专题探究1 集合的综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版2019)

专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 很时：45min 题组1集合中的参数问题 5.*(2025·河南信阳高一期中)已知集 1,*(2025·浙江杭州高一月考)已知集 合A={x|-3≤x≤7，B={x|1+1≤x≤21-2{. 合A={xl-1<x<4,B={xla-1≤x≤a+2,若 (1)在①CRACCRB,②AUB=A,③A∩B=B三 集合A∩B中恰好只有两个整数，则实数a的 个条件中任选一个，作为下面问题的条 取值范围是 件，并解答.问题：当集合A,B满足 A.-1≤a<0或2<a≤3 时，求实数的取值范围。 B.-1<a<0或2<a<3 (2)若A∩B=☑，求实数1的取值范围. C.-2<a≤-1或3≤a<4 D.-2<a<-1或3<a<4 2.起(2025·江苏扬州高一月考)已知集 A=xlx2-px-2=0,B=xlx2+qx+r=0, 且AUB={-2,1,5{,A∩B={-2},则p+g+ r 3.柱(2025·江苏苏州高一月考) 设非空集合S={x|m≤x≤，当 x∈S时，有x2∈S,若m=1,则S= 者 1:)则m的取值范围是 6.#(2025·河北衡水中学高一月考)已知集 4.(2025·天津滨海新区高一月考)已知集 A=(x,y)ly=x2+2x,B=(x,y)ly=ax+ A=xlax2+6x+3=0,B=x1bx+1=0. 4},C={(x,y)ly=-2x+a. (1)若AC☑，求实数a的取值集合： (1)若BnC=(b,3)},求实数a,b的值： (2)若A的子集有两个，求实数a的取值 (2)若AnC≠☑且BnC≠☑，求实数a的取 集合； 值范围。 (3)若1∈A且B二A,求实数b的取值集合. 第1章黑白题011 题组2集合中的创新问题 11.#(2025·四川成都高一期中)定义集合 7.(2025·江苏南京二十九中高一月考)含 P={xla≤x≤b}的“长度”是b-a,其中a,b 有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把 集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从 ∈R已知集合={xm≤x≤m+},N= 最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9 {n子≤≤n,且M,N都是聚合1s 的交替和是9-6+4=7：而{5|的交替和是5， 则集合M=1,2,3,4的所有非空子集的交替 x≤2的子集 和的总和为 (1)求集合M∩N的“长度”最小值： ( A.12 B.32 C.80 D.192 (②)若m-集合MUN的长度”大于} 8.(2025·湖北武汉高一月考)设全集U= 求n的取值范围 1,2,3,4,5,6,且0的子集可表示由0,1组成 的6位字符串，如：{2,4表示的是自左向右的 第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为 0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字 符串为000000：对于任意两集合A.B,我们定义 集合运算A-B={xlx∈A且x生B,A*B=(A- B)U(B-A).若A={2,3,4.5,B={3,5,6,则 A*B表示的6位字符串是 A.101010 B.011001 C.010101 D.000111 9.韩（多选）(2025·江苏常州高 一月考)定义一个集合A的所有子 集组成的集合叫作集合A的幂集，记为P(A), 用n(A)表示有限集A的元素个数，则下列命 题中正确的是 A.对于任意集合A,都有A∈P(A)》 B.若n(A)-n(B)=1,则n(P(A))=2× n(P(B))》 C.若A∩B=O,则P(A)∩P(B)=O D.若ACB,则P(A)CP(B) 10.(2025·辽宁省实验中学高一月考)已 知集合A={(x,y)1Ix1≤1，Iy1≤1，x, y∈Z,B={(x,y)Ilxl≤3，Iy|≤2，x,ye Z,定义集合A田B={(x,+x2,y1+2)1(1, y)eA,(x2,y2)eB|,则A⊕B中有 个元素. 必修第一册·SJ黑白题012重复，则M与M的“小和数”之和为B的“小和数”，这样的子集 对共有)2（对），其中M=B时，M=②，考虑非空子集，则 集对有(2-1)对，则B的大和数”为(2-1)×20+20=1280 故答案为20：1280. 专题探究1集合的综合问题 思题 专题强化 1.A解析：若集合A门B中的两个整数是2,3，则 a+223,解得2<a≤3：若集合AnB中的两个整数是0， (1<a-1≤2. 1,则≤at<2·解得-1≤<0综上可得实数a的取值范围 (a-1≤0， 是-1≤a<0或2<a≤3.故选L 2.-14解析：因为A∩B={-21,所以-2eA,将x=-2代入 x2-四-2=0，得p=-1,此时方程x2--2=0即为x2+x-2= 0,有两个不等实根1，-2，所以A=1,-21.因为AUB=1-2, 1.5}.AnB=1-21.所以B=-2.5.所以9=-[(-2)+5]= -3,r=(-2)×5=-10,所以p+g+r=-14.故答案为-14. 31经≤m≤0解析：若m三1，则1≤x≤口1≤ 根据当eS时，有子e、,可得引得，可得1= 12≤1.0≤1≤1」 1,故S=:若1=则s={xm≤≤}.显然有m≤ 子，根据eS时，有eS,取x=m,则meS,即m≤m2≤ 由㎡≤分得-号≤m≤只当受≤m≤0时m≤ 、0≤2，符合题意：当0<m≤2时，<m,与题意不符，舍去， 综上，号≤m≤0放答案为1：号≤<0 4解：（因为4C②.所以4=0.当a=0时.则A-{} 与题意矛盾：当a≠0时，则4-36-12a<0,解得a>3,综上所 述，实数a的取值集合为ala>3. (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素， 当a=0时，则4={}符合愿意：当a≠0时，喝4=36 12=0.解得=3.综上所述.实数4的取值集合为10.3， (3)因为1∈A,所以a+6+3=0,解得a=-9,所以A=x -246+3=0={号小当6=0时.B=0C4:当0 时，B-{},因为BcA,所以-或1解得 b=3或b=-1,综上所述，实数b的取值集合为0.-1,31. 5.解：(1)选择①，由C.A二C.B可得B二A,当B=⑦时，t+ 1+1≥-3， 2-2≤7，解得3≤1≤2 9 1>24-2.解得1<3：当B≠②时. 1+1≤21-2 91 综上，实数1的取值范围为(，2] 必修第一册·SJ 选择②，由AUB=A可得BCA,当B=☑时，+1>2-2，解得 +1≥-3， c3:当B≠O时. ,2-2≤7，解得3≤1≤号综上，实数的 t+1≤21-2 取值范围为 91 -,2J 选择③，由AnB=B可得BCA,当B=0时.1+1>21-2，解得 1+1≥-3， t<3:当B≠O时， 2-2≤7，解得3≤1≤号综上，实数1的 1+1≤21-2， 取值范围为 ] (2)当B=☑时.1+1>21-2，解得<3，符合题意：当B≠⑦时， 12-2<-3, 或+17. 解得>6.综上，实数1的取值范 (t+1≤21-2， (1+1≤2r-2. 闹为(-，3)U(6,+. 6.解：(1)由题意得，点(b,3)在直线y=r+4和y=-2x+a上， 所以 h+4=3, -2b+a=3 解得1， 1a=2. 或 (h=-1 (2)由AnC≠O可知，方程组=-2xn即方程+4-a y=x2+2x, 0有实数根，所以△=16+4a≥0.解得a≥-4.由B∩C≠☑可 知，方程组+4，即方程（a+2)x=a-4有实数根，所以 【r=-2x+a, a≠-2，综上，实数a的取值范围是al-4≤a<-2或a>-2 7.B解析：集合M=1,2.3.4的所有非空子集为11,12， 13,41,11.21,12,3,13,4,1.3,12,41,11.4, 11,2.31,12.3,41.11,2,41,11.3,41,1.2.3,41,所以交 替和的.总和为1+2+3+4+(2-1)+(3-2)+(4-3)+(3-1)+ (4-2)+(4-1)+(3-2+1)+(4-3+2)+(4-2+1)+(4-3+1)+ (4-3+2-1）=32.故选B. 8.C解析：由题意可得若A=2,3,4,5,B=13,5,6,则A B=2,4,6,所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为 1.第6个字符为1，其余字符均为0.即A*B表示的6位字 符串是010101.故选C. 9.ABD解析：对于任意集合A,都有ACA,所以A∈P(A),A 对：由已知可得n(P(A))=2(”,n(P(B)=2,又n(A) n(B)=1,所以n(P(A)=2×m(P(B),B对：：OGP(A), OCP(B).所以O∈(P(A)∩P(B)).所以P(A)nP(B)≠ O,C错误：对于任意的集合C∈P(A),则CCA,又ACB,所 以CCB,所以CEP(B),D对.故选ABD. 10.63解析：M=|(x,y)1lx≤1,1yl≤1，x,yeZ中有3×3= 9(个)元素（即9个点），即图中正方形FGH内部及其边上 的整点.集合B=|(x,y)1lxl≤3，y1≤2，x,y∈Z}中有7× 5=35(个)元素（即35个点），即图中长方形ABCD内部及 其边上的整点，所以x,+,=-4或-3或-2或-1或0或1 或2或3或4，共有9个值，y,+y=-3或-2或-1或0或1 或2或3，共有7个值，所以A⊕B=1(x+x2y+)1(x y)eA,(,,,)∈B中的元素可看作正方形NMPQ中的 整点，即7×9=63（个）.故答案为63. 黑白题006 3 20 -5-4-3-2-0234 G-1 -2 11.解：(1)依题意可知集合M,N不是空集，要使M.N都是集 (1≤m, 3 合{x1≤x≤2的子集，则需{ 且1≤m一了'解得 m+2≤2 n≤2， 1m≤且≤≤2，要使nN的~长度~最小，只有 当m取最小值，n取最大值或m取最大值，n取最小值时才 3) 成立当m=l,n=2时，MnN={x5≤x≤，，“长度” 为-子=0当m==号，MnN 吕≤≤}，长度为号}可放集合Mnv的 长度”的最小值是。 6 6 17 (2)若m=,M={x3≤x≤6}，要使集合MUN的 “长度"大于号，故a 63,即n<10 1 号g≤≤2所以ae[g0）u(?2 第1章章末检测 1.D解析：因为A=x1-1≤x<2,B=xx≥1，所以AnB= |xl-I≤x<2∩|xlx≥1=|x11≤x<21.故选D. 2.C解析：当1-a=4时，a=-3,符合题意：当a2-a+2=4时 a=2或-1.当a=2时，符合题意：当a=-1时，1-a=2,与集 合元素的互异性矛盾，所以舍去.综上所述，a=-3或2.故 选C. 3.B解折：由题意，集合4={xez-3火<}=-2.-1， 0,根据图中阴彩部分表示集合B中元素除去集合A中的 元素，即为1,2.故选B 4.B解桥：全集U=RA{-4<}:B=≤-3引， AUB={<},(aUB)={≥}=C故选R 5.C解析：由题意知，A=x1x=2,keZ1,即集合A是整数 的2倍组成的集合，B=|x1x=4k+2,k∈Z=x1x=2(2弘+ 1),keZ,它表示奇数的2倍组成的集合，则BA.则AU B=A.故选C. 6.C解析：依题意，x-1是6的正因数，而6的正因数为1,2 3,6,又xe11,2,3,4,5,6,7引，因此B=11,2,3,6,所以集合 B的子集个数a=2=16.故选C. 7.A解析：因为AUB=A,则BCA,当a=0时，1≤0不成立， 所以B=☑，所以BCA满足：当a>0时，因为ax+1≤0，所以 ≤。又因为BcA,所以--1，所以0a<1:当a<0时。 参考答案 因为1≤0，所以x≥-。又因为BcA,所以-≥3，所 以、 号a<0,综上可知a的取值范围为{a号≤a<1小 故选A 8.D解析：对于A,A×B=1(1,2),(1,3),(2,3),(2,2), 故A错误：对于B.设A=1{,B=2,3},则A×B=(1.2), (1.3)|,A×B的元素个数为2.不是3.故B带误：对于C.结 合选项B的实例，A×B=|(1,2),(1,3)},而B×A=1(2,1), (3,1),两者不相同，故C错误：对于D,任意s∈A×(B C),则存在a∈A,b∈BnC,使得s=(a,b),因为b∈B且be C,故sEA×B且sEAXC.故s∈(AxB)∩(AXC),故[A×(B C)]C[(A×B)∩(A×C)],任意tE(A×B)门(A×C),则存在 uEA,PeB,eC,使得1=(u,),故【eA×B,LEAXC,故 tEA×(B∩C),故[(AxB)∩(AxC)]C[A×(B∩C)],故(A× B)∩(A×C)=A×(BnC).故选D. 9.ABD解析：空集只有一个子集，故A错：空集是任何非空集 合的真子集.故B错：因为A二B.所以集合A中所有元素都 属于集合B.则a∈B.故C正确：例如A=1,B=1,2,C= 11.3,满足ACB且ACC,此时B≠C,故D错故选ABD 10.ABD解析：因为A∩B=A,AUC=A,所以ACB.CSA,所 以CCACB,用Venn图表示如图， 由图可知.CSB.故A正确：A∩(B)=②.故B正确：C∩ (CA)=☑，故C错误：(C,A)UB=U,故D正确.故选ABD. 11.ABC解析：由题意知，①☑eF,2若A.BeF,则A∩ (C,B)eF且AUBEF,对于A,全集U=11,2,3,4,5,6且 F=10,11.3,5引，2,4,6，U,满足☑∈F且当A,BeF 时，可得A∩(，B)EF且AUB∈F,所以A正确：对于B, 由U的子集组成的集合为1⑦，a,b,|e,a,b, 1a,c},{b,c,1a,b,c,共8个元素，若F是U的子集构 成的集合，所以集合F有8个元素，所以B正确：对于C,若 12引eF,13.5引eF.可得2U3.5=12.3.5引∈F,所以 121U3,5=2,3,5eF=|0.|2,|3,5},2,3,511是 个环，其中F中含有4个元素，所以C正确：对于D.若 [0,3]eF.[3,5]eF,可得[0,3]nCm[3,5]=[0,3)eF [3,5]nCR[0,3]=(3,5]eF,[3,5]U[0,3]=[0,5]eF, [0,3]nCg[0,3)=13eF,[0,5]n0g13=[0,3)U (3,5]∈F,且☑eF,所以集合F中至少有8个元素，所以 D错误.故选ABC. 12.±2或0解析：当B=0时，m=0,符合题意：当B=-1 时，m=-2:当B=1时，m=2,综上，m的值为±2或0.故答 案为±2或0 13.5解析：若①正确.23错误.则c=0,b=1.4=2.矛盾，不 成立：若②正确.①③错误，则b=2,c=0,a=1,矛盾，不成 立；若③正确，①②错误，则a=2,c=1,b=0,成立，u+2b+ 3c=5.综上所述，a+2h+3c=5.故答案为5. 14.4608解析：集合A=}1,2,3,4,5,6,7,8中的每个元素 出现在非空子集中的次数为2=2'（次），所以m1+ m2+m3++mn=2(1+2+3++8)=4608.故答案为4608. 15.解：(1)由交集的运算性质得A门B={x4≤x≤51. 黑白题007