2.3 二次函数与一元二次方程，不等式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

压轴挑战 52 解析：已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1 因%（台）-（会）岛 (a+2b=4, 2a4b1 a=42-4,时取等号。 (6=4-22 c-12 2√2(c-1) 2受号-受当组仅当3时取等号 所以c,ec,2252 a=42-4, 2.62一≥2，当且仅当6=4-22时取等号，故 e=3 答案为品 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 白题 础过关 1.D解析：由2x2-9x-5<0,即(2x+1)(x-5)<0,解得- 2c 5.所以不等式2--5<0的解集为{7<x<5}故 选D 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中△=1-4<0，则解集为R, 故A正确： 对于B:x2-x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故B正确： 对于C:+1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<25】 或o片5}故C错误 对于Dx-g-1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<2 1-5 或o片}放D错腿故适 3.{xx≤-2或x≥4解析：√-2x-8有意义，则有x2-2x 8≥0，解得x≤-2或x≥4， 所以x的取值范围是xlx≤-2或x≥4引， 4.A解析：因为a<a+1,所以(x-a)[x-(a+1)]<0的解集为 a<r<a+1.故选A. 5c解折ac0a(+2)(+）k0(+2y(+ 0.又->0不等式的解集为<-2或。故选C 6.B解析：由题意得，原不等式可转化为(x-1)(x-a)<0,当 >1时解得1<<a,此时解集中的整数为2,3，则3<a≤4： 当a<1时，解得a<x<1,此时解集中的整数为0，-1，则-2≤ a<-1:当a=1时，不等式为(x-1)2<0,无解，不符合题意综 上所述，实数a的取值范用是{al-2≤a<-1或3<a≤4引.故 选B. 必修第一册·凡J 四重难点拨 1.解一元二次不等式的一敷方法和步豫： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式。 (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有 实根（无实根时，不等式解集为R或②）： (3)求：求出对应的一元二次方程的根 (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集。 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再 比较相应方程根的大小，注意分类讨论思想的应用. 7.解：…r2-r+1>x,ar2-(+1)x+1>0,∴(ar-1)(x-1)>0, 当a=0时，-x+1>0得x<1,此时不等式的解集为xx< 1小.当0a<1时，不等式的解集为{x1或>} :当a 1时，不等式的解集为{：<或o小当a=1时，不等 式的解集为1：当0时，不等式的解集为片 8.A解析：因为-2<09(x-2)(x-4)<092<<4,且2<< x-4 已p2.但D2推不2c<4,所以子0是D2”的充 分不必要条件，故选A 四方法总结 分式不等式的解法： (1)标准化：移项通分： (2)转化为整式不等式（组） x-1 (x-1)(2x+3)≥0解得x≥1或x< 9.A解析：2+3≥0={2x+3≠0. 20的解集为{c-或1故 2…不等式1 选A 10.C解析：(x2-2r-3)(x2+4r+4)=(x-3)(x+1)(x+2)2<0, 只需(x-3)(x+1)<0,所以原不等式的解集为{x1-1<x< 3.故选C. 1.d0≤2或≥61解折：0<2-7x+12(-3)-4> 0,根据“穿针引线法"可解得0<x<3或x>4 1≤0 x2-8x+12 F-7+12≤12-7+2 ≥0→ x2-7x+12 (x-2)(x-3)(x-4(x-6)≥0根据“穿针引线法”可解 x2-7x+12≠0， 得x≤2或3<x<4或x≥6. (0<x<3或x>4. 所以0< x2-7x+12 ≤1→ 解得 (x≤2或3<x<4或x≥6. x10<x≤2或x≥6， 四方法总结 利用“穿针引线法”解高次不等式的步聚： (1)把不等式变形为右侧为0，且x最高次项系数为正的标准 形式： (2)解出不等式对应方程的所有根并在数轴上标出： (3)从右上开始向左下画线，“奇穿偶不穿”： (4)根据图象，写出不等式解集 黑白题016 12.解：(1)2不是集合B中的元素，理由如下： 由≤1可得1号≥0，解得6-1或2 x+1x+1 所以B=xlx<-1或x≥2，因此2EB. (2)A=xlx+x-12≤0川=x1(x-3)(x+4)≤0}={x1-4≤ x≤3}， 所以AnB=xl-4≤x<-1或2≤x≤3引， 又0，B=xl-1≤x<2,故AU(C,B)=x1-4≤x≤31. 13.B解析：根据图象可得不等式x(x-a)<0的解集为1x0< x<2.故选B. 14.19解析：由不等式x2-:+c<0的解集是|x|-3<x<2可知 x2-bx+c=0的两根为-3,2， 所以-3+2=b,-3x2=c,所以b=-1,c=-6,所以x2+x+e=0 就是x2-x-6=0,1=3,x2=-2,x+号=27-8=19.故答案 为19. 15.C解析：由题意可得x≥15，且[30-2(x-15)]x≥400，即 x2-30x+200≤0，解得10≤x≤20，可得x的取值范围为 {x115≤x≤201.故选C 16、C①解析：第-次稀释后，药液浓度为一，第二次稀释后。 F-8 V-8 药液浓度为V一=V一，依题意有V一≤ 75%.即2-32V+60≤0，解得2≤V≤30，又V-5≥0，即V≥ 5.所以5≤V≤30.故选CD. 重难聚焦 17.C解析：由x2-r+1≥0在1≤x≤2上有解.得(x2-x+ 1)≥0，由二次函数的性质可知y=x2-r+1在1≤x≤2 上的最值在x=1或x=2时取得，故1-a+1≥0或4-2a+1≥ 0解得a≤2或a≤子，由于是有解问题故a≤号故选C 18.A解析：关于x的不等式mx2+x+m>0在R上恒成立， 若m=0,即x>0,不符合题意，若m≠0，则m>0,解 1-4m2<0. 得m>)故选小 黑题 应用提优 2-3x≥0.②不等式①的解集为 (x2-1<0.① 1.C解析：不等式组 1xl-1<x<1川，不等式2的解集为1xlx≤0或x≥3.因此不 等式组的解集为x1-1<x≤01.故选C 2B解折浮0 450 x≠4. 1(x-4)(x-5)≤094r≤5 A选项，(x-5)(4-x)≥0→(x-5)(x-4)≤0→4≤x≤5， 故A错误： B正确： 50年*5， (-5)(x-4)≤04≤<5，放 C错误： D选项，V-4≤1=≥4， →4≤x≤5，故D错误故选B. x-4≤1 参考答案 3.B解析：由于ax2-x+c>0的解集为xl-2<x<1|.故-2.1是 am2-x+c=0的两个实数根，放-2+1=。且-2x1=。,解得 a=-1,c=2,故y=ax2+x+c为y=-x2+x+2,令y=-x2+x+2= 0.解得x=2,x=-1.且图象开口向下，故B符合.故选B 四重难点拨 L.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三 点”中有一个点是顶点，另两个点是二次函数图象上关于对 称轴对称的两个点，常取与x轴的交点：“一线”是指对称轴这 条直线：“一开口“是指开口方向. 2求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图 象特征，分析不等关系成立的条件， 4.B解析：由于a(x-a)(x+1)>0为一元二次不等式，所以 a≠0，当a>0时，函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上，与 x轴的交点的横坐标为a,-1.解得x<-1或>a,当a<0时， 函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下，若a=-1,则不等式 的解集为☑：若-1<a<0,解得-1<r<a:若a<-l,解得a<x< -1.综上，ACD选项都可能是一元二次不等式a(x-a)(x+ 1)>0的解集.故选B. 5.ACD 解析：选项A中，因为关于x的不等式a2+4x+2b≤0 a≠0)的解集为{-子}，所以判断二次函数y三a心2+4r+2边 的图象开口向上，即a>0.选项A正确： 选项B中，因为方程+4x+2b=0只有一个解，得4=16- 8ab=0,解得ab=2,选项B错误： 选项C中，因为a>0,且ab=2,所以b>0,a+2b≥2√2ab=4. 当且仅当a=2b,即a=2,b=1时，a+2b取到最小值4，选项 C正确： 选项D中，若a>b.则a-b>0.+6.a-b)+2a=（a-b+ a-b a-b 6产24=4，当且仅当a-6=2,即a=1+3,6=-1+3时等 4 号成立，选项D正确.故选ACD, 6.A解轿=+1≥2,1=3，当且仅 当x=,即x=1时取得最小值3， 由题意可知，≤x≤2时，三2+br+c(b,ceR)在x=1时取 得最小值3，则有b=-2,=4, 则关于x的不等式ax2-(c+b)x+3a<0在0<x≤2上有解，可 转化为关于x的不等式a2-2x+3a<0在0<x≤2上有解， 因为0<≤2时，不等式可转化为r+3 <2,当a=0时，不等 式为0<2.满足题意：当>0时，不等式化为x+32.则 x<a 2 3≥2 3 >x+ =23,当且仅当x=5时取等号，所 以a停即0当ac0时，不等式化为+是名此 时不等式恒成立： 综上可知，实数。的取值范周是<令放选人 7.D解析：若不等式-2≤x2-2a+a≤-1有唯一解，则函数y= x-2ax+a的大致图象如图所示， 黑白题017 3=2-2r+ 由图象得方程x2-2ax+a=-1有两个相等的实根，所以4三 4r2-4(a+1)=0,解得a=2放选D. 8.B解析：由1mx1<1x-11,则(mx)2<(x-1)2,(m2-1)x2+2x- 1<0,易知m≠1，可得[(m-1)x+1][(m+1)x-1]<0, 当0om<1时，解得品或n则不等式有无数个整数 1+m1 解，合去 青1时，解得c由0兮则3个数应 1-m 为-2-10.可得-3≤-2.解得≤m<号故选B 1-m 9”≤1≤10解折：由题可知，提价后每年可销售村衫(8 0.62)万件，所以0<r 311-r%(8-062)·r%≥16，整 40080 理得3.1广-41+100≤0，解得0≤r≤10，故答案为 r≤10. 10.解：由题意得4=a2-16, ①当4<0.即-4<a<4时，方程2x2+ar+2=0无实根，所以 原不等式的解集为R: 2当△≥0，即a≥4或a≤-4时，方程2x2+x+2=0的两个 根为x,=0-V16 4 =a+V@16 4 所以当a=-4时，原不等式的解集为xx≠1： 当a>4或a<-4时，原不等式的解集为{xx< -16或+y-16} 4 4 当a=4时，原不等式的解集为xx≠-1{， 1.解：0当a=-1时，原不等式即为3)>0，即 (x-1)(+3<0,等价于(x-1)(x+1)(x+3)<0,如下图 (x+1) 所示： 3 由图可知，当a=-1时，原不等式的解集为x1x<-3或-1< x<1i. (2)当4=0时.原不等式即为+2x-30.即r+2x-3<0, 解得-3<x<1:当a>0时，原不等式等价于(r-1)(x 1)(x+3)>0,当}>1时，即当0<a<1时，解原不等式可 得-31或心。当1时，即当a=1时原不等式即 为(x-1(+3)>0,解得-3且x1:当0<。<1时，即 必修第一册·RJ 当>1时，解原不等式可得-3<x<或>1，综上所述，当 a=0时，原不等式的解集为x1-3<x<1|:当0<a<1时，原 1 不等式的解集为{-3<1或D。}:当a=1时，原不 等式的解集为x1-3<x<1或x>1{:当a>1时，原不等式的 解集为{x-3<或1} 12.解：(1)易知矩形EFHG与矩形MNPQ全等， EG AD 1am∠ABD= BG AB =2,所以EG=2BG=2x, tanLADB=AB_FH I DDm2,所以DM=2FH=2BG=4 又因为BD=√AB+AD=√(45)+(85)2=20.所以 GH=BD-BG-D=20-x-4x=20-5x. 所以S=2EG·GH=4x(20-5x)=-20x2+80x. 又因为S=ar2+bx,则a=-20,b=80. (2)由(1)可知，20-5x>0 x>0, 解得0Kx<4. 因为蓝莓至多能铺满30©m2,若要求该蛋糕铺满水果的区 域面积不小于35cm, 1-10x2+40x≤30. 1x2-4x+3≥0. 1 则-20x2+80x≥35，整理可得 42-16x+7≤0，解得2≤ 0<r<4, 0<x<4, x≤1或3≤x≤2 因为EF=GH=20-5x 当≤1时，15≤20-5≤空：当3≤：≤时 ≤20 5x≤5. 所以≤F≤5政15≤EF<草（华位m 压轴挑战 0或1解析：由已知可得(x-a+2)(x-a)(x-a2)≥0，易知该不 等式对应方程的三个根为x,=a-2<,=a,x,=a2≥0，且a2>n-2 恒成立： 已知x≥0时，不等式(x-a+2)[x2-(a+a)x+a'门≥0相成立， 则需满足当a2=0时，解得a=0成立： 当a>0时，a=a2,-a+2≥0，解得a=1成立.综上可得a=0或 a=l.故答案为0或1. 2.2-2.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：由+ ,2零0可得Cx+1)（x-2)≤0，解得-1≤x<2. x-2≠0. 即A=1x1-1≤x<2:由x2-4x+3≤0可得1≤x≤3，即B= xl1≤x≤3，则AnB={xl-1≤x<2}n|x11≤x≤3= 1x1≤x<2,故选C 2.B解折：因为00,22=1.则2x+=(2+） (2）=2≥12*2 9 ·4灯=24，当且仅当 9=4g,即x=6,y=4时，等号成立故选B 3.CD解析：因为x,y>0,所以y=x+4y+5≥2x·4y+5= 黑白题0182.3二次函数与一元二次方程、不等式 白题基础过关 限时：40min 题组1不含参数的一元二次不等式的解法 6.(2025·河北衡水高一期中)关于x的不 1,(2025·河南周口高一月考)不等式2x2- 等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整 9x-5<0的解集为 数，则实数a的取值范围是 () A{xK-5或o}B.{<或o5 A.-1<a≤0或2≤a<3 B.-2≤a<-1或3<a≤4 c.{x-5x<2} n.{-2<5到 C.-2<a≤-1或3≤a<4 D.-1≤a<0或2<a≤3 2.(多选)下列不等式中解集为R的是 7.求不等式ax2-ax+1>x的解集。 ( A.x2+x+1>0 B.x2-x+1>0 C.x2+x-1>0 D.x2-x-1>0 3.若要使x2-2x-8有意义，则x的取值范 围是 题组2含参数的一元二次不等式的解法 4.、北师教材原题(2025·四川南充高一期中) 关于x的不等式(x-a)[x-(a+1)]<0(aeR)》 的解集为 A.xla<x<a+l 题组3简单分式不等式及高次不等式的解法 B.xlx<a或x>a+1 8.·(2025·山东泰安高一月考)设x∈R,则 C.R x-2 D.0 x-40”是>2”的 () 5.(2025·浙江温州高一期中)若a<0,则关于 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 x的不等式a(x+2)(x+。)k0的解集为( C.充要条件 A.{x<-2 D.既不充分也不必要条件 9.(2025·广东茂名高一期中)不等式 B{-2r< 2x+3≥0的解集是 x-1 C.{x-或<-2 {e或a1Bo川 D.{x>-2或x<- c{≥ n.{-≤1 第二章黑白题029 10.不等式(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0的解集是14.(2025·安徽芜湖高一期中)设方程x2+ ( bx+c=0的两根是x1,x2,若不等式x2-br+c< A.x|x<-1或x>3 0的解集是{x|-3<x<2,则x+x2的 B.{x|-1<x<2或2<x<3 值是 C.{xl-1<x<3 题组5一元二次不等式的实际应用 D.{x|-2<x<3 15.(2025·福建福州高一期中)某文具店 11.(2025·江苏苏州高一月考)不等式0< 购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价 格销售，每天能卖出30盏：若售价每提高 ≤1的解集为 x2-7x+12 1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销 12.(2025·浙江衢州高一期中)已知集 售，为了使这批台灯每天获得不少于400元 合A=1x+-12≤0，B={3≤1. 的销售收人.则这批台灯的销售单价x(单 位：元)的取值范围是 ( (1)判断2是否为集合B中的元素，并说明 A.x110≤x<16B.{xl12≤x<18} 理由； C.{xl15≤x≤20}D.{xl10≤x≤20 (2)若全集U=R,求A∩B,AU(C,B) 16.(多选)(2025·江西南昌高一月考)为配 制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的 桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升 后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水 补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过 容积的75%，则V的可能取值为 ( ) A.4 B.40 C.8 D.28 重难聚焦 题组6恒成立与能成立问题 17.*(2024·河北衡水高一期 中)设aeR,若关于x的不等式 x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则( 题组4三个“二次”关系的理解及应用 A.a≤2 B.a≥2 13.·(2025·湖南长沙高一期中)已知函数 C.u≤2 5 y=x(x-a)的图象如图所示，则不等式x(x D.a≥ 2 a)<0的解集为 18.(2025·广东广州高一期 中)“不等式m.x2+x+m>0在R 上恒成立”的m的取值范围是 A.m72 B.0<m<l A.{xI0≤x≤2 B.x10<x<2 1 C.m D.m>1 4 C.{xlx≤0或x≥2}D.{xlx<0或x>2 必修第一册·RJ黑白题030 黑题 应用提优 展时：45min x2-1<0. 5.*(多选)(2025·山东泰安高一月考)已知 1,不等式组 的解集是 x2-3x≥0 关于x的不等式ax2+4x+2b≤0(a≠0)的解集 A.{xl-1<x<1 B.xI1<x≤3到 为(-}，下列选项中正确的是 C.xl-1<x≤0 A.a>0 D.xlx≥3或x<1} B.ab=4 2.(2025·天津和平区高一月考)与不等式 C.a+2b的最小值为4 x-5 ≥0同解的不等式是 ( 4-x D.若a>b,则+b的最小值为4 A.(x-5)(4-x)≥0 5-0 B 6.。(2025·天津南开中学高一月考)已知 x-47 c0 2 ≤x≤2时，y1=x2+bx+c(b,c∈R)与y2= D.Wx-4≤1 3.(2025·山东菏泽高一月考)已知关于x +x+1在同一点取得相同的最小值，关于x的 的不等式ax2-x+c>0的解集为x|-2<x<1}, 不等式ax2-(c+b)x+3a<0在0<x≤2上有解， 则函数y=a.x2+x+e的图象为 则实数a的取值范围是 ( 3 A.a3 4 B.a 3 4 C.a 3 D.a77 B 7.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解， 则实数a的值为 ) A.-15 B.I-/5 2 2 C.l±5 D D.I±5 2 2 4.(2025·江苏无锡高一期中)对于给定的8.#(2025·四川德阳高一月考)已知不等 实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x 式1mx<lx-11(m>0)解集中的整数恰有 a)(x+1)>0的解集不可能为 ( 3个，则实数m的取值范围为 A.0 4 3 B.-1 A.0<m≤1 B. 3≤m<2 C.xla<x<-1 D.{xlx<-1或x>a C.1<m<2 2 3 D.3≤m<4 第二章黑白题031 9.。某服装公司生产的衬衫，在某城市年销售12.鞋(2025·河北石家庄高一月考)如图，某 8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬 蛋糕店制作一块长为85cm,宽为45cm 衫，代理商向服装公司收取销售金额%的代 的矩形双拼水果蛋糕ABCD,点E,F,M,N分 80 理费.为此，该衬衫每件价格要提高 1-r%元 别在线段AB,AD,BC,CD上（不包含端点）， 点G,Q,H,P均在线段BD上，要在矩形 才能保证公司利润.由于提价，每年将少销售 EFHG与矩形MNPQ两个区域中分别铺满蓝 0.62万件，如果代理商每年收取的代理费不 莓与芒果两种水果设BG=DP=xcm,铺满水 少于16万元，则r的取值范围是 果的区域面积为Scm2. 10.解关于x的不等式2x2+ax+2>0. (1)已知S=ax2+bx,求常数a,b的值： (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓 至多能铺满30cm2,若要求该蛋糕铺满 水果的区域面积不小于35cm,求EF的 取值范围 11.#(2024·湖南衡阳高一月考)已知关于x 的不等式，a-1 0 x2+2x-3 (1)若a=-1,求不等式的解集： (2)若a≥0，求不等式的解集. 压轴挑战 (2025·重庆巴蜀中学高一期 中)当x≥0时，关于x的不等式(x- a+2)[x2-(a+a2)x+a3]≥0恒成立，则实数a 的值为 必修第一册·RJ黑白题032