水渠，在实际操作过程中需要知道地下水管与水渠之间的数量关系，请你帮助管理员探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $