3.1.2 函数的表示法&3.1 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

3.1.2函数的表示法 白题 基础过关 1.C解析：已知正方形的周长为x,则对角线长为？，从而外 12√2 接圆的半径为y=2×4=8(0):故选C 2.D解析：首先一开始离自己家的距离最小，则A,B错误： 开始是走，所以在前段的时间内离家的距离增加较慢，而后 是跑，所以后面这段时间内离家的距离增加较快，故C错 误，D正确.故选D. 3.C解析：由表格得八g(1)=f八2)=3.故选C 4.D解析：观察函数y=八x)的图象，得(2)=1，由表格得 g(1)=4,所以g(2))=g(1)=4.故选D. x,x>0. 5,C解析：由题设知函数f(x)=1 xI sgn x={0,x=0,故函数 x,x<0 f八x)=Ixlsgn x的图象为y=x的图象故选C. 6.D解析：由题设f(0)=0+3=3,则f(0))=f(3)=32=9. 故选D. 7.D解析：因为函数f(x=≤0且fa)=4,所以 x2,x>0. 仁0或0.解得a=-4或a=2故法D 8.2解析：当a≥2时，则a+2≥4，由f八a)=f八a+2),得-2a+ 8=-2(a+2)+8,此时无解：当0<a<2时.则a+2>2,由 f八a)=f八a+2),得a2+a=-2(a+2)+8,所以a=1,则 (合）1)=1P1=2故答案为2 9,A解析：由f八x-1)=2x-14=2(x-1)-12.得f(x)=2x-12. 故选A. 10.A解折：因为f(-）=2+=(）+2.所以 f八x)=x2+2故选A 巴易错提醒 已知八g(x)的解析式，求八x)的解析式时，八x)的定义域 为g(x)的值城，若面数g(x)的值城不是全体实数，则所求函 数的解析式需要带有定义城 11.AC解析：设f代x)=r+b.则f2x)=2kx+b.故ff(2x))= 八2x+b)=2x+b+b.因为f(f(2x)）=8x+3,所以 2必8解得或价-名则/)=2+1或 (kh+b=3. (b=-3, f八x)=-2-3.故选AC 12.x2+2x,xe[-1,+0)解析：依题意得x≥0，令1=x-1, 则x=(t+1)2,1≥-1，g(t)=(t+1)2-1=7+2,1∈[-1， +),所以g(x)=x+2x,xe[-1,+).故答案为x+2x, xe[-1,+o). 13.f代八x)=x2+2x+3解析：由已知设f(x)=x2+x+c(a≠0). 因为0)=3，所以c=3.因为f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+ b(x+1)+3-(r+br+3)=2ax+a+b,f八x+1)-尺x)=2x+3.,所 以2a2；解得所以f(x)=F+2x+3故答案为 a+b=3. b=2. f八x)=x2+2x+3. 14. 解析：因为函数f(x)满足f八x)+2讥-x)=2x+x-1①， 参考答案 所以f八-x)+2x)=2(-x)2-x-1=2x2-x-1②.联立①2 得=号号故2)=号×-2写故答案 15.解：(1)由题意，设f(x)=r+b(a≠0)，因为3f(x+1)- f八x)=2x+9,所以3a(x+1)+3动-x-b=2x+9,即2ax+ 6+26=2x+9,曲恒等式性质，得22.。解得则 3a+2b=9, 所求函数解析式为八x)=x+3. (2)因为x)+(）-,将原式中的x与互换，得 f）+x)=，于是得关于)()的方程组 )+2(）=x 解得八x)= 0 16.解：(1)由题意，得当0≤x≤200时，y=0.6x, 当x>200时.y=0.6×200+(x-200)×1.2=1.2x-120. (0.6x,0≤x≤200， 综上所述，y-{1.2x-120,x>200 (2)当用电量为230kW·h时，由(1)知y=1.2x-120,所以 y=1.2×230-120=156(元)，所以此用户本月应缴纳电费 156元 17.解：(1)由题意，知fx)=5x,15≤x≤40，g(x)= (90.15≤x≤30. 30+2x,30kx≤40. (2)由5x=90,解得x=18,当15≤x<18时八x)<g(x): 当x=18时x)=g(x): 当18<x≤30时，f代x)>g(x) 由5x>30+2x,得x>10,故30<x≤40时x)>g(x). 所以当15≤x<18时，选择甲家比较合算：当x=18时，两 家一样合算：当18<x≤40时，选择乙家比较合算. 题 应用据优 1.C解析：根据函数的定义知，每一个白变量x的值，都有唯 一确定的y值与之对应，选项A,B,D满足函数的定义，所以 可以表示y是x的函数”；选项C中，例如：当x=2时，可 3 得y=±号，即y=1中，某些x的值，有两个y值与之对 应，不符合函数的定义.故选C. 2.B解析：函数h=t)是关于1的减函数，故排除C,D,一开 始，h随者着时间的变化，变化速度变慢，超过一半时.h随者 时间的变化，变化速度变快，故对应的图象为B,故选B. 3.BC解析：由题意得定义域为(-3，-1]U[0,2],A错误： x)的最小值为1，故值域为[1，+)，B正确：由函数定义 及图象可知，在代x)的定义域内任取一个值，总有唯一的y 值与之对应，C正确：在f代x)的值域内任取一个值y。,当 %e[2,3]时，有两个x值与之对应，D错误故选BC 4.B解析：因为f(x)= Ux+5),x<10g<10,所以f9)= (2x-15,x≥10. f14)).又14>10，故f(14)=2×14-15=13,13>10,所以 f9)=f八13)=2×13-15=11.放选B. 5.B解析：因为点(0,0)，(3,6)，(9,0)在函数y=f八x)的图象 上，当xe[0,3]时，设解析式为y=x+b,∴ 0=0+6,_∫b=0. 6=3k+b(k=2 黑白题025 即y=2x当x∈[3,9]时，设解析式为y=mx+, 8-g,=9(层）5. ()）项5列=-549=4放选B 6.C解析：因为余数大于5进1，相当于大于等于6时进1，所 以加2即可即=[安]故连c 7.4x2-24x+42(x≥3)解析：令1=G+3(t≥3)，则x= (-3)2,所以t)=4(1-3)2+6=42-24+42,所以(x)= 4x2-24x+42.故答案为4x2-24x+42(x≥3). 211 8.)31330.1解析：八x)+21-)归 :+1①，则由换元法得-)+21-x)+ 即1-+2=1②，曲2x②-①得30=号 2 1-x 1八033+写，其申≠0,1放2 21.1 x)31-330.1 四重难点拨 求函数的解析式常见题型有以下几种： (1)根据实际应用求函数解析式：(2)换元法求函数解析式， 利用换元法一定要注意换元后参数的范围：(3)待定系数法 求函数解析式，这种方法适合求已知函数类型的函数解析式： (4)消元法求函数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数 或相反数的函数解析式， 9.8解析：令t=f(a),则f(a)=f()=8,当t≤1时，有 2+21=8.解得1=-4或t=2(舍去)，即t=八a)=-4,当a≤1 时，有a2+2a=-4,即a2+2a+4=0,因为4=22-4×1×4=-12< 0,此时无实数解，当0>1，有》-5=-40=8，满足题意：当 61时，及5=81=膏不满足题意，放实数a=8,故答案 为8 10.解：(1)由题可得-5)=-5+1=-4.f代-√3)=(-√3)+2× (-同)=3-2原因为(）=-1-号所以 ()()(广+2x()- 3 (2)①当a≤-2时，f(a)=a+1=3,解得a=2,不合题意， 舍去： ②当-2<a<2时f八a)=a2+2a=3.即a2+2a-3=0.解得a= 1或a=-3,因为1e(-2,2),-3(-2,2).所以a=1: 5 ③当a≥2时u)=2a-2=3,解得a=号，符合题意 5 综合①2③知，当fa)=3时，a=1或a= 2 8自aa0222 解得m<-1或0<m<2或m>2. 故所求实数m的取值范围是(-x,-1)U(0,2)U(2,+x). 11.解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0，八x)=-(-3)+(x+ 1)=4:若-1<x≤3.则x-3≤0.x+1>0,∴.fx)=-(x-3)- 必修第一册·R (x+1)=-2x+2:若>3，则x-3>0.x+1>0∴，f八x)=(x-3)- (x+1)=-4 4,x≤-1 ∴，f尺x)= -2x+2,-1<x≤3， -4.x>3 (1)当-1<x≤3时.-4≤-2x+2<4. 八x)的值城为[-4,4]. (2>0,即-1，①或1≤3 ②或>3，③ (4>0 -2x+2>0 (-4>0. 解①得x≤-1，解②得-1<x<1,解③得x无解. x)>0的解集为(-0，-1]U(-1,1)=(-,1). (3)/(x)的图象如图所示 422345 、3 -3 =4 由图象可知，当a∈(-，-4)U(4,+0)时，直线y=a与 f(x)的图象无交点. 压轴挑战 1.D解析：令x=y=0可得-20)=-2，所以f0)=1,再令x= 0可得/ry)-2八-y)+/八0)-2y)=y-2,即-y)-2-y)= y-3①，将上式中的y全部换成-y可得-f(-y)-2y）= -y-3②，联立①②可得/y)=y+1,所以f(2024)=2024+ 1=2025.故选D. 2.8解析：因为f(y)=f(y)+f(x),令x=y=1,得(1)= 1)+f1),解得f八1)=0，令x=y=-1,得f(1)=-f八-1) 八-1)，解得八-1)=0，令x=-1,y=4,得f(-4)=-f(4)+ -1).即f(-4)=f4).令x=y=,得f(4） 号)侣)即（居）号）x因为（日） 号所以/行）小宁令==4，得24 分）4)+2①.令x=2.=子得1) 2y号)+2)，整理得1+之2)=0.解得/2)=-2.代 入①式得24)+2=-2，解得/八4)=-8又因为(-4) -八4)，所以/-4)=8.故答案为8 3.1阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：A是函数的图象，值域为[0,2]，与题干函数的值域 B=|y1≤r≤2不符.故A错误：B是函数的图象，定义域为 [0.2],值域为[1,2]，放B正确：C是函数的图象，值域为 11,21,与题干函数的值域B=y11≤y≤21不符，故C错误： D是函数的图象，值域为1,2{，与题干函数的值域B= y1≤y≤2不符，故D错误故选B. 2.A解析：f八x)的定义域为(-1,1)，要使g(x)有意义，则 x≠0， -1<一<1，解得1<x<2,g(x)的定义城为(1,2).故选A. -1<x-1<l, 黑白题026 3.B解析：函数y=八x)的值域为[1,3]，.1≤f(x+2)≤ 3,-6≤-2fx+2)≤-2.，-5≤1-2八x+2)≤-1，故选B. 4.B解析：由题意可知当-1≤1≤0时()=2(-+1)(+ D:?2,且0过程中增速变慢，当04≤1时J0门 宁，且一1过程中端速变快，所以：)的图象可表 示为选项B,故选B. 5.D解析：令1-2x=1(4≠)，则x=号，所以) () l,则产l,故c借 44 误/（行）=15，故A正确：2)=3放B错误：f(）月 4 (-少1(x≠0且x≠1)，故D正确故 4x2 选AD. 6.D解析：①当x+2≥0，即x≥-2时，f(x+2)=1.由x+ (+2)x+2)≤5可得+2≤5≤号，即-2≤≤ ②当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1.由x+(x+2)· 八x+2)≤5可得x-(x+2)≤5，x<-2综上，不等式的解集 为(，]故选D 7.A解析：a≠0f1-a)=f1+a),当a>0时，1-a<1<1+a, 则f八1-a)=2(1-a)+a=2-af1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a, 3 2-a=-1-3a.即a=- 2(含去)：当a<0时，1+a<1<1-a, 则f1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f1+a)=2(1+a)+a=2+3a, -10=243即a=子综上可得4=子故选入 8.f代x)=x(答案不唯一）解析：若爪x)=kr,则fx+y)=k(x+ y）,x)+机y)=kx+的=k(x+y),所以八x)=x(答案不唯一， 只要满足x)=x,≠0即可). 压轴挑战 1 4x,0≤x≤ 4 1 21-2x),4≤ 4解析：依题意可得f(x))= 3 2(2x-10,2<4 3 4(1-),4≤x≤1. 当0≤x≤时，由)=，得=0： }≤时，由)=，即21-2x)=,得= 2 当分<时.由)即22-1x得子 2 当≤≤1时.由)=，即4(1-)=x,得=号 4 综上可得，方程f代x)=x有4个实数根故答案为4. 参考答案 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 白题 基础过关 1.D解析：要使函数f代x)为增函数，应为任意两个数x1,x2,且 ,<x2,使八x1）<f八x2)成立，而不是“有两个数”，故单调性 不能确定故选D. 2.BC解析：对于A选项，若函数(x)在R上为增函数，则对 于任意的x1,x2eR且1<x2,则f(x)<f八x2)一定成立，若 f八3)>八2)成立，不具有一般性，比如f(2)>(0)不一定成 立，所以函数八x)在R上不一定是增函数，A错误：对于B 选项，若函数(x)在R上为减函数，则对于任意的1,2eR 且x,<2,则八)>2)一定成立，所以3)<八2)一定成 立，所以若八3)>(2)，则函数八x)在R上不是减函数，故 B正确：对于C选项.若定义在R上的函数八x)在区间 (-,0]上是增函数，在区间[0，+)上也是增函数，则满足 对于任意的，xeR且x,<,)<x)一定成立，所以 函数f八x)在R上是增函数，符合增函数的定义，故C正确： 对于D选项，设函数)=+1，≤0是定义在R上的函 lx-1,x>0 数.且f八x)在区间(-，0]上是增函数，在区间(0，+g)上 也是增函数，而-1<1，但f八-1)=(1)，不符合增函数的定 义，所以函数代x)在R上不是增函数，故D错误故选BC 3.ABC解析：A,B选项，y=fx)在(0，+)上是诚函数.且0< <2,故x,)>x)x)-八)>0，A,B正确：C.D选项 因为x,-x<0x)-x)>0,所以(x1-)((x)-x2)< 0.x) <0,C正确.D错误故选ABC 四重难点拨 若函数f八x)在[a,b]上是增函数， fx,)=f尺2 对于任意的x1,e[a,b](x1≠x),有 ->0(或者 1-32 (x1-2)()-fx2))>0): 若函数八x)在[a,b门上是减函数， 对于任意的x1xe[a,b](x1x2),有 x)-)<0(或者 x1- (1-x)fx)-fx2)<0) 4.D解析：根据图象知f(x)的单调递增区间为[-2,0]， (0.4],故选D. 5.A解析：对于Ax)=-x2+x-6的图象开口向下，对称轴为 直线=号，故其单调递增区间为(，；]故A正确：对 于B,/(x)=-x2在区间[0，+)上单调递减，故B错误：对于 C,八x)=一的定义域为xx≠0川，故其在区间(-，+)上 不具有单调性，故C错误：对于D,八x)=-x+1是R上的减 函数，故D错误故选A 6.D解析：因为函数(x)的定义域为[-9,9]，所以函数y= f八x2)的定义域满足-9≤x≤9，即xe[-3,3].令t=x2,则t= x2在[0,3]上单调递增，在[-3,0)上单调递诚，又y=(x)在 [-9,9]上单调递增，所以函数y=∫(x)的单调递增区间为 「0.3].故选D. 黑白题0273.1.2函数的表示法 白题基础过关 限时：40min 题组1函数的三种表示方法 4.(2025·广东惠州高一期中)已知函数y= 1.·已知正方形的周长为x,它的外接圆的半 g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的 径为y,则y关于x(x>0)的函数解析式为 图象如下图所示，则g(f(2)的值为( ( 1 A.y-2(>0) B.y=② t(>0) g(x) C 8*(x>0) 16t(>0) A.-1 B.0 C.3 D.4 2.苏教教材习题(2025·广东广州高一期中)》 题组2分段函数 某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由 5.·(2025·江西抚州临川一中高一期中)设 于怕迟到，余下的路程以跑步方式前往学校.在 1,x>0, 下图中纵轴表示该学生离自己家的距离.横轴 xeR,定义符号函数sgnx= 0,x=0,则函数 表示出发后的时间，则下图中的四个图象中较 -1,x<0 符合该学生走法的是 f(x)=xlsgn x的图象大致是 B 6.*(2025·福建福州高一期末)已知函数 x+3,x<1, f(x)= 则ff(0))= x2,x≥1， A.0 B.3 C.6 D.9 7.(2025·福建莆田高一期中)设函数f(x)= D 3.苏教教材变式(2025·广东佛山高一期 x,x≤0， 若f(a)=4,则实数a= ( 中)已知函数(x),g(x)列表法表示如下，则 x2,x>0, f(g(1))的值是 ( A.2 B.-2 C.-4 D.-4或2 8.(2025·湖北武汉高一月考)已知函数 2 x2+x,0<x<2 f(x) 2 3 f(x)= 若f(a)=f(a+2),则 -2x+8,x≥2 g(x) 2 4 3 A.1 B.2 C.3 D.4 (日)的值是 第三章黑白题043 题组3函数解析式的求法 题组4函数的实际应用 9.(2025·广东东莞高一期中)已知函数 16.某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯 f八x-1)=2x-14.则f(x)= ( 电价的收费方式，即每户用电量不超过 A.2x-12B.2x-16C.2x-13D.2x-15 200kW·h的部分按0.6元/(kW·h)收费. 10.已知函数x)满足f(x-）=2+则 超过200kW·h的部分按1.2元/(kW·h) 收费.设某用户的用电量为xkW·h,对应电 (x)的解析式为 费为y元 A.f(x)=x2+2 B.f(x)=x2 (1)请写出y关于x的函数解析式； C.fx)=x2+2(x≠0)D.f(x)=x2-2(x≠0) (2)某居民本月的用电量为230kW·h,求此 11.(多选)(2025·湖南永州高一期中)已 用户本月应缴纳的电费 知一次函数f(x)满足f(f(2x))=8.x+3,则 f八x)的解析式可能为 A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x-3 C.f(x)=-2x-3 D.f(x)=-2x+1 12.(2025·四川雅安高一月考)已知g(x 1)=x-1,则g(x)= 13.(2025·江苏无锡高一月考)已知f(x) 是二次函数，且f(0)=3,若f(x+1)- f八x)=2x+3,则f(x)的解析式为 17.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设 14.(2025·山东东营高一期中)已知函数 备和服务都很好，但收费方式不同甲俱乐部 f八x)满足f(x)+2f代-x)=2x2+x-1,则f(2)= 每小时5元，乙俱乐部按月计费，一个月中 30小时以内（含30小时）90元，超过30小时 15.*(2025·安徽芜湖高一期中)根据下列 的部分每小时2元某公司准备下个月从这 条件，求f八x)的解析式 两家俱乐部中选择一家开展活动，其活动时 (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x+1) 间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲 f八x)=2x+9: 家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为 (2)2f(）+/x)=x(x≠0)， 八x)元，在乙家开展活动x小时的收费为 g(x）元 (1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式， (2)选择哪家比较合算？请说明理由. 必修第一册·RJ黑白题044 黑题 应用提优 很时：45min 1.(2025·江西上饶高一月考)以下形式 C.在(x)的定义域内任取一个值，总有唯一 中，不能表示“y是x的函数”的是 ( 的y值与之对应 D.在(x)的值域内任取一个值，总有唯一的 x值与之对应 4.(2025·江苏南通高一月考)设f(x)= ff(x+5)),x<10. C.x2+y2=1 D.y=x2 则f(9)的值为 ( 2x-15,x≥10， 2.(2025·江西南昌高一期中)如图，一高 A.9 B.11 C.28 D.14 为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小 5.*(2025·吉林长春高一月考)已知函数y= 孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完 所用时间为T若鱼缸水深为h时，水流出所用 fx)的图象为折线01B,则f(3)）=( 时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( ht ht 0 A.3 B.4 C.5 D.6 h 6.(2025·山东济南高一期中)高斯是德国 著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超 过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯函 数”，例如：[-1.1门=-2，[2.1]=2.某校要召开 学生代表大会，规定各班每8人推选一名代 3-2-10 表，若某班人数除以8的余数大于5时该班再 (第2题) (第3题) 增选一名代表那么各班可推选代表人数y与 该班人数x之间的函数关系可表示为( 3.。(多选)(2025·陕西渭南高一期中)若函 数y=f(x)的图象为如图所示的曲线m和线 A.=[] By=[] 段n,曲线m与直线l无限接近，但永不相交， 则下列说法正确的是 ( c=2】 A.f(x)的定义域为[-3，-1]U[0,2] 7.*(2025·湖北武汉高一月考)已知函数 B.f(x)的值域为[1，+o) f(x+3)=4x+6,则f八x)= 第三章黑白题045 8.若函数f(x)在其定义域内满足f(x)+11.已知函数f代x)=1x-3引-x+1山. 21-x)=上+1，则f(x)的函数解析式 (1)求f(x)的值域： (2)解不等式：(x)>0: 为 (3)若直线y=a与f(x)的图象无交点，求实 9.(2025·河北石家庄高一月考)已知函数 数a的取值范围. [x2+2x,x≤1. f八x)= 8 则当f(f(a))=8时，实数 -5,x>1, a= 10.#(2025·天津东丽区高一期中)已知函 x+1,x≤-2 数f八x)=x2+2x,-2<x<2, 2x-2,x≥2 ()求-5)-3)()的值： (2)若f(a)=3,求实数a的值： (3)若f(m)>m,求实数m的取值范围. 压轴挑战 1.格(2025·广东广州高一月考) 已知函数f(x)的定义域为R,且 f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则 f八2024)= () A.0 B.1 C.2024 D.2025 2.然(2025·江苏连云港高一期 末)已知函数y=f(x),x∈R不恒 为零，对于x,y∈R满足fxy)=f(y)+ ),若4）=2则-4) 必修第一册·RJ黑白题046 3.1阶段综合 黑题阶段强化 限时：30min 1.(2025·广东东莞高一期中)已知A={x1 A分)=15 0≤x≤2}，B={y11≤y≤2}，下列图象能表示 以A为定义域，B为值域的函数的是( B2)=-3 4 C.f八x)= 2012本12川12主 (x-1)21(x≠0) A B D 4x2 Df-0且 2.已知函数(x)的定义域为(-1,1)，则函 1,x≥0. 数g(x)=f(（)+x-1)的定义域为 ( 6.已知f(x)= 则不等式x+ -1.x<0 A.(1,2)B.(0,2)C.(0,1)D.(-1,1) (x+2)·f(x+2)≤5的解集是 ( 3,若函数y=f(x)的值域为[1,3]，则函数 A.[-2,1] B.(-0,-2] F(x)=1-2f(x+2)的值域是 ( c-2别 D.2] A.[-9,-5] B.[-5,-1] C.[-1,3] D.[1,3] 7.鞋(2025·福建三明高一期中)已知实数 4.*(2025·辽宁大连高 2x+a,x<1, a≠0，函数f(x)= 若f(1-a)= 一期中)设P(t,It1)为 -x-2a,x≥1， 函数y=1xl,x∈[-1,1] f1+a),则a的值为 0 图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线 A、3 4 B x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面 c 积为()，则s=()的图象可表示为( 8.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有 f八x+y)=f(x)+f(y),试写出满足此性质的一 个非常数函数的函数解析式： .(写 出一个即可) 压轴挑战 2,0≤x 2 格已知函数f(x)= 则方 1 D 2(1-)2x≤1， 5.*(多选)(2025·四川眉山高一期中)若函 程f(f(x))=x的解的个数是 数1-2)子0，期 第三章黑白题047