2.2 基本不等式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

2.2基本不等式 白题 基础过关 吸时：45min 题组1基本不等式的理解 题组3利用基本不等式求最值之无条件求最值 1.·(多选)给出下列条件：①ab>0:②ab<0: 6.·(2025·江西上饶高一月考)已知m>3, 3a>0,b>0:④a<0,b<0.其中能使2+4≥2成 4 a b 则m+ 的最小值为 m-3 () 立的条件有 ( A.1 B.3 C.5 D.7 A.① B.② C.③ D.④ 7.“人B教材变式(2025·江西鹰潭高一月 2.下列几个不等式中，不能取到等号的是 考)若0<x<4,则2x(4-x)有 () ( A.最大值2 B.最大值4 A.E+≥2(x>0) C.最大值8 D.不能确定 x B.11+2 8.(2025·河北承德高一期末)已知0<x< ≥22(x≠0) Ixl 的最小值为 1,则+16 () C.-4 x x16 ≥1(x<0) A.25 B.6 C.10 D.5 D.√x+5+ 1 ≥2(x∈R) 9.*(2025·广东江门高一期末)若x>0,则 √02+5 2x2-3x+1 的最小值是 3.如图，正方形的边长为a+ b(a>0,b>0),请利用OA≤0B+ 题组4利用基本不等式求最值之有条件求 BA,写出一个简练优美的含有 最值 a,b的不等式为 ,其中 10.已知4a2+b2=6,则ab的最大值为 “=”成立的条件为 ( ) 题组2利用基本不等式比较大小 3 4.·(2025·广东江门高一月考)已知x>0,A= A. 4 c D.3 x-2,B=-,则A与B的大小关系是( 11.*(多选)(2025·浙江绍兴高一月考)已知 x,y为正数，且y=1,则下列说法正确的是 A.A≥BB.A≤BC.A>B D.A<B ( 5.#(2025·浙江绍兴高一月考)已知a,b为 互不相等的正实数，下列四个数中最大的是 A.x+y有最小值2B.x+y有最大值2 C.x2+y2有最小值2D.x2+y2有最大值2 ( 2 12.(2025·广东深圳高一期末)已知正数 A.ab B. 11 x,y满足+2=L,则2x+y的最小值是 a b x Y a +b D.@+h 2 2 A.8 B.6 C.4 D.2 必修第一册·RJ黑白题026 13.(2025·河南周口高一月考)若正实数 题组6利用基本不等式解决实际问题 a,b满足a2+b2+ab=3,则a+b的最大值为 19.·(2025·云南昆明高一期中)某生物制药 ( 公司为了节约成本开支，引入了一批新型生 A.1 B.2 C.23 D.4 物污水处理器，通过费用开支的记录得知 14.(2025·湖南长沙高一期中)已知正数a, b满足(a-1)(b-2)=2,则8a+b的最小值为 其月处理成本y(元)与月处理量x(吨)满足 函数关系式y=2x2-180x+20000.则当每吨的 A.18 B.14 C.12 D.10 平均处理成本最低时的月处理量为() 15.·(2025·四川广安高一月考)若x>0,y> A.80吨B.100吨C.120吨D.150吨 0且x+2y=1,则+x的最小值是( 20.(2025·河南南阳高一期中)制作一个面积 x Y 为1m2且形状为直角三角形的铁支架，较经济 3 A.1+22 B. +2 (够用，又耗材最少)的铁管长度为() A.4.6mB.4,8mC.5m D.5.2m C.2 0. 21.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗 16.*苏教教材习题(2025·江苏连云港高一期 费的精力增多，因此不满意度升高.当住第 末)若>0，y>0,且=4，则上+4的最小值 n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高 处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因 为 此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住 17.(2025·湖南长沙高一月考)已知正实 第n层楼时，环境不满意程度为8则此人应 数a,b满足a+√0+1=4，则a+b2的最小值 是 选第 楼，会有一个最佳满意度 题组5利用基本不等式证明 重难聚焦 18."已知a,b都是正数，求证：a+b+1≥√ab+ 题组7利用基本不等式解决恒成立问题 √a+b. 22.*(2025·山东济宁高一月 考)设0m<对若 m1-2m 恒成立，则k的最大值为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 23.(2025·安徽芜湖高一月考)已知a> 0.b>0,若不等式≤ 恒成立，则m b 的最大值为 ( A.4 B.6 C.8 D.9 24.(2025·山东淄博高一月考)若对任 意x0,2+5x+ ≤a恒成立，则实数a的 取值范围是 第二章黑白题027 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·江苏连云港高一月考)已知x>1, A.4/10里 B.610里 y>0,x+y=3,则(x-1)·y的最大值是( C.8/10里 D.1010里 N. 4 C.g D.1 5.*(2025·天津津南区高一月考)已知x>0,y> 2.*(2025·广东东莞高一月考)已知a,b>0 0,且1+11 +3,2则x的最小值为 且ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为( 6.#(2025·广东佛山高一月考)已知正实数 A.4 B.6 C.22 D.8 a,b满足a+2b+5=ab,且不等式，m 10-2ab 2a+ba+2b+5 3.*(多选)(2025·四川成都高一期中)下列 恒成立，则实数m的取值范围是 函数的最小值为4的是 7.鞋(2025·江苏扬州高一期末)已知x>2, .4 A.y=x+- y>0,xy=y+4. (I)求x+y的最小值： B.y=x+ x-1 +1(x>1) (2)求(x-1)2+y2的最小值： C.y=4-4+9 2x (x>0)】 （3)求+，箱最小值 2+13 D.y= x2+9 4.(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)《九章 算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了 中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股 中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中 开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步 而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘 南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距 离东门的步数作除数，被除数除以除数得结 果，即出南门x里见到树，则x= (ox(x 一若一小城，如图所示，出东 15 门1200步有树，出南门750步能见到此树， 则该小城周长的最小值为（注：1里=300步） 压轴挑战 已知正数a,b,c满足a+2b三 0:东 4,c>1,则 be c e 22 的最小值 南门 2a b 2'c-1 为 必修第一册·RJ黑白题0284.ABD解析：因为a+b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+∫，所以e- c>e-e,所以e>c.又因为a+b+fkc+d+e,所以c-f-e,所以c>f 所以e>c>f,C错误又因为a+e<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c, b>e>f,b>c>f均成立，ABD正确.故选ABD. 5.444 解析：依题意，知第二次敲击铁钉没有全 77k71, keN' 部进人木板，第三次藏击铁钉全部进入木板，所以 4,4 771, 4.4 771, 4.44 7771, 答案为444 7'7k7RL, keN'. kE N'. 6.1<< 解析：因为三个式子很明显都是负数所以 XxX ye0,所以>同理于e(0,1),所以之 y t 综上xx 1之 7.-1s0≤20解桥：由-4奶≤a-c≤-6≤a-c≤56可 得46≤a-c≤-b, -b≤4a-c≤5b. 令9u-c=m(a-e）+n(4a-c),整理可得9a-c=(m+4n)a- 5 m三 （m+n)c所以t4三9解得 3 所以9a-e= (m+n=1, 8 n=3' 5 3(4a-e). 3(a-e) 将-46≤a心≤=b两边同时乘子，可得6≤ 3(a-）s 9@, 将6≤4≤动两边同时系号，可得-号≤弩(-e)≤ 36②. 4 两式相知可得-骨6≤-号a-e)+ (4o-e)s 6,即-b≤9a-r≤206. 因为b>0,所以-1≤9-≤20 b 8.(1)解：因为a2+b-(4a-2b-5)=a2-4a+4+b2+2b+1= (a-2)2+(b+1)2≥0. 放a3+b≥4a-2b-5. (2)证明：因为>0，>0，所以a+b>0,又，_+8 a b= ab (a+b)(a2-ab+b2) ab 因为+B≥2b,所以有尽+_(a+b)(a2-b+6) b ab 参考答案 a》a06,当a=6时，等号成立.因比号≥ ab a+b. 9.(1)解：第一种方案.两次加油共花费30×5+30×4= 270(元)，两次共加了60升燃油，所以平均价格为270 60 4.5(元升)： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加 了(0，四)=90（升）燃询，所以平均价格为细 9(元/升. (2)证明：由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+ 30m)元.两次共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30。 60 ”(元/升： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 (20,20）升燃油，所以平均价格为，40-2m（元升. m n 200200m+切 且m*n_2m_(m+n)2-4m.(m-n) >0.所以选择第二种 2 m+n 2(m+n) 2(m+n) 加油方案比较经济划算。 2.2基本不等式 白题 基础过关 1.ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”， 即当片名均为正数时，可得片名≥2当且收当a=6时等 号成立)，此时只需a,b同号即可，所以①③④均满足要求 故选ACD. 四易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须游足的三个条件： (1)“一正”：各项必须为正数： (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化 成定值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成 定值； (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立 的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是 最容易发生错误的地方」 2D解析：对A,当且仅当F=二，即=1时等号成立： 对B,当且仅当1x= 2,即x=±2时等号成立： 1x 对C当组仅当子后即8时等号度立 对D,当且仅当VF+5=1 ，即x2=-4时等号成立，无 √x+5 解，故等号不成立故选D 3.046 a2+b2 2≤√2(>0,6>0)a=b解析：正方形的边长为 a+b(>0,b>0),由勾股定理可得OA=√2(a+b),OB=BA= a+b,0A≤0B+BA,,2(a+b)≤√a+b+Va+b2, 黑白题013 ,当且仅当a=b时取等号，故答案为 a+b 2、a,6a>0,b>0):a=6. 4A解桥：因为0，A=x2,B-,所以A-B=x-2+ 2,2=0,即4≥队，当且仅当=1时等号度立故 选A. 5.C解析：因为a,b为互不相等的正实数，所以由重要不等 式可得a2+b2>2ab.则2(a2+b2)>a2+b2+2ab=(a+b)2.所以 a2+b2、(a+b)2 2 4,则 则√少>“艺>6，由基本不等式可得 2 2 11 瓜所以受学 ,因 11 a b a +b 此，最大的数为，√2.故选C 6.D解析：当m>3时，m+ m-3=m-3+ 4 m-3+3≥ 2m-3)·4337.当且仅当m-3兰即m=5时取 m-31 等号，所以m一与的最小值为乳故选卫 7.C解析：由基木不等式，得x(4-)≤[+年]=4，当 且仅当x=4-x,即x=2时等号成立，故2x(4-x)有最大值8， 故C正确，ABD错误，故选C 8A解折：由愿意得1-0.则（仁治）(+1 经92·7=，当组收当 即x=时，等号成立故+6的最小值为25故 1-x 1-x 选A 9.22-3解析：因为x0,所以2-31-2x+1-3≥ 2,2x·-3=22-3,当且仅当2x=,即x=号时取等 号，故答案为22-3. 10.B解析：由题意得6=4n2+b2=(2a)2+b2≥2·2m·b,即 、3当且仅当2a=b,即a=26=V3政a=-3,6. 2,6s 一3时等号成立，所以山的最大值为号放选B 11,AC解析：x,y为正数，且=1，则有x+y≥2√行=2，x2+ y2≥2y=2,当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y有最 小值2，x2+y2有最小值2.故选AC. 12.A解析：因为正数，y满足}+2=L,则2x+y=(2x+ x Y (任）2“之2≥2停4=8当且仅当 y x NY x 兰-：，即x=2y=4时取等号，所以2红+的最小值是8 x y 故选A. 必修第一册·RJ 13.B解析：a2+b2+ab=3,∴a2+b2+2ab=3+ah.a>0,b>0, ÷(a+b)2-3=ab≤(2 )-ab≤2，当且仅当 a=b=1时取等号，故选B. 14.A解析：由题意8a+b=8(a-1)+(b-2)+10≥ 28(a-1)·(-2)+10=18,当且仅当8(a-1)=6-2.即 。=子b=6时.等号成立放+6的最小值为1区故选 15.A解析：因为x>0,y>0且x+2y=1,所以1+工=+2+ y =1+24≥1+2,2x=1+22」 x y Nx y 当且仅当=厅-1=1-号时等号成立，放选九 182架折：由00.则>22，当且仅当 x y ↓=4，即x=1,y=4时等号成立，所以上+4的最小值 为2 1.,解桥由号≤，受如+西 a+b2+1 2 2 当且仅当√a=√0+1，即a=4,b=3时，等式成立 ≥(0）-4博a≥当a=46e5 时，a+b的最小值是7.故答案为7. 18.证明：由a,b都是正数，则a+1≥2va,b+1≥2b,a+b≥ 2ad,所以2(a+b+1)≥2（√ad+a+6),即a+b+1≥ ab+a+石，当且仅当a=b=1时取等号. 四易错提醒 利用基本不等式求最值或证明不等式时，注意等号能否司时 成立。 19.B 解析：依题意，每吨的平均处理成本上= 2+10000 10000 180≥2·2/x· -180=220.当且 仅当x=1000,即x=10时取等号，所以当每吨的平均处 理成本最低时的月处理量为1O0吨故选B. 20.C解析：设一条直角边为x,由于面积为1m2,所以另一 条直角边为子所以斜边长为，√+()所以周长为 22+2-43,当且仅当=2且2=（径）厂.即=2时 取等号，所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为 5m,故选C. 21.3解析：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y,由 迹盒知知、一+气久女 +8≥2一g4,当且仅当 8,即n=22时取等号，但考虑到neN心当n=2时， 黑白题014 受=6，当=3时，=3弩-？，即此人应选3楼，不 =248」 满意度最低故答案为3 重难聚焦 2.D解折：由于0m<分则得到宁·2a(1-2m)≤ 2mt1-2m）1=（当且仅当2m=1-2m,即m=4 2 时，取等号，所以1+2 m-2mm(1-2m)≥7 =8,又由 m1-2mm(1-2m)≥春恒成立，故k≤8，则6的最大值 +2 为8故选D. 23.A解析：因为a>0,6>0m 4方。恒成立，即m (a+b)2a2+62+2_0,b+2恒成立. ab ab b a 为22只24，当当- a=b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4.故选A 24.a≥7 解析：因为x>0.所以，一= x2+5x+1 1 x++5 1 行，当且仅当=，即=1时等号成立。 2 又对任意0,2+5x+1 a相成立，所以a≥7故答案为 黑题 应用提优 1.D解析：由1>0=3.得（-·y≤(） 1,当且仅当-1=y=1时取等号，所以(x-1)·y的最大值 是1.故选D 2.D解析：a,b>0且ab=2,则(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2= 4+2a+b≥4+2√2a·b=8,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时 取等号，所以当a=1,b=2时，(a+1)(b+2)的最小值为8.故 选D. 3.BC解析：A选项，当<0时+≤-4，故A错误， B选顿1=1一2≥4，当且仅当=2时，等号 成立，故B正确： C选项，化简可得，4+9=2+ 2x +2年-2≥6-2=4，当且仅当 x=}时，等号成立，故C正确： 2 D选项，令1=V+9,则易知y=√屋+9+4 4 VX+9 (≥3)，因为1>0，所以当且仅当1=2时，1+4取得最小值 4,与≥3矛盾，故D错误，故选BC 参考答案 4.C解析：设GF=x步，EF=y步，由△BEFn△FGA得 GE 本-7以一 7501 900000(步)，所以小城周长为： x 900000Y 00000 2(2x+2y）=4（x+ ≥4×2x· 2400√（步）=8/0（里），当且仅当x-90000,即 300√10时取等号，故选C 四重难点拔 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇 考查，解决这类问题的策略： L先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等 手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点， 2要有利用基本不等式求最值的意识，著于把条件转化为能 利用基本不等式的形式 3松验等号是否成立，完成后续问题。 5.5解折y=2(+3)1(3）3=2(2+本 ）322号）-3=5，当且仅当六9 'x+3 y 时.等号成立，所以x+y的最小值为5.故答案为5. 6.{m1m≥-18 解析：由题意，m≥10-2b)(2a+。 a+2h+5 2a…2a-(会)2w.因为（后+） ab (26=2:8”102·18，当组仅当号 a 兽甲6：”图时取等号所以-（仔）20 2 -18,所以不等式，”≥102恒成立.只需m≥-18即可 2a+ba+2b+5 故答案为1mm≥-18. 7.解：(1)因为x>2,>0,xy=y+4 4 所以x=1+4,所以1+>2解得0<4. 4 y>0. 所以17≥+2，号y5.当且仅当手，即 4 4 y=2.x=3时取等号. 所以x+y的最小值为5. y26 (2)(x-1)2+2=16+ 2停产=8当且仅当5 即y=2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+2的最小值为8. (3)因为x=1+4 x>2且0<y<4,所以4->0， 4 所以1+g+1+441+口 4-y y 4-y 当且仅当4=之，即y=2x=3时取等号. y4-y 所以号的最小值为5 黑白题015 压轴挑战 52 解析：已知正数a,b,c满足a+2b=4,c>1 因%（台）-（会）岛 (a+2b=4, 2a4b1 a=42-4,时取等号。 (6=4-22 c-12 2√2(c-1) 2受号-受当组仅当3时取等号 所以c,ec,2252 a=42-4, 2.62一≥2，当且仅当6=4-22时取等号，故 e=3 答案为品 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 白题 础过关 1.D解析：由2x2-9x-5<0,即(2x+1)(x-5)<0,解得- 2c 5.所以不等式2--5<0的解集为{7<x<5}故 选D 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中△=1-4<0，则解集为R, 故A正确： 对于B:x2-x+1>0中△=1-4<0，则解集为R,故B正确： 对于C:+1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<25】 或o片5}故C错误 对于Dx-g-1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<2 1-5 或o片}放D错腿故适 3.{xx≤-2或x≥4解析：√-2x-8有意义，则有x2-2x 8≥0，解得x≤-2或x≥4， 所以x的取值范围是xlx≤-2或x≥4引， 4.A解析：因为a<a+1,所以(x-a)[x-(a+1)]<0的解集为 a<r<a+1.故选A. 5c解折ac0a(+2)(+）k0(+2y(+ 0.又->0不等式的解集为<-2或。故选C 6.B解析：由题意得，原不等式可转化为(x-1)(x-a)<0,当 >1时解得1<<a,此时解集中的整数为2,3，则3<a≤4： 当a<1时，解得a<x<1,此时解集中的整数为0，-1，则-2≤ a<-1:当a=1时，不等式为(x-1)2<0,无解，不符合题意综 上所述，实数a的取值范用是{al-2≤a<-1或3<a≤4引.故 选B. 必修第一册·凡J 四重难点拨 1.解一元二次不等式的一敷方法和步豫： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式。 (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有 实根（无实根时，不等式解集为R或②）： (3)求：求出对应的一元二次方程的根 (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集。 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再 比较相应方程根的大小，注意分类讨论思想的应用. 7.解：…r2-r+1>x,ar2-(+1)x+1>0,∴(ar-1)(x-1)>0, 当a=0时，-x+1>0得x<1,此时不等式的解集为xx< 1小.当0a<1时，不等式的解集为{x1或>} :当a 1时，不等式的解集为{：<或o小当a=1时，不等 式的解集为1：当0时，不等式的解集为片 8.A解析：因为-2<09(x-2)(x-4)<092<<4,且2<< x-4 已p2.但D2推不2c<4,所以子0是D2”的充 分不必要条件，故选A 四方法总结 分式不等式的解法： (1)标准化：移项通分： (2)转化为整式不等式（组） x-1 (x-1)(2x+3)≥0解得x≥1或x< 9.A解析：2+3≥0={2x+3≠0. 20的解集为{c-或1故 2…不等式1 选A 10.C解析：(x2-2r-3)(x2+4r+4)=(x-3)(x+1)(x+2)2<0, 只需(x-3)(x+1)<0,所以原不等式的解集为{x1-1<x< 3.故选C. 1.d0≤2或≥61解折：0<2-7x+12(-3)-4> 0,根据“穿针引线法"可解得0<x<3或x>4 1≤0 x2-8x+12 F-7+12≤12-7+2 ≥0→ x2-7x+12 (x-2)(x-3)(x-4(x-6)≥0根据“穿针引线法”可解 x2-7x+12≠0， 得x≤2或3<x<4或x≥6. (0<x<3或x>4. 所以0< x2-7x+12 ≤1→ 解得 (x≤2或3<x<4或x≥6. x10<x≤2或x≥6， 四方法总结 利用“穿针引线法”解高次不等式的步聚： (1)把不等式变形为右侧为0，且x最高次项系数为正的标准 形式： (2)解出不等式对应方程的所有根并在数轴上标出： (3)从右上开始向左下画线，“奇穿偶不穿”： (4)根据图象，写出不等式解集 黑白题016