上分专题03 利用基本不等式解决实际应用问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

上分专题03 利用基本不等式解决实际应用问题 命题密钥 利用基本不等式解决实际应用问题是我们在高中阶段遇到的第一类应用题型.应用题的 重要性和难度在于它们能考查学生将理论知识应用于实际问题的能力，以及综合分析和解决 问题的技能.这类题目通过模拟真实情境，要求学生将学科知识与现实问题相结合，检验将所 学知识转化与应用到实际情境中的能力，能够培养学生的逻辑思维和应用思维 解答过程中的难点在于要求学生提取关键信息，分析信息中所蕴含的数量关系，并依此 建立数学模型.解答此类问题时，需要认真分析题目条件中的数量关系与实际情境中对变量的范 围限制，警惕因忽略变量范围导致的公式应用条件错误、取等条件错误等问题造成的失分 考点觉醒 ·解题思路 利用基本不等式解决实际问题和初中学过的利用方程和不等式解决实际问题的基本步骤 类似，即： 认真审题，分清已知量、未知量之间的数量关系，并且抓住实际情境巾所隐含的 审 范围限制 ↓ 设· 设出适当的未知数，一般是直接设未知数，也可根据题日实际情况间接设未知数 列· 根据题日条件列出关系式 解 利用基本不等式求出最值 答· 检验答案是否符合题意，并写出答案 ●解题策略 应用基本不等式求最值时遵循“一正，二定、三相等”，即需要验证应用基本不等式的式子 的正负、是否有和或积的最值以及基本不等式成立的取等条件 在解决实际问题时，因为具体情境中所隐含的条件限制，有时会出现取等条件无法达成的 情况，因此在应用基本不等式求最值时，需要格外关注取等条件 “一正” 使用基本不等式的前提是求最值的两个数均为正数 积定和最小 xy=p,则x+y≥2D “定” 和定积最大 tp,则y≤ 4 取等条件可以取到 根据基木不等式求山！的最值即为木题答案 “三机等 取等条件无法取到 根据对勾函数=+的性质（第五章即将学到）求解 06 数学「必修第一册·SJ 实战演练 1.(2025·江西南昌高一期中)单位时间4.(2025·浙江温州高一期中)如图，要设 内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道 计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左 路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候 右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏 等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过 的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm, 的车辆数N满足关系N=。 1000w ，其 0.4m2+0.6+do 则矩形广告的总面积最小值为 cm2. 中d(m)为安全距离，v(m/s)为车速.当安 全距离d。取40m时，该道路一小时“道路 容量”的最大值约为 A.110 B.116 5.*(2025·湖北随州高二月考)《九章算 C.119 D.122 术》是中国传统数学重要的著作之一，其中 2.。(2025·江苏苏州高一月考)两次购买 记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开 同一种物品，可以用两种不同的策略（每次 门.出东门十五里有木，问出南门几何步而 购买价格不同)，第一种是不考虑物品价格 见木？”有一小城，如图中长方形所示，出东 的升降，每次购买这种物品的数量一定：第 门1200步有树.出南门750步能见到此 二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这 树（注：1里=300步），则该小城的周长最小 种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较 值为多少里？ 经济？ ( A.第一种 0 B.第二种 南门 C.第一种和第二种一样 D.无法比较 3.(2025·广东佛山高一月考)现有一家 物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过 市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占 地费为y,(单位：万元)，仓库到车站的距离 为x(单位：千米)，x>0,其中y1与x+1成反 比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x 成正比，若在距离车站9千米处建仓库，则 y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司 应该把仓库建在距离车站 千米处， 才能使两项费用之和最少，最少费用是 万元 黑白题·上分秘箱■07 6.#(2025·江苏盐城高一月考)某市在建7.鞋(2025·江苏南京高一月考)如图（示 造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求 意)，在公路AB的一侧有一块空地，在这块 隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的 空地上规划建造一个口袋公园（如图中 隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消 Rt△ABC),其中道路AC与BC为健身步道. 耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米， △ABC内为绿化景观与健身设施等，由于路 两者清足关系式：0≤年≤10，片为 面材质的不同，AC段的造价为每米3万元， BC段的造价为每米2万元，△ABC内部的 常数).若隔热层的厚度为5厘米，则每年的 造价为每平方米2万元.设AC的长为x米， 能源消耗费用为2万元，15年的总维修费用 BC的长为y米. 为20万元，记y2为15年的总费用.（总费 (1)若建造健身步道的费用与建造△ABC内 用=隔热层的建造成本费用+使用15年的 部的费用相等，则如何规划可使公园占 能源消耗费用+15年的总雏修费用)》 地面积（只考虑△ABC内部）最少？ (1)求常数k: (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身 (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时， 步道至少有多长？ 15年的总费用y2最小，并求出最小值. 08数学I必修第一册·SJ6十：名场=21因为>1，所以6 b b 10,所以上式≥22，合(6)=4，当且仅当0 1 1,即=2时等号成立，所以6的取值范围是 [4,+),故答案为[4，+). 1.82-4解折：2x*y2+之 +-2+16.令=>0，所以2 16=2 2 +16=2(+2)+2*1 2+ 4>22*2)-4 82-4,当且仅当2+2)=2治即1=22-2时取等号，所 以216的最小值为82-4.故答案为82-4 x 2x+y 12B解折：设四=1，则+13425 y24 9 25 g=164≥3，当且仅当25=y=9.即=5= 3时等号成立.故选B. 13.-1解桥：令mn=<0,m-a=<0则m=号，a=号，则 8m2m8.号2. 2 2_44yy=4--1- m+m一nxy x Y x Y 号成立，故8m2m的最大值为-1.故答案为-. m+nm一n 14.A解析：由x+2y+y-7=0,得(x+2)(y+1)=9.由x>0,y> 0,得x+2>2,y+1>1,所以x+y=(x+2)+(y+1)-3≥ 2(x+2)(y+1)-3=3,当且仅当x+2=y+1=3时取等号， 所以x+y的最小值为3.故选A. 15.B解析：由m>0,n>0,m+3mn+2n2-m-n=0,得(m+n）· （m+2m-1）=0.因此m+2n=1,则+1=(m+2n)(+ 1 m n ）=3g≥342，会只342.，当且仅当合 m n 只即=。时取等号由2：解得m=2-1a (m+2n=1, 1所以当m=2-1a=1-号时女取得最小值 2 m n 3+2√2.故选B. 16.C解析：因为x+y=y,所以x(y-1)=上因为x>0,y>0,所 以y-1>0,x(y-1)-(y1)=1,故(x-1)(y-1)=1,x-1>0, 1义高22片图为 x-1y1-1y-1 参考答案 (x-1)(y-1)=1,x-1>0,y1>0,由基本不等式可得 x-1 2≥2 ·之=22，当且仅当x=1+2 -1 Vx-1 y-1 J=2+1时 等号成立，所以+2≥3+22，当且仅当x=1+ Cx-1 y-l 2.rs 2+1时等号成立，所以三+2二的最小值为3+22.故 x-1y-1 选C 上分专题03利用基本不等式解决实际应用问题 1000m 1000 1,B解析：由题知N= 0.4r2+0.6r+d。0.4r2+0.6m+40 1000 1000 一≤ -=1000 116,当且仅当 04r40+062,a4x 8.6 +0.6 Q4-0即=10时取等号，所以该道路一小时“道路容 量”的最大值约为116.故选B. 2.B解析：依题意，假设第一次价格为x1,第二次价格为x, 与第一种方式响买的平均价格为西：第二种方式，设 每次购买的花费为，则购买的平均价格为2：： 2 XX2 X T2 12 由装本不等式得红。 x,+x2 x1+x2 x+x2 场，所以选 2 第二种方式比较经济.故选B 3.4 36 解折：设，=为=，由题可知，当x=9时， 0-2=9%=712部得a=20=号所以有-品万= 所以总魔用为场识宁品子+D-专 4 2码)号曾当组仅当器+1)时等号 /204 成立，解得x=4或x=-6(合)，故答案为4： 36 4.24500解析：设阴影部分矩形的底边长为xcm,则其高为 cm,所以矩形广告的总面积为s=(2x+25)(90, 9000 20）=20(2x+25) (0）=(2x+"20s）产 202,2r."20+92s）=2450(m),当且仅当2zx= 1250(0),即当x=75时，S取最小值24500cm2,故答案 为24500. 5.解：设1GFI=x步，EF1=y步，由△EFn△FGA,可得 FG 黑白题105 即四高可得0 ,所以该小城的周长为 750' 2(2+2)=4x9000 90000 =240/10(步). x ≥4×2x· 因为1里=300步，所以240010步=8/10里，所以该小城 的周长最小值为810里 6.解：1)依题意，当x=5时，=2,2=1045=30. 450 (2)由(1)知24+2中X15+20=45 2x45+20(0≤r≤10). =2252g022200=0.当组仅 当2(2x+5)= 2即x5时，方取最小值心当隔热层的厚度 为5厘米时，15年的总费用最小，最小值为0万元 7.解：(1)根据题意建造健身步道的费用为3x+2y,内部的建造 费用为2×7y(x,y>0).即三3x+2y,所以有x=,(之 3),而公园古地面积y=,一一3》63》9-(y 3 y-3 62-)·只=2.当组仅当，3 3)+6+9 9 y-3 即y=6,x=4时取得等号，所以规划AC=4米，BC=6米时占 地面积最少 (2)根据题意有3x+2y+y=30,即(x+2)(y+3)=36.而x+y= x+2+y+3-5≥2√(x+2)(+3)-5=7,当且仅当x+2=y+3, 即x=4,y=3时取得等号.所以规划AC=4米，BC=3米时，即 步道至少为7米 上分专题04“三个二次”的综合应用 1.C解析：由题可，原不等式可转化为[2x-(a+1)][2x- （a-)]<0因为空>号，所以不等式的解集为 2> {}政选c 2.解：(1)ax-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0,①若a=0,则原不 等式可化为-x+1<0,解得x>1:②若a<0,则原不等式化为 ()x-1)>0.解得<或1：3若0a<1,则原不等 式化为(-)(x-)<0,解得1x<:④若a=1,则原不 等式化为x2-2x+1<0,无解：⑤若a>1,则原不等式化为x )x-1)<0,解得<1综上所述，当a<0时，原不等式 的解集为(，。)U(1,+):当a=0时，原不等式的解 集为(1，+)：当0c0<1时，原不等式的解集为(1，。)：当 a=1时原不等式的解集为空集：当a>1时，原不等式的解 必修第一册，SJ 集为（日）】 (2)由题意得4=a2-16,①当4<0，即-4<a<4时，方程2x2+ x+2=0无实根，所以原不等式的解集为R:②当4≥0，即 a≥4或a≤-4时，方程2x2++2=0的两个根为x= 4-后-16，a+16所以当a=-4时，原不等式 4 的解集为(-，1)U(1,+):当a>4或a<-4时，原不等式 的解集为(，6)u(6,):当 a=4时，原不等式的解集为(-，-1)U(-1,+) 3.A解析：由x2-2x≤0，求出0≤x≤2，x2+2x-1≤0在xe [0.2]上恒成立，am2+2x-1≤0曰ar2≤1-2x.当x=0时.0≤ 1,meR当e(0,2]时，r≤1-2xa≤2-( 广-1.其中（任1广-1≥-1.当且仅当=1时，等号成 立，故a≤-1.综上，4的取值范围为(-，-1】故选A. 4.D解析：由题意可知，一元二次不等式x2-2x+6k<0对任 意的xeR恒成立，所以<0， (4=4-24h2<0. 得k后放滤D 5.(-,3)解析：关于x的不等式x2-x-k+3>0在区间 [0,2]有解的否定为x2-kx-+3≤0在区间[0,2]上恒成立， 结合二次函数y=x2-x-k+3图象可知，需要满足x=0与 x=2时二次函数的函数值均小于或等于0，即 -k+3≤0. 解得k≥3，即x2-x-+3≤0在区间[0,2]上 4-2k-k+3≤0. 恒成立时满足≥3，所以关于x的不等式x2-kx-+3>0在 区间[0,2]有解时k的取值范围为<3，故答案为(-，3)， 6.解：(1)①若m=0,则原不等式可化为2≥0，显然恒成立： ②若m≠0，则不等式m2-mx+2≥0恒成立，等价于 m>0. 解得0<m≤8综上，实数m的取值范围是 △=m2-8m≤0， m10≤m≤8 (2)①当m=0时，则原不等式可化为2≥0，显然恒成立； ②当m>0时，函数y=m2-mx+2的图象开口向上，对称轴为 直线x=分，若e[3,5]时不等式相成立，则 (m>0. 解得m>0:3当m<0时，函数y=mx2-mr+2 9m-3m+2≥0. 1 的图象开口向下，对称轴为直线x=2,若x[3,5]时不等 式恒成立，则m<0, 25m-5m+2≥0. 综上，实数m的取值范周是{一≥} 7.A解析：由题意可得若>0，则函数在x=-3和x=2处的函 数值为正，在x=-1和x=0处的函数值为负：若a<0,则函数 在x=-3和x=2处的函数值为负，在x=-1和x=0处的函 黑白题106