专题探究6 数学文化与探究创新-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

专题探究6 数 黑题 专题强化 题组1集合中的创新问题 1.。(2025·江苏苏州高一月考)德国数学家 康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的 定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公 共元素，则称集合A.B互为正交集合，规定空 集是任何集合的正交集合.若全集U= {xl|2x-91≤7，x∈N},A=xlx2-7x+10<0. xeN},则集合A关于集合U的正交集合B的 个数为 A.8 B.16 C.32 D.64 2.(多选)(2025·江苏无锡高一月考)设 P,Q为非空实数集，定义P⑧Q=xx=xy,x∈ P,y∈Q1,则 A.P8{1}=P B.(P⑧Q)⑧R=P⑧(Q⑧R) C.P⑧|01CP D.P0=PnO 3.(2025·浙江杭州二中高一月考)若数 集A=a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<aay n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i<j≤n), 4与2中至少有一个属于A,则称集合A为 “权集”，则 A.“权集”中一定有1 B.{1,2,3,6为“权集” C.1,2,3,4,6.12为“权集” D.{1,3.4}为“权集” 4.转(2025·广东广州高一期中)已知☑≠AC 乙，对于kEA,k-1A且k+1A,则称k为A 的“孤立元”，给定集合A={x∈NI-1<x≤ 必修第一册·SJ 文化与探究创新 限时：90min 5,则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的 集合的个数为 A.5 B.7 C.13 D.15 5.#(2025·江苏南通高一月考)设X是一个 集合，？是一个以X的某些子集为元素的集 合，且满足： (1)X属于T,☑属于r: (2)x中任意多个元素的并集属于： (3)?中任意多个元素的交集属于， 则称r是集合X上的一个拓扑已知集合X= {a,b,c,对于下面给出的四个集合r: ①r=10,{a,la,b,a,cl: ②r=10,bl,1c,1b,c,{a,b,c}: ③r={☑，a,c,{b,cl,c,{a,b,c}: ④r=0,{a,lc,{a,b,c, 其中是集合X上的拓扑的集合？的序号是 A.② B.①③ C.②④ D.②③ 6.设集合0n=1,2,3,…,n},n为正整数， 记f八n)为同时满足下列条件的集合A的个 数：①ACUn,②若x∈A,则2xA,③若x∈ C.A,则2 gCvA,则f16)= 7.#(2025·江苏苏州高一月考)】 若有限集A=a1,a2,…,am} (n≥2，n∈N),且满足a1+a2+…+a。=a1a2… a。,则称A为“完美集”. (1)若A={a,a+2}为“完美集”，则实数 a= ； (2)若A二N°且为“完美集”，则A= 黑白题148 题组2函数中的创新问题 8.(2025·江西上饶高一期末) 设函数y=f八x)和y=f(-x),若两 函数在区间[m,n]上的单调性相同，则把区间 [m,n]叫作y=f(x)的“稳定区间”，已知区间 [2,2024]为函数y=(兮广+a的稳定区 间”，则实数a的取值范围为 A【-9,g] -32,3 c.【-3,g】 n.【-9,3a] 9.(2025·广东汕头高一期末)已知f八x)是定 义在R上的函数，当x≤0时f(x)=e+1,且y= (x+1)的图象关于x=-1对称对于给定的正数 入，定义函数g(x,入)= ),x)≤入若函数 λ，f八x)>A, y=g,）m有零点，则实数m的取值范围为 A.] Bo,】 c.[32] n.月+ 10.鞋（多选）(2025·江苏苏州高 一月考)对于任意两个正数“， (u<0),记曲线y=与直线x=,x=D,x轴围 成的曲边梯形的面积为L(,),并约定 L(u,u)=0和L(h,)=-L(v,u),德国数学 家莱布尼茨最早发现L(1,x)=lnx关于L(u, ),下列说法正确的是 (6)=1(9.27 B.L(22,324)=24L(2,3) C.L(n“,)≥v-u D.2L(u,t)<”_“ u v 数学文化与探究创新 11.已知定义在R上的函数f(x),对于给定 集合A,若对任意x1,x2∈R,当x,-2∈A时 都有f八x)-f(x2)∈A,则称f八x)是“A封闭" 函数.已知给定两个命题：P:若f(x)是“11} 封闭”函数，则f(x)是“2025}封闭”函数. Q:若f(x)是“|ab}(a,b∈N)封闭”函数， 则f(x)不是“[a,b]封闭”函数.则下列正确 的判断为 A.P是真命题，Q是真命题 B.P是假命题，Q是真命题 C.P是真命题，Q是假命题 D.P是假命题，Q是假命题 12.(2025·江苏南京高一期中)若函数 f八x)与g(x)对于任意x,e[c,d],都有 (x,)·g(x2)≥m,则称函数f(x)与g(x)是 区间[c,d]上的“m阶依附函数”.已知函数 f(x)=3x-2与g(x)=x2-ax-a+6是区间 [1,2]上的“2阶依附函数”，则实数a的取 值范围是 13.#如图，太极图通常被描绘为 一个圆形图案，中间有一条S形 曲线将圆形图案分为两部分，体 现了数学的“对称美”.已知0为坐标原点， 若函数(x)的图象将圆O的圆周二等分，并 且将这个圆及其内部分成面积相等的两部 分，则记f(x)为圆0的一个“太极函数”.给 出下列四个结论： ①对于圆O,它的“太极函数”有无数个： x-x,x≥0， ②函数f(x)= 是圆0的一个“太 x2+x,x<0 极函数”； ③函数f(x)=x3-3x是圆O的一个“太极函 数” ④函数f(x)=n(√x+1+x)是圆0的一个 “太极函数”. 其中所有正确结论的序号是 黑白题149 题组3三角函数中的创新问题 14.密位制是度量角的一种方法把一周角 等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以 密位作为角的度量单位，这种度量角的单位 制，叫作角的密位制在角的密位制中，采用 四个数码表示角的大小，单位名称密位二字 可以省去不写.密位的写法是在百位数与十 位数字之间画一条短线，如7密位写成“0 07”,478密位写成“4-78”.1周角等于6000 密位，记作1周角=60-00,1直角=15-00.如 果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则 其圆心角用密位制表示为 ( ) A.10-00 B.20-00 C.30-00 D.40-00 15.*(多选)已知角0和中都是任意角，若满 T 足0+p=2+2km,keZ,则称0与9“广义互 余".若sin(m+a)=4,则下列角B中，可能 与角α“广义互余”的有 A.sin B=15 4 B.cos(T+B)= C.tan B=15 D.tan B=15 16.英国数学家泰勒发现了如下公式： x2xx sin x=x- 3！5！7 ,+…,C0sx=1 2！4！6! …,其中n！=1×2×3×4×…×n.已知a=sin 4 6=c0s4,则下列说法正确的是 A.a<b B.a>b C.a=b D.无法判断二者大小 必修第一册·SJ 17.#古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、 余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、 余矢函数这八种三角函数的函数线合称为 八线.其中余切函数cot0= anO正割函 数心0s余制函数心A sin日正矢 函数versin0=1-cos0,余矢函数vercos0= 1-sin8.如图角0始边为x轴的非负半轴，其 终边与单位圆交于点P,A,B分别是单位圆 与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM 垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为 M,N,过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的 垂线分别交0的终边于T,S,其中AM,PS, BS,NB为有向线段，下列表示正确的是 A.versin 0=AM B.csc 0=PS C.cot 0=BS D.sec 0=NB 18.(2025·福建福州高一月考)在平面直 角坐标系中，设角《的终边上任意一点P的 坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r>0),规 定：比值叫作a的正余混弦，记作sc小a. 若scha=5(0<a<m),则tana 19.群若ae【2,]且na=,则可以记 a=arcsin x:若a∈[0，T]且cosa=x,则可以 记a=arccos x.实数y∈(0,1），且 (arccos y)2-(arcsin y)2=a,arccos y)2+ (arcsin y)2= 黑白题150100.即pP3=100po,故C正确： 对于选项D,由选项A可知L,-=20xg,且L,1,≤ 90-50=40.则20xg≤40，即g≤2，可得≤100.且 P1P>0,所以P,≤100p2,故D正确.故选ACD. 10.24解析：由题意得192， 所以em=192 48 e22*=48, 子e=分所以=3时y=e=(e心日 192=24. 专题探究6数学文化与探究创新 黑题 专题强化 1.D解析：12x-91≤79-7≤2x-9≤7，得1≤x≤8，所以U= 11.2.3,4,5.6.7.8,x2-7x+10<0-(x-2)(x-5)<0.得2< x<5,所以A=|3,4,所以集合B的元素没有3和4，则集合 B的个数为集合11,2,5,6,7,8的子集个数，为2°=64.故 选D. 2.AB解析：选项A,由题可知，P②}1=a=x,xeP=P 故选项A正确： 选项B,P8Q=:1:=y,x∈P,yeQ,所以(P⑧Q)⑧R= lala=b,E(P0),bER=ala=xyb,xEP,yEQ.bE Ri,同理P⑧(Q8R)=1ala=xb,xeP,y∈Q,beR,所以 (P⑧Q)⑧R=P⑧((Q⑧R),故选项B正确： 选项C,P80=z:=x×0,xeP=01,故当集合P中没 有元素0时，选项C错误： 选项D,由题可知P8Q=zz=y,x∈P,yeQ1≠☑，但是 P∩Q可能为空集，所以选项D错误故选AB. 3B解折：因为2x3,名=3.号=2都属于数集2.3.61、 12,3,61是“权集”，所以“权集”中不一定有1，所以A错误： 因为12.1x3,1x6,2×3,号，号都属于数集1,23.6 1,23,6为权集，所以B正确：因为46与号均不 属于数集11,2,3,4,6,12,1,2,3,4,6,12不为“权集”，所 以C错误：因为3x4与均不属于数集1.3,4,1.3,4不 为“权集”，所以D错误故选B. 4.C解析：已知集合A=|1,2,3.4,5,“孤立元”为1的集合 为11,11,3,4,11,4,5引，11,3,4,5“孤立元"为2的集 合为2{，2,4,5引：“孤立元”为3的集合为3：“孤立元” 为4的集合为4,1,2,4：“孤立元”为5的集合为51， 11,2,5,2,3,5,1.2,3,5.综上，满足题意的集合有 13个.故选C. 5.D解析：①r=⑦，a,a,b,1a,c1,而1a,bUla,c= |a,b,cgT,故①不是集合X上的拓扑的集合T;②r=(⑦， b,c,1b,c,a,b,c,满足(1)X属于T,O属于T:满 足(2)r中任意多个元素的并集属于T:满足(3)？中任意多 个元素的交集属于T,因此②是集合X上的拓扑的集合T:③ T=|②，a,c,b,c,el,a,b,c},满足(1)X属于r,☑ 属于T:满足(2)T中任意多个元素的并集属于，：满足(3) 中任意多个元素的交集属于x,因此③是集合X上的拓扑的 必修第一册·SJ 集合r:④r=0,la,c,la,b,el.而iaUc=ia,cgr, 故④不是集合X上的拓扑的集合综上得，是集合X上的 拓扑的集合r的序号是②③，故答案为D. 6.256解析：任取偶数x∈U。,将x除以2，若商仍为偶数.再 除以2，…，经过k次后，商必为奇数，此时商为m,从而 x=m·2,其中m为奇数，EN”,由题意知，若m∈A,则 xeA等价于为偶数：若m使A,则xeA等价于k为奇数，所 以x是否属于A,由m是否属于A确定，设Q.是U,中所有 奇数的集合，所以f八n)是Q.的子集个数，当n为偶数（或奇 数)时，心.中奇数的个数为号 2 ,所以)= (22,n为偶数， 2号n为奇数。 所以(16)=2=256.故答案为256 7.(1)±2解析：由题意得a+a+2=a(a+2),解得a=±√2 (2)1,2,3解析：4二N”,不妨设1≤a,<a2<…<a.,且均 为正整数，因为a,m2…a,<mn,故a,a2…a-,<n,由于n≥2， 故当n=2时，a<2,由于4，为正整数，故a,=1,由“完美集” 的定义，a,+a=a,a→1+a=4,显然4无解，故当n=2时， 不存在“完美集”：当n=3时，可得a,<3,由于1≤a,<a:且 为正整数，故a,=1,42=2,由“完美集”的定义，4，+a,+a= a,aa,→1+2+a1=2a,解得a3=3,故当n=3时，存在一个 “完美集”，为{1,2,3；当n≥4时，由a1a2…a<n得1×2× 3x…x(n-1)≤a,a2…an1<m,故1×2x3x…x(n-1)<m,而当 n≥4时，(n-2)(m-1)-n=n2-4n+2=(n-2)2-2>0恒成立. 即1×2×3×…×(n-1)>n,这与1×2×3××(n-1)<n矛盾，故 当n≥4时.不存在“完美集”综上，4={1,2,3. 8.A解析：函数=（兮）广在R上单调递诚函数=”在R 上单调递增，若区间[2,2024]为函数y= (行广+a的 “稳定区间”，令f(x)=y= (传）广*a ,则函数f(x)= (兮)广a 与函数/-x)=13+a在区间[2,2024]上同 增或者同减， ①若两函数在区间[2,2024]上单调递增，则 (兮厂广+a≤0在区间[2,224】上框成立，于是 3+a≥0 (兮0 解得-9≤a≤-9 32+a≥0， ②若两函数在区间「2.2024]上单调递减.则 在区间[2,2024]上恒成立，于是 3"+a≤0 +如≥0·不等式组无解，所以实数：的取值范围为 3204+a≤0 11 -9,g故选A 9.A解析：因为y=八x+1)的图象关于x=-1对称，所以函数 八x)的图象关于x=0对称，所以函数(x)为偶函数， 黑白题098 即f八-x)=f代x),又当x≤0时/rx)=e+1,当x>0时，-x<0. f-x)=e'+1,即f代x)=e+1,所以f代x)= e+1,x≤0·由题 (e3+1,x>0, 意可得，函数y=(,）的图象如下图所示： =3 1=1.5 若函数y=g(k）m有零点，等价于g,）m方程 有解，等价于函数y=g,）与函数y=m的图象有交点， 由上图可知，当me(,2]时，满足题意故选A 10.D解折：选项A(后）=（合小-（分）月 -hgh7h340.27=11.2）-1.9)=h27- 6 1n9=ln3,正确； 选项B.1(22,3)=1n3-n22=24ln3-12n2,24L(2. 3)=24in3-24ln2,错误： 选项C,L(“,)=ln-ln“=ln-nu,取u e,=1, 则(e,e=-=1错误： 选项D,如图，结合图象知，因为S<S形，所以L(u,)= a-h<(-)(+）=2(a）=(日 吕)即2，。兰正确故选AD 11.C解析：对命题P,对于集合|1|，x1,eR使，-∈ 11,则x=x2+1,而f八x)是“1封闭”函数，则f八x2+1)- fx2)=1,即Hx∈R都有f八x+1)=f八x)+1,对于集合{k|, x:,2eR使，-x2ek,则1=2+k,k∈N”,而 八x2+)=(x2+k-1)+1=八2+k-2)+2=…=f八2)+k,即 八x+)=(x2)+k,放∫(2+)-f八x2)=k,∫(x)一定是 “1k1(keN)封闭”函数(x)是“2025封闭”函数，放 P正确： 对命题Q,若八x)是“1ab(a,beN)封闭”函数，则Hx, eR使x,-=b,则八x1)-f八x)=ab,若ab∈[a,b],则 ab≥a, ab≤b,由ab≤6解得a≤1.因为a∈N',所以a=1,即 a<b, Hx1,2eR使x,-=ab=be[a,b],则f八x)-f,)=ab= b∈[m,b],满足f(x)是“[a,b]封闭”函数，所以命题Q为 假命题，Q错误故选C. 12.(-,-2+25]解析：因为函数f八x)=3x-2在[1,2]上 单调递增，所以当xe[1,2]时，1≤(x)≤4，依题意，对任 意x,e[1,2]时，都有f八x1)·g(x)≥2，即对任意x, 参考答案 1.2时，都r即o≥[后l 因为后】=2.所以当宁<1.印a<2时，8() <2. 61)=7-2≥2，解得0≤又因为a2所以 5解 ≤2 得a<2当？>2，即a>4时gx)=g(2)=10-30≥2.解 得a≤弩（合去）：当1≤号≤2.即2≤a≤4时8) g(号）a+6≥2.化简得24-16≤0.解得-2 25≤a≤-2+25，又因为2≤0≤4， 2≤≤4， 解得2≤a≤-2+2w5.综上，实数a -2-25≤a≤-2+25， 的取值范围为(-x,-2+25]故答案为(-x,-2+25] 13.①③④解析：①圆0，过圆心的直线都可以将圆的周长和 面积等分成两部分，所以对于任意一个圆0，其“太极函 数”有无数个，故①正确： 2油于高藏-0当>00 x2-x=八x),当x<0时，-x>0,则f(-x)=x2+x=(x),故 f(x)= ?-,≥0·为偶函数，故根据对称性可知函数 (x2+x.x<0 f(x)= ,≥0不是圆0的一个“太极函数”，故② x2+x,x<0 错误： ③函数定义域为R-x)=-x+3x=-f(x),是奇函数，故 为圆0的一个“太极函数”，故③正确： ④函数定义域为R八-x)=ln(√+1-x)= In =-n(√+1+x)=-fx),放为奇函数，故 √+1+x 函数代x)=n(√++x)是圆O的一个“太极函数”，故 ④正确.故选①3④. 14.B解析：设扇形所对的圆心角为a,a所对的密位为n,则 2π 3=3,解得a-行由题意可得60o2解得a 1 3 3×600=2000,因此该扇形圆心角用密位制表示为 20-00.枚选B. 15.AC解折：若a与B广义互余，则a*B=号+2m(keZ)。 即B=号+2m-a(keZ.义由n(m+a)=-4,可得 1 sin a=4 对于A,若a与B广义互余.则mB=m(号+2m-a) wav个0生不由血B:可得a与B可 能广义互余，故A正确： 黑白题099 对于B,若a与B广义互余，则sB=(受+2m-a）月 加a=,由m(云8)=可得omB=故B错误 对于C,综上可得血B=:乐m月=所以mB mB-±5，由此可得C正确，D错误，故选AC cos B 11 16.A解析：由题意可知i血4 (4() 4 31 51 11 (:广（任） 2!4！6! >1过-动所以ac放法 17.C解析：根据题意.易得△OMP∽△OATn △SBOP△PNO. 对于A,因为1-cs0=1-OM=MA,即versin=MA, 故A错误； 对于B,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可 得心0记如0s放B销误： 对于C,t0-am0am∠OS8s,故C正确： 对于D,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可 得sre8=1=1.0AOr cms00MOM0P0T,故D错误故选C 1. 解析：0<<，则in>0,由正余混弦的定义可 得ha=上=上 -=sing一cosa,则有 r 4 sch a=sin a-cos a= sin a=5 解得 因此tang= cos'a+sin'a=1. 3 sin a>0, c0s5' 出：亨放答案为子 19.2 解析：设arccos y=0,aresin y=g,因为y∈(0,1)， 所以0e(o,受）pe(o,）即f-g2=a,m0= 加p头，因为-受<0-e<是，所以mp=m0 m(行0所以p=受0，即4p=受.所以(amsP (amsm)2=-g2=(+p)(0-p）=号·(0-）=a,所 以0-e=会所以(y户+(ainy)=+g2 o:o(号）广(）]-号答故答 2 必修第一册·SJ 全书综合检测 h.D解折：Vxe(o,受）<imx的否定为3xe(o,号）： x≥tan名.故选D. 2.D解析：A=x1Y=ln(x+1)={x1x>-1.B=1xlx2+x≥05= |xlx≥0或x≤-1，所以A∩B=[0,+0),故选D 3.D解析：从函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象可知，该函 数经过(4，-2)，所以-2=1g4,即a2=4,解得a=2 对于选项A,y=a= (仔厂广，由指数函数可知=（侵广在 定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B,y=1x=1x1=√x可，当x>0时，则y=,由 幂函数可知y=c在(0，+)上单调递增且图象靠近x轴， 故选项B错误： 对于选项C,该函数为y=og(-x)=log(-x),可看成y三 1gx的图象关于y轴对称，对称后在(-.0)单调递增，故 选项C错误： 对于选项D,y=x”=x2=,由幂函数可知y=G在(0，+) 上单调递增且图象靠近x轴，故选项D正确故选D. 4.D解析：令2=1，x=log1,则八2)=x+2-5化为f()= 1g1+t-5,>0,即f八x)=logx+x-5,x>0,该函数在(0.+o) 上单调递增/八2)=3-5=-2<0，J八3)=log3-2<0f(4)=6 5=1>0.即(3)(4)<0，故(x)的零点所在的区间为(3,4). 故选D. 5.D解析：由于点(3.)在帮函数x)=的图象上，所 以a=-1)=由于写<0，所以a 1 /g5)k0因为/)=在(0，+)上单调递减， i50°>in45°=2=1=2>2530.所t以c26>0>a,即c3 22 b>a.故选D. 6.C解析：由扇形弧长公式可得AB+CD+lw+lm=2(15-x)+ 150a8=40,即0=02又5=。·07e·0B,所 15+x x)(15-x) 10+2=-2+10x+75=-(x-5)2+100.所以当x= 15+x 5时，S最大为100.故选C 7.C解析：因为当，≠时，恒有x代x,)+x八)<xx,)+ x名)，所以当x,≠名2时，恒有(x,-)[f(x,)-()]<0, 不妨设x,<x,则fx,)-x)>0,即f(x,)>f八x2).所以函数 f(x)在R上单调递减，所以{0<a<1, 解得 ×1-3a+1≥a 0<u≤ ,所以实数a的取值范是(0，)] 故选C 黑白题100