5.3 函数的单调性-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

5.3函数的单调性 第1课时函数的单调性 白题基础过关 限时：40min 题组1函数单调性的理解 5.*(2025·江苏无锡高一期中)函数f(x)= 1,·对于函数y=(x)在给定区间上有两个数 1 ( x1,x2,且x,<x3使fx)<f名)成立，则y=fx) x一2的单调增区间是 A.(2,+3) B.(-,2) A.一定是增函数 C.(-2.2) D.(-,2),(2,+) B.一定是减函数 6.(2025·湖北华师一附中高一月考)已知 函数f八x)=|-x2+2x+31,下列结论正确的是 C.可能是常数函数 ( D.单调性不能确定 A.函数f(x)的减区间是(-，-1)U(1,3) 2.(多选)函数y=f八x)在(0，+0)上是减函 B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减 数，且0<x,<x2,则下列选项正确的是( C.函数f八x)在(0,1)上单调递增 A.f(x)>f(x2) D.函数f代x)的增区间是(-1,3) B.f(x1)-f(x2)>0 7.写出能够说明“若g(x)在R上是增函 C.(x1-)[f(x1)-f(x)]<0 数，则g(x)在R上也是增函数”是假命题的 D.)-f >0 一个g(x)的解析式：g(x)= x1-x3 8.(2025·广东东莞高一月考)已知函数 题组2函数单调性的判断与证明 3.*苏教教材变式（多选）(2025·广东广州高 Ax)=+ta ,且f1)=10. 一月考)如图是函数y=f(x)的图象，则函数 (1)求a: 八x)在下列区间单调递增的是 (2)判断函数(x)在[3，+)上的单调性，并 用定义法证明 A.[2,5] B.[-6,-4] C.[-1,2] D.[-1,2]U[5,8] 4.·(2025·天津河西区高一期中)下列函数 中，在其定义域上是减函数的是 A.f(x)=2x B.f(x)=-x2 C./(x)=1 D.f八x)=-2x+1 第5章黑白题063 题组3函数单调性的应用 14.若函数f代x)是定义在R上的增函数，则 9.·(2025·河北唐山高一期中)函数y= (2m-1)x+b在R上是减函数.则 f()与f(a2+2a+ )的大小关系 1 是 A.m> 2 B.m<2 15. 北师数材习题已知函数f(x)=x2-2mx-3 1 D.m<-2 1 C.m> 在区间[1,2]上具有单调性，求m的取值 2 范围. 10.(2025·河北承德高一期中)若函数 八x)在(-，-1]上是增函数，则下列关系式 中成立的是 A)-1)<-2) B.-10<f(）-2) c-2)<-1)<(-3) 重难聚焦 题组4复合函数的单调性及应用 D.-2<f-) 16.(2025·江苏常州高一期 11.(2025·广东中山高一月考)定义在R 中)函数f(x)=√x-x的单调递 上的函数∫(x)满足(x,-x2)·[f(x,)- 减区间是 f(x)]>0,x1≠x2,且fa2-a)>f(2a-2),则 A（,2] B归+到 实数a的取值范围为 A.(-,1)U(2,+) co,2] n.片小 B.(-1,2) C.(1,2) 17.*(2025·广东茂名高一期中)函数y= D.(-0,-1)U(2,+) x2-31x1+1的单调减区间为 12.”函数x)=+在区间(-2，+元)上为 题组5分段函数的单调性及应用 x+2 18.(2025·广东潮州高一期 增函数，则a的取值范围为 中)已知函数f代x)= A.a= 2 B.(+ x2+ax-2a,x≤4， 在R上单调递减，则实数 -,x>4, n.-22 a的取值范围为 13.(2025·湖南怀化高一期中)函数f(x) A.(-0,-9] B.(-x,-8] 是定义在R上的减函数，且f(-1)=1, C.[-9,-8] D.[8,+e) f(3)=-1,则f(x)1>1的解集为( 2x,x<2, 19.设函数f代x)= A.(-1,3) x2,x≥2， 若f(a+1)≥ B.（-∞，-1)U(3,+∞) f八2a-1),则实数a的取值范围是( C.(-∞，-1) A.(-,1] B.(-0,2] D.(-x,3) C.[2,6] D.[2,+) 必修第一册·SJ黑白题064 黑题 应用提优 限时：30min I L,函数y= 的单调增区间为( 6.(2025·河北石家庄高一月考)函数y= 4+3x- f(x)为定义在(-2,2)上的增函数，且f(2m)> A月+ f八-m+1),则实数m的取值范围是 7.(2025·广东佛山高一月考)若函数 R(1,] f(x)=12x+al的单调增区间是[3，+∞)，则a 的值为 若f(x)在[3，+)上为增函 C[4)和(4，+） 数，则a的取值范围为 D.(,-1)U(1,] 8.韩(2025·福建福州高一期中)已知函数 f(x)=√x2+4a+7在[1,2]上是减函数，则a 2.(2025·辽宁沈阳高一期中)设函数f(x) 的取值范围是 在R上为增函数，则下列结论正确的是 9.#(2025·重庆八中高一月考)已知定义在 ( A.y=f(x)在R上为增函数 区间(0，+0)上的函数f(x)满足f(xy)= B.y=八)在R上为减函数 f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)>0.若f3)=1. (1)判断并证明f(x)的单调性： C产在R上为增函数 (2)解关于x的不等式3x+6)+f)>2 D.y=-f(x)在R上为减函数 3.(多选)(2025·湖南长沙高一期中)已知函 数f代x)的大致图象如图所示，若f(x)在[a,a+2] 上单调递增，则a的值可以为 2.84 A.-0.1B.√2-1C.0.8 D.5 4.(2025·湖北武汉高一月考)已知函数 -x2+1,x<1, f(x)= x2-4x+3,x≥1 在(0，a-5)上单调递 压轴挑战 减，则实数a的取值范围是 ”(2025·山东菏泽高一期中)已知函数 A.[6,8] B.[6,7] C.(5,8] D.(5,7] f(x)=ax2+1是定义在R上的函数，若对于任 5.设a,b∈R,则“a>b”是“alal>b1b1”的 八x1)f八x2) 意1≤x1<x2≤3，都有 >-2,则实数 ( x1-x2 A.充分不必要条件 a的取值范围是 B.必要不充分条件 A.10 B.(0,+o) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 C) D.[-3.0) 第5章黑白题065 第2课时函数的最大（小）值 白题 基础过关 限时：25min 题组1函数的最大（小）值的求解 5.函数y=|x2-2x-31在x∈[-1,3]上的最 1.·(多选)(2025·湖南长沙高一期中)如图 大值为 是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象，则下列说 题组2函数的最大（小）值的应用 法正确的是 6.·若函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值 是4，则实数a的值为 A.-1 B.1 C.3 D.1或3 7.(2025·江西鹰潭高一月考)已知函数 y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最 小值2，则m的取值范围是 ( ) A.f(x)在[-4，-1]U[1,3]上单调递减 A.[1,+o) B.[0,2] B.f八x)在[-1,1]上单调递增 C.(-o,2] D.[1,2] C.f八x)在区间(-1,3)上的最大值为3，最小 8.*(2025·河南开封高一期中)某厂以x千 值为-2 克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件 D.f代x)在[-1,3]上有最大值3，有最小值-2 要求1≤x≤10)，每小时可获得利润1003x+ 2.(2025·江苏南京外国语学校高一期中)》 函数f代x)= 在区间[2,6]上的最大值为 12)元，要使生产10千克该产品获得的利 t-1 润最大，该厂应选取的生产速度是 ( ( A.2千克/小时 B.3千克/小时 A.3 B.5 C.2 0. C.4千克/小时 D.6千克/小时 3.(2025·江苏连云港高一期中)已知函 9.若函数(x)=-”+b(a>0)在[1,3]上的 数)=2x+e[2]小，则两数)的 值域为[1.3]，则a= ,b= 重难聚焦∥ 值域为 题组3函数的恒成立与存在性问题 2别 2] 10.已知函数f(x)=2 -1 C.[22,3] D.[2,3] fx)≥a在区间[3,5]上恒成 4.(2025·江苏无锡高一月考)已知函数 立，则实数a的最大值是 f(x)=x+√/2x-3,则函数f代x)有 A.3 A.最小值1，无最大值 B背 c 0.2 B.最大值)，无最小值 11.*(2025·湖北武汉高一月考)已知存 在xe[1,+o),不等式a≤ C.最小值 ,无最大值 成立，则实数a的取值 x2-x+2 D.无最大值，无最小值 范围是 必修第一册·SJ黑白题066 黑题 应用提优 很时：45min 1,(多选)(2025·安微阜阳高一期中)下列7.(2025·江苏南通高一期中)若命题 函数中，定义域和值域相同的是 ( “Hx∈[3,6]，不等式x+1-k-x+7>0恒成 1 A.y=- B.y=x2+1 立”是真命题，则实数k的取值范围是()》 A.(（-,2) B.(-,7) C2+1 D.y=x-√1-2x C.(2,7) D.(7,+x) x-2 8.(2025·浙江绍兴高一期中)a,b∈R,记 2.*(2025·天津一中高一期中)设函数f八x) a,a≤b, 的定义域为[0,1]，则“f八x)在区间[0,1]上单 minab= 函数f(x)=min2-x2,x b,a>b. 调递增”是“(x)在区间[0,1]上的最大值为 (xeR)的最大值为 ( f1)"的 A.充分不必要条件 A.2 B.1 C. D.2 B.必要不充分条件 9.(2025·安徽合肥高一月考)某中学在校 C.充要条件 园内开设了“希望之星小市场”，校学生会通 D.既不充分又不必要条件 过市场调研得知，某商品的进价为每件20元， 3.若函数f八x)=x2-4x+8,xe[1,a],它的最大 设每件售价为x(20<x≤40)元，则每天的销售 值为f八a),则实数a的取值范围是 件数P= x-10)2,要想日利润最大，售价应定 103 A.(1,2] B.(1,3) C.(3,+) D.[3,+) 为每件 元.（利润=售价-进价）》 4.设函数y=lx-11的定义域为[a,b],值域 10.要使函数y=x+“在x∈[2，+∞)上有最 为[0,3]，下列结论正确的是 ( A.当a=0时，b的值不唯一 小值2+，则k的取值范围是 B.当b=1时，a的值不唯 C.b-a的最大值为3 11.(2025·广东广州高一期中)已知二次 D.b-a的最小值为3 函数f(x)=x2-a.x+1,a∈R 5,(2025·陕西咸阳高一期中)若函数y= (1)若a=2,求f八x)在[-1,2]上的值域： -x2+(m+3)x+1在区间(2,3)内存在最大值. (2)求f(x)在[-1,2]上的最小值g(a). 则m的取值范围是 ( A.(-2,0) B.(-3,-1) C.(0,2) D.(1,3) 6.(2025·江苏泰州中学高一期中)若函数 f(x)=Wax+x+1的值域为[0，+o),则实数a 的取值范围为 A.(0.] B.101u[+) c.[o.] D.好+ 第5章黑白题067 x+4,x≤1 14.(2025·河南驻马店高一期中)已知函 12.#已知函数f代x)= 其中>0. x+,x>1, 数f代x)=W2+1++4-2x(x≥0). (1)求f(0)的值： )若=1，m)=,求实数m的值。 (2)判断∫(x)的单调性，并用定义法进行 (2)若函数∫(x)的值域为R,求k的取值 证明： (3)证明：0<fx)≤3. 范围 13.装(2025·浙江宁波高一期中)已知函数 f八x)=x2+alx-1l. (1)若a=1,xe[-1,2],求fx)的值域： (2)若f(x)≥1对x∈[-2,2]恒成立，求实 数a的取值范围 压轴挑战 1。林(2025·江西抚州临川一中 高一期中)已知m∈R,函数 )=m+m在e[2.5]上的最大 值是5，则m的取值范围是 ()》 A(2] B(] C.[2,5] D.[2,+o) 2.品(2025·山东聊城高一月考) 已知函数代)=x+4,xE 1 [1,2],g(x)=ax+2a-1,x∈[-1,3].对于任 意的x,∈[1,2]，存在x2∈[-1,3]，使得 f八x,)≥g(x2),则a的取值范围是 必修第一册·SJ黑白题06838,且x为基数).当=么21.6时y最大票价定为 22元时.净收入最多，为8330元. 压轴挑战 11 B解析：因为-12<21+，0十 2<4≤0+2,0- ≤0+3<4≤3+所以{}-1 {}=0,{4}=034=3.所以/（号）子(-0 子①正确认34)=-3=a4,②猎误：因为f(）- 0=(任)-0=4所以/()（任）故3正 确：y)的定义城是R,因为m了<x≤m+,所以-< 2<-x≤2，所以(x)=x-x值战是 (}],放④错误综上，正确的命愿个数为2故选区 5.3函数的单调性 第1课时函数的单调性 白题基础过关 1,D解析：：由单调性的定义可以知道，不能用特殊值代替 一般值，若使函数八x)为增函数，应为任意两个数，， 且x,<x2使八x1)<x2),故单调性不能确定故选D 2.ABC解析：AB选项，y=fx)在(0，+)上是减函数，且0< x<2,故x,)>x)x,)-八)>0，AB正确：CD选项，因 为1-<0x）-八)>0，所以(x-)[/八x)-）]<0, ()fx -<0.C正确，D错误，故选ABC x-2 3.C解析：图象从左往右上升的区间有[-6，-4]，[-1,2】， [5,8],八x)在[-6，-4]，[-1,2]，[5,8]上单调递增.故选 BC. 四易错提醒 函数的单调区间不可以写成并集形式 4.D解析：f代x)=2x的定义域是R,且在(-，+x)上单调递 增，A选项错误八x)=-x2的定义域是R,且在(-x,0)上单 调适猫，B选项错误()=的定义城是1≠0，且在 (-,0),(0,+∞)上单调递诚.C选项错误f代x)=-2x+1的 定义域是R,且在(-，+)上单调递减，D选项正确.故 选D. 5.D解折：属数e)=2的定义城为≠2引.又) 点的调象是由)=士肉右平移2个单位长度得列的。 y=-上的单调增区间为(-0.0)，(0，+0)，所以x)= -1的单调增区间为(-x,2).(2,+0).故选D x-2 6,C解析：由y=-x+2x+3=-(x-1)2+4.作出函数y= -x2+2x+3的图象，利用图象的变换可得f八x)=1-x2+2x+31 参考答案 的图象，如图所示 所以函数爪x)在(-，-1)和(1,3)上单调递诚，在(-1,1) 和(3，+0)上单调递增.故选C 7.x(答案不唯一，符合题意即可)解析：例如：g(x)=x在R 上是增函数，则g(x)=x2在(-∞，0)上单调递诚，在 (0,+x)上单调递增，所以g(x)在R上不是增函数故答案 为x(答紫不唯一，符合题意即可) 解：()由题意知，函数八)：”，因为1)=10，所以 -1=0则a9 (2)函数)在[3，+)上单调递增(1)知x)=+9 +9,设3≤<，则()八)=+ 99 x+ x13 =(x, -9 ,由3≤x1<1,得x11-9>0,x,-x2<0,x12>0, 1x2 所以(x1-:) -9 】<0→f(x,）-f()<0,即f(x,)< x f代x),所以函数f代x)在[3，+)上单调递增。 四方法总结 利用定义证明函数单调性的方法： (1)取值：设名，x,是所给区间上的任意两个值，且x,<2: (2)作差变形：即作差八x,)-f八x2),并通过因式分解，配方、 有理化等方法，向有利于判断粹号的方向变形： (3)定号：确定差f八x,)-八x)的符号： (4)下结论：判断，根据定义得出结论。 9.B解析：根据题意，函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数， 则有2m-1k0,解得m<2故选B ,D解析：因为)在(-，-上是增函数，且-2<-号 1.所以-2<()水-故选n 11.A解析：因为函数f(x)满足(x1-x)[/(x,)-(,)]>0, 1≠，所以函数八x)在R上单调递增，根据题设不等式关 系，有2a-2<a2-a,即a2-30+2=(a-1)(a-2)>0,解得a>2 或a<L.故选A. 四重难点拔 若函数八x)在定义城D上单调递增，则八x,)<八x,)台x,< 与2,1，为eD:者函数∫(x)在定义城D上单调递减，则 f八x1)>f八3)x<2,3D. 12.B解析：函数的定义域为(-，-2)U(-2,+x).(x)= ax+1ax+2a-2+12a-1 x+2 x+2 +2,因为函数)=+ 2在区向 (-2.+)上为增函数，所以2a-10,解得a>了故a的取 黑白题035 值范围是（号，+）故选B 13.B解析：由代x)1>1,得fx)>1或x)<-1,又函数f八x) 在R上单调递减，且f(-1)=1.(3)=-1,故可得x>3或 x<-1,即/八x)1>1的解集为(-，-1)U(3,+x).故选B. 14f(）s(c+2a+）解析：r2+2a+=(a+1) }≥子函数心是定义在R上的塔函数/(？）飞 /(d+2a+)故答案为/()sa+2a+)】 15.解：二次函数f八x)=x2-2mr-3的对称轴为x=m,故f八x)在 (-。,m)上单调递减，在(m,+%)上单调递增，由题可知 八x)在区间[1,2]上具有单调性，即x)在区间[1,2]上单 调递增或单湖递减.若f(x)在区间[1,2]上单调递增， 则m≤1：若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则m≥2：综 上，m的取值范制为(-女，1]U[2,+). 重难聚焦 16.D解折：由x≥0得0≤≤1，又1=x-(-)月 4,所以1=x2在[0，]上单调递增，在[分1]小上单 调递减，又函数y=在[0，+x)上单调递增，根据复合函数 同增异减，所以心)：V一在[分，1]小上单调递减故 选D. 四重难点拨 复合通数单调性遵循“同增异减”，即内外面数单调性在区 间I上相同时，复合函数在区间I上单调递增：内外函数单 调性在区间1上不同时，复合函数在区间【上单调递减. 17.(,子）(0，）解折：因为y=2-311+1=11 3引x1+1,记1=1x≥0，则y=x2-31x1+1可以看成是由函数 y=2-31+1,1≥0和1=1x1复合得到的.因为y=2-31+1在 (0,)）上单调递减，在（侵+✉）上单词递增4=在 (-,0)上单调递诚，在(0，+)上单调递增，当1e o)时e()又因为当e(+=）时。 x后(，)儿(2+），根据复合函数同增异减。 函数y=产-31x1+1的单调减区间为(，一号）】 (o.)）故答案为(.)人(0.)月 x+ar-2a,x≤4， 18.C解析：因为f(x)= 在R上单调递减。 -,x>4, 当x>4时x)=-G,则x)在(4，+)上单调递减，则需 满足 2≥4 解得-9≤a≤-8，即实数a的范围是 【16+2a≥-4. [-9,-8].故选C 必修第一册·SJ 四重难点拨 ①若分段函数f(x)= (g(x,x≤a在定义城上单调递增， h(x),>a, 则g(x),h(x)在定义域内均单调递增，且g(a)≤h(a): ②若分段函数f(x)= (g(x),x≤a在定义城上单调递减， th(x),x>a, 则g(x),h(x)在定义城内均单调递减，且g(a)≥h(a). 19.B解析：画出八x)的图象如下图所示，结合图象可知八x) 在R上单糊递增，由/八a+1)≥f八2a-1)得a+1≥2a-1,解得 a≤2.放选B. 黑题 应用提优 1.C解析：由4+3x-x2≠0可得x≠-1且x≠4，所以函数y= 4+3-的定义域为(-，-1)U(-1,4)U(4,+),因为 3子开日向下，其对称轴为=子，所以=4+3- 的单调减区间 [34)和(4+)国为西数y=在 (-,0),(0,+)上均为减函数，所以函数y= 的单 1 调瑞区间为[4)和(4，)，放选C 2.D解析：由题设《x)=x满足要求，则)y-八)-=1为常数函 威迅定义城不是R排除B,y)=2,y企 R上不是单调函数，且后一个函数定义城不为R,排除AC, 若函数八x)在R上为增函数，则y=-八x)在R上为减函数， D对故选D 3.BCD解析：由题图可知，八x)在[0,28]，[4，+)上单调递 增，所以≥0， ,或a≥4，所以a的取值范围为[0,0.8]U la+2≤2.8 [4,+x)故A不符合题意，BCD符合题意故选BCD. 4.D解析：函数八x)= -x+1,x<1, x2-4x+3,x≥1. 画出函数八x)的大致 图象，如图所示： 函数八x)在(0，a-5)上单调递减，.由图象可知0<a- 5≤2，解得5<a≤7，故实数a的取值范围是(5,7].故选D. 5.C解析：设f(x)=xlx1= 一，x≤0·则函数f(x)在 lx2,x>0, (-∞，0]，[0，+∞)上均为增函数，又因为函数(x)在R上 连续，故函数f八x)在R上单调递增，若a>b,则f八a)>f(b), 即alal>b1bl:若alal>b1bl,则f(a)>f(b),可得a>b.因此， 黑白题036 “a>b"是“alal>b1bl"的充要条件，故选C -2<2m<2 解析：由题意得 2-m+1c2,解得号<m<1,所 2m>-m+l, 以实数m的取值范围是（号，1）故答案为（行】 7.-6a≥-6解析：，f(x)=12x+a1的单调增区间是 [及+由2=3得a-6,若)在3，+)上为 增函数，则号≤3，解得a≥-6放答案为-6，a≥-6 四易错提醒 函数八x)在区何/上单调，则区何I是函数一段单调区问的 子集 8【只]解桥因为函数)=在0，+)上单润递凉。 所以函数y=x2+4x+7在[1,2]上单调递减.由 22. 解得-≤a≤-1故答案为[只-1]】 8 4+8a+7≥0. 9.解：(1)设>x>0,则之>1，)=x)+)) )任·))=（任））)=儒)》 又当o1时)>0层）小>0)>)到 在(0，+)上为增函数。 (2)令xy=3.则9)=3)3)=23+6)(）小>2 即(）19.由两数)在0，+)上为增函数，可 得3+69，解得0<<1，放原不等式解集为(0,1). 压轴挑战 G解折：因为1≤，≤3，所以)1，-2，) -2x+2x,故f(x,)+2x1<f(2)+2,令F(x)=(x)+2x,则 F(x)<F(x),故F(x)=f(x)+2x在[1,3]上单调递增，即 F(x)=a2+2x+1在[1,3]上单调递增，若a=0,此时F(x)=2x+ 1在[1,3]上单湖递增，满足要求，若a≠0，当a>0时，需满足 2元≤1，解得a>0或a≤-1，a>0或a≤-1与a>0取交集得a> 0,当a<0时，需满足≥3，解得-人 3≤a<0,-号≤a<0与a<0 取交集得-}≤a<0,综上，0≥}故选C 第2课时函数的最大（小）值 白题基础过关 1.BD解析：对于A,B选项，由函数f八x)图象可得，∫(x)在 [-4,-1]和[1,3]上单调递减，在[-1,1]上单调递增， 故A错误，B正确：对于C选项，由图象可得，函数八x)在区 间(-1,3)上的最大值为3，无最小值，故C错误：对于D 选项，由图象可得，函数(x)在[-1,3]上有最大值3，有最 小值-2，故D正确故选D. 参考答案 2.A解析：因为x)=x-)+2=1+2 x-1x-1 所以) +'在区间[2,6]上是诚函数，所以(x)在[2,6]上的最大值 x- 为八2)=3.故选A 3B解折：由题意得，设出∈分2小且则 2+-(2+）2-+ 马)(，）因为<，所以名<0又因为南 [片2]若西e日号]则2女此时 >0,所以)=2+在[号号]上为减函数：者 6e[学2小，则2>0，此时)-✉)0.所以 2+在[学2]上为增函数：综上所述，函数 )=2+在[分受]上为减两数，在[停2]小上为增函 数所以)f(号）=22.因为f(分)=32)=？ 所以)n=号，所以函数)=2x+xe[分2]的值 城为[22，？]故选R 4.C解析：解法一)=+V2百的定义城为[子，+x）】 因为y=和y=V23均在[月，+x)上单调递增，所以 x)=+2可在[月+）上单调递增，所以) (?)-,无最大值 解法二：因为f八x)=x+√2x-3,令√2x-3=1e[0,+0),所 以生质以=g0)-生1+14e [0,+x)因为g()的对称轴为直线‘=-1，所以g()在 [0,+0)上单调递增，所以g)-=g0)=子，无最大值.所 以)的最小值为子，无最大值故选C 四易错提醒 最值与值域不同，一个函数一定有值域，但不一定存在最值 ①若函数f八x)的值域为[a,b],则函数f(x)的最小值为a, 最大值为b:②若函数fx)的值域为(a,b),则函数f八x)不 存在最小值，也不存在最大值：③若函数f八x)的值域为[a, b),则函数f八x)的最小值为a,不存在最大值；④若函数八x) 的值城为(a,b月，则函数f八x)不存在最小值，最大值为b 5.4解析：由题意可知y=1x2-2x-31=1(x-1)2-41,作出函数 y=1x2-2x-3引，x∈[-1,3]的图象，如图所示 黑白题037 1=2-2x-3别 -11 31 由图可知，y=1x2-2x-31在[-1,1门上单瑞递增，在[1,3]上 单调递减，所以当x=1时，y=1x2-2x-31取得最大值为 112-2×1-31=4.故答案为4. 6.B解析：当a>0时，y=ax+1在区间[1,3]上为增函数，则当 x=3时，y取得最大值，即3a+1=4,解得a=1:当a<0时，y= x+1在区间[1,3]上为减函数，则当x=1时，y取得最大值. 即a+1=4,解得a=3(舍去)，所以a=1.故选B 7.D解析：因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x=1时，函数 取得最小值2，因为f(0)=f2)=3,而函数在闭区间[0，m] 上有最大值3，最小值2.所以1≤m≤2故选D. 8.C解析：由题意得，生产100千克该产品获得的利润为 0o02广].e≤0，令= 11 则0=10w(-2+3)=-200m[(-4）广高]故 当1=时)最大，此时x=4故选C 9.34解析：因为函数f代x)=- +6(o>0)在[1,3]上单词 递增，且值装为[1,3]，所以=-a+6=1且3)-号 b=3.解得a=3,6=4.故答案为3：4。 重难聚焦 10.D解析：因为f(x)= 2.2(x-0+2=2+2 x-1x-1 2+所以函数 5 ￥)在[3,5]上单调递减，函数x)的最小值为(5)=2， 所以a≤子，a的最大值是弓故选D 解析：若存在xe【1,+0),不等式a≤ 成立，则a≤（-x+2 1 x2-x+ 即可，xe[1,+x),记 加2=(-）广e1因为)在 [1,+）上单调递增，所以八x)=f(1)=2,故 四重难点拔 恒成立与存在性问题的等价转化： ①若a>f代x)对xeD恒成立，则只菊a>八x):②若a<八x) 对xeD恒成立，则只需a<f(x)m:③若3xeD,使得a> 八x)有解，则只需a>x)=:④若3xeD,使得a<x)有解， 则只需a<孔x) 黑题 应用指优 1.ACD解析：A选项，反比例函数y=的定义成和值域都是 必修第一册·SJ (-,0)U(0,+x),符合题意：B选项，函数y=x2+1的定义 域为R,值域为[1，+)，不合题意：C选项，函数y= 245 2x+1 x-2 2+户2函数图象由反比例函数y=5的图象向右平 移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数 y-2+的定义域和值域都是(-0,2)U(2,+0),符合题 x-2 意：D选项，函数y=x-√1-2x,由1-2x≥0，得函数定义域为 (-,]函数和y-1-2在(，]上都单 11 调递增，所以y≤2√ 11 的值域也为(x,2,符合题意故选ACD 2.A解析：若“f八x)在区间〔0,1]上单调递增”，则“f代x)在区 间[0,1]上的最大值为f代1)”：若“八x)在区间[0,1]上的最 大值为(1)”，则(x)在区间[0.1]上不一定单调.所以 “(x)在区间[0,1]上单调递增”是“(x)在区间[0,1]上的 最大值为f八1)”的充分不必要条件.故选A. 3.D解析：由题意，函数f(x)=x2-4x+8表示开口向上，且对 称轴为x=2的抛物线，要使得当xe[1,a]时，函数的最大值 为f八a),则需满足1a-21≥11-21且a>1,解得a≥3，所以实 数a的取值范围是[3，+x).故选D. 4.D解析：对于A项，当a=0时.显然b>1,则y=1x-11= (1-x,0≤x≤1函数在[0，上的值域为[0,1]，在(1，b]上 x-1,1<x≤b. 的值城为(0，b-1],又函数在[a,b]上的值城为[0,3]，所以 b-1=3,b=4,故A项错误：对于B项，当6=1时，函数y= 1x11=1-x,则此时函数的值域为[0,1-a],由已知可得1- a=3.所以a=-2.故B错误：对于C.D项.①当a≥1时，函 数y=1x-11=x-1,此时函数的值城为[a-1,b-1],由已知可 得0解得所以6-a=3:②当6≤1时，两数y= 1b-1=3. b=4. 1x-11=1-x,则此时函数的值域为[1-b.1-a],由已知可得 -b=0解得a=-2·所以6-a=3:③当4<1<b时.y (1-a=3. (b=1. =比时高数在[a,上的值装为 [0,1-a],在(1，b]上的值域为(0，b-1].由已知可得， 0-1≤3或-1=3，当0<6-1≤3时.即16≤4此 (1-a=3 (0<1-a≤3.11-a=3 a=-2. 时有3<b=a≤6当01-n3时，即4 则-1< -a≤2，此时有3<b-a≤6.综上所述，3≤b-a≤6.故C项错误， D项正确.故选D. 5.D解析：函数y=-x2+(m+3)x+1图象的对称轴为直线x= 2,由函数y=-+(m+3)x+1在区间(2,3)内存在最大 m+ 值，得2m3<3,解得1<m<3,所以m的取值范围是(1,3)。 故选D. 6.C解析：①当a=0时(x)=√x+,值域为[0，+x),满足 题意：②当a≠0时，若fx)=V+x+1的值域为[0，+x), 则/>0. 4=12-4a≥0， 解得0a≤}综上.0≤a≤故选C 黑白题038 7.A解析：命题“xe[3,6],不等式x+1-k-x+7>0恒成 立“是真命题，则k/7-x<x+1,令=7-xe[1,2],则x= 7-,则<7-41=8-，可得k<-因为函数y=氵y 8 -在区间1,2]上均为减函数，所以两数)=81在区间 [1,2]上为减函数，故当1e〔1,2]时，/(1)m=f(2)=4- 2=2,所以k<2因此实数的取值范围是(-∞，2).故选A. 8.B解析：由2-x2=x得x=1或x=-2,当x<-2时，2-x<x, f代x)=2-2,在(-，-2)上单调递增，当-2≤x≤1时，x≤2 x2x)=x,在[-2,1]上单调递增，当x>1时.2-x2<x, f八x)=2-x2,在(1，+∞)上单调递减，因此f(x)在(-×，1]上 单调递增，在(1，+)上单调递减代x)m=1)=1故选B. 9.30解析：设日利润为.则y=(-20)P=(-20),10 (x-10)2 w[0o],r由e(a01则e [0司）.可得e)=~1,由=次函数0)的对搭轴 石e[)当=动时，取得)此时日利溺最大。 放当，0动即=30时，日利铜最大故答案为0 10.(-0,4]解析：因为函数y=x+在xe[2,+x)上有最 小值2且2时，数值为2所以≥2号 在xe[2,+x)上恒成立，因此+4≥2+ 2→x2 (2+专）上+≥0=(x-2)(2）≥0因为≥2.所以 2→k≤2=k≤4故答案为(-0,4]。 11.解：(1)若a=2.则(x)=x2-2x+1,对称轴为x=1,所以函 数八x)在(-1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，又 f(-1)=4,/(1)=0,f2)=1.所以f八x)在[-1,2]上的值域 为[0,4]. (2)二次函数)=-+1，aeR,对称轴为x=受，当 ≤-1，即a≤-2时，(x)在[-1,2】上单调递增， )=-1)=2*,当-1k号<2，即-2<a<4时)在 (-1,号)上单调递减，在（受，2上单调递增(） (受）子+1.当号≥2.即a≥4时)在[-1,2上单 调递减.f八x)m=f2)=5-2a, 2+,a≤-2， 综上，g(a)= a 4+l.-2ca<4 5-2a,a≥4. x+4,x≤1， 12.解：(1)当=1时f(x)= 1,由八m),可得 4 参考答案 (o 子解得m或m=4,所以实致 m≤1 m>1, 的值为或4 (2)当x≤1时《x)=x+4,值域为(-，5]，分以下两种情 形来讨论： 若0c≤1，此时原≤1，则=+在区同1.+)上单 调递增，此时八x)的值域为(k+1,+),所以函数(x)的 值域为(-0,5]U(k+1,+0)=R,所以0<k≤1满足题意. 若1，此时，>1，则)=+兰在区间(1.E上单调递 减，在区间(，+x)上单调递增，此时(x)的值域为 [2瓜，+x),所以fx)的值域为(-0,5]U[2,+),又 ≤5，解得人≤空所以1←空综上可得，实数长的 取值范周是(0，空] 13.解：(1)若a=1,则f(x)= 2-+1,-1≤x<1当-1≤x<1 x2+x-1,1≤x≤2. 时《x) [尽3小当1≤≤2时)e1,51,所以 九)的值城为[？5] (2)若f八x)≥1对xe[-2,2]恒成立，即alx-11≥1-x2对 xe[-2,2]恒成立：当x=1时(x)≥1成立，aeR:当xe [-2,1)时.alx-11≥1-x2恒成立.则a(1-x)≥(1+x)(1-x)恒 成立，所以a≥1+x恒成立，所以a≥2；当xe(1,2]时，alx- 1≥1-x2恒成立，则a(x-1)≥(1+x)(1-x)恒成立，所以 a≥-(1+x)恒成立，所以a≥-2：综上可得a≥2.故a的取 值范用为[2，*0). 14.解：(1)/0)=1+√4-0=3. (2)f(x)在[0，+)上单调递减证明如下：取Vx1,为∈ [0,+x),且x1<xf八x1)-(x2)=√+1+√+4-2x1 子-通 (√+1+5+4-2x2)=-2(x1-x）+ +1+√G+同 子-写 =(名1-2）· *+ √+4++4 +1+√+1 x1+2 -2因为x1-,<0,0≤x,<+1,0<x< √+4++4 x+1,故0<x,+<√/+1+√+Π<√+4++4. 即0< 1+ <1,0< x2 <1,则 √+I++1 V+4+写+4 +x: x+x: ,+x =<2,即 √+1+G++4++4 √x+1+√+1 1+2 2<0,故f(x,)-fx2)>0,即f(x,)>f(x）, x+4+√+4 所以八x)在[0，+）上单调递诚。 (3)由(2)可得f八x)≤f(0)=3,又因为f(x)=√x+1-x+ 0+4-x= 1 4.故f(x)>0,故0< 2+1+x+4+x f代x)≤3. 黑白题039 压轴挑战 1.A解析：因为y+3- =1+4在xe[2,5上单调递减，所 5若m≤2，则八)-的最大值为5，符合题 以2s43 意：若2<m≤5八x)的最大值为f(2)与f(5)中较大的.由 2,显然 2)=5),即15-m+m=12-m1+m,解得m= 当2<m≤？时，)的最大值为5，当m>子时x)的最大 7 值不为定值综上可得，当m≤子时)在：e[2,5上的 最大值是5.故选A. 2.(-x,5]解析：由题意知，对于任意的1e[1,2],存在∈ [-1,3],使得f八x1)≥g(）,即需满足八x)≥g(x)m,函 数x)=x+4在[1,2]上单调递诚，所以八x)=(2)=4, 当a>0时，g(x)=x+20-1在区间[-1,3]上单调递增.则 g(x)m=a-1,所以4≥a-1,解得a≤5，所以0<a≤5，当a<0 时，g(x)=ax+2a-1在区间[-1,3】上单调递诚，则g(x)m= 5a-1,所以4≥5a-1,解得a≤1，所以a<0,当a=0时 g(x)=-1<4,符合题意.综上，的取值范围是(-0,5].故答 案为(-，5]. 四重难点拨 若函数八x)定义域为D1,g(x)定义域为D,则 ①x1eD1,x2eD2x1)≤g(x2)台/八x)m≤g(x): ②Vx1eD,3x,eD2,）≤g(x)/x)mn≤g(x)n: ③3x1eD1,x3eD2)≤g(x)x)m≤g(x)m； ④3x1eD1,x2∈D2fx,)≤g(x2)fx)n≤g(x)mi ⑤Hx1eD,32eD,x)≤g()台yly=(x)川S|yly= g(x). 5.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.AD解析：函数在区间[-2,1]上是增函数，在区间[1,4]上 是减函数，则f(1)>f(4),函数f(x)的最大值为f(1), 八-2)(4)的大小关系不确定，(-1)，f(2)的大小关系也 不确定，故AD选项正确，BC选项错误故选AD, 2.BD解析：因为函数y=x+1的值城为R,故A不符合；因为 y=x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，所以函数的值域为[1，+0），故 B符合：因为y==-1+ -1,故函数的值城域为 1+x x+1 (-x,-1)U(-1,+x),故C不符合：因为函数y==￥ 在[1，+)上均单调递增.所以当x=1时，y=x- 1(x≥1)有最小值1，故函数的值域为[1，+)，故D符合.故 选BD. 3.C解析：函数y=八x-3)+2可看作在函数八x)的基础上将 八x)图象向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， 因此平移后的增区间为(-1,10).故选C 4.D解析：函数f(x)=√-4x-5中，x2-4x-5≥0，解得x≤ -1或x≥5，而函数u=x2-4x-5在(-0，-1门上单调递减，在 [5,+x)上单调递增，又函数y=m在[0，+）上单调递增， 必修第一册·SJ 因此函数f(x)的单调递增区间是[5，+)，依题意， (a,+)[5,+),解得a≥5，所以a的取值范围是 [5,+x),故选D. -x-ax-7,x≤1 5.B解析：函数爪x)= 0 是(-，+)上的增 ,x>1 a<0. 函数则{-g≥1， 2 解得-4≤a≤-2.放选B. -1--7≤a. 6.A解析：因为a+b>0,所以a>-b,b>-a.又因为函数y=f八x) 在R上单调递增，所以f(a)>f(-b),f(b)>f八-a),所以 f代a)+八b)>-b)+-a).故选A. 7.C解折=x+21+r-3=2-l-2>3-2a. (-5,x<-2. 则)2a解得a>1.故选C 8.(x+2)2-2(答案不唯一）解析：设八x)=a(x+2)2-2,满足 f代-2)=-2，又因为f(-1)=-1.可得a=1.所以f(x)= (x+2)2-2故答案为(x+2)2-2(答案不唯一）. 9.(-x,-1)U(1,2]解析：因为f(x)=-1= x-0 a(x-a)+-1mt,且函数八x)=r-4在(2，+∞)上单 x-0 x-0 调递减，则a-1>0,解得a<-1或a>1,则函数f八x)的减区间 为(-x,a),(a,+),由题意可得(2，+)S(a,+),可 得a≤2，综上所述，实数a的取值范围是(-，-1)U(1,2] 故答案为(-，-1)U(1,2], 10.2解析：对于①，令f八x)= ,,满足y=x)在区间 lx-5,x>1, (-©，1]上是单调增函数，在区问(1，+x)上也是单调增 函数，但是函数y=(x)在R上不单调，故①错误：对于②， y=八x)在区间(-，1门上是单调增函数，在区间[1，+) 上也是单调增函数，即任意的x,e(-%,1)都有(x,)< f1),2e(1,+)都有f(x2)>f(1),所以f)>f(x,),设 任意的x,xeR且x<x4,若x,x4e(-,I],则f代x)< 八x),若，4e[1,+0),则f()<f(x4),若 (-,1],xe[1,+x),则八x)<x),所以函数y=f(x) 在R上是单调增函数，故②正确：对于③，y=f(x)在区间 (-,1)上是单调增函数，在区闻(0，+x)上也是单调增 函数，结合②可知，函数y=八x)在R上是单调增函数，故 3正确.故答案为2. 1.[2,4解析：因为)=-at2.2当u<2且≤2 x2-x+2a,x>2, 时，则x)=1x-al+2≥2=fa),这与fx)m=f2)矛盾，不 符合题意，所以a≥2.因为二次函数y=x2-ar+2a的对称轴 为直线x=分，当兮≤2时，即当2≤a≤4时，则函数) 在(2，+x)上为增函数.根据题意，侧有f(2)=2-a+2= a-2+2=a≤4-2a+2a=4,此时，2≤a≤4当2>2时，即a>4 时，当>2时)=（号）=2a子，由题意可得2） a≤2a-4,整理可得a2-4a≤0，解得0≤a≤4，此时a不存 在综上所述，实数a的取值范围是[2,4].故答案为2,4] 黑白题040