2.1 等式性质与不等式性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 白题 基础过关 限时：25min 题组1用不等式（组）表示不等关系 A.若db,ab>0,则。< 1.·(2025·河北邢台高一月考)在某校新生 军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分 B若“、b 数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大 于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用 C.若b>a>0,m>0,则+m b+mb 不等式组表示为 D.若a>b,c<d,则a-c>b-d (170≤x+y≤190， 170≤x+y≤190， A. B. 7.*(多选)(2025·辽宁盘锦高一月考)已知 lx<y (x>y 1<a<2且-5<b<3,则 () (170<x+y≤190， (170<x+y≤190， C. D. A.-4<a+b<5 B.-1<a-b<6 x<) x>y 2.·(2025·四川绵阳高一月考)一桥头竖立 C.-5<ab<6 D.-5<6<3 a 的“限质量40”的警示牌，是提示货车司机要 题组4不等式性质的实际应用 安全通过该桥，应使货车总质量T(单位：)不 8.某网店的最新商品计划分两次降价促销， 超过40t,用不等式表示为 有三种方案：A:第一次降价百分率为m,第二 题组2比较代数式的大小 次降价百分率为：B:第一次降价百分率为 3.*（2025·天津滨海新区高一月考)设 n,第二次降价百分率为m:C:第一次降价百 M=2x2-3x+5,N=x2-x+4,则M与N的大小 关系是 分常为”，第二次降价百分率为2” A.M≥N B.M>N 其中0%<n<m<100% C.M<N D.与x有关 (1)经过两次降价后，请把三种方案降价后的 4.(2025·山东滨州高一月考)若a>b, 价格从大到小排列： 则c-2a c-2b(从“<，>，=”中选择 (2)证明你的结论， 个填空) 题组3不等式性质的理解及应用 5.(2025·四川成都高一月考)a,b,c∈R, b>c,下列不等式恒成立的是 A.a+b2>a+c B.a'+b>a'+c C.ab2>ac? D.a2b>a2c 6.(2025·江西宜春高一月考)下列说法 中，错误的是 必修第一册·RJ黑白题024 黑题 应用提优 限时：30min 1,(2025·河北衡水高一期中)若a>1b1>8.(2025·江西师大附中高一月考)(1)设 0,则下列结论一定成立的是 ( a,b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值 11 的大小： A.a'b>ab2 B.- b2.a2 (2)若a>0,b>0,求证：一+ ≥a+b. C.a'<b D.a-c>c-b a b 2.(2025·四川泸州高一月考)已知实数x, y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则6x-3y 的取值范围是 ( A.-9≤6x-3y≤3 B.-7≤6.x-3y≤26 C.4≤6x-3y≤15 D.1≤6x-3y≤15 3.(多选)(2025·广东东莞高一月考)若 x>y>8,且x+2y+z=0,则 9.(2025·山西大同高一月考)港珠澳大桥 A.x>0 B.z<0 通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采 D.<名 用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两 C.xy>yz x-y x-3 次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生 4.(多选)有外表一样，质量不同的六个小 有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升 球，它们的质量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+ 的燃油：第二种方案，每次加200元的燃油 b+c=d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e< (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升， 6.则下列判断正确的有 ( 第二次加油时燃油的价格为4元/升，请 A.b>c>f B.b>e>f C.c>e>f D.b>e>c 计算出每种加油方案的平均价格（平均价 5.(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)用锤子 格=总价格·总升数) 以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深 (2)分别用m,n(m≠n)表示刘先生先后两次 入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉 加油时燃油的价格，请计算出每种加油方 人木板的钉子长度后一次为前一次的云 案的平均价格，选择哪种加油方案比较经 济划算？并给出证明. (k∈N·),已知一个铁钉受击3次后全部进入 木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长 度是钉长的等，请从这个实例中提炼出一个不 等式组： 6m如果<0.0<<1，那么，↓从小到大 x”xx 的顺序是 7.已知b>0,且-4b≤a-c≤-b≤4a-c≤5b 则-的取值范围是 b 第二章黑白题0252+y2+2-2gy_（(x+y)-2g=-2y.-2,所以充分性成立： 9.D解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量 词命题的否定是全称量词命题得命题“Vx∈R,3n∈N, 必要性：因为y≠0，且上+其：-2，所以之+-产y 使得n≥x2"的否定形式是“3x∈R,VneN°，使得n<x2" x Y x y ay +y2+2y-2g_（+y)-2.-2.所以+）=0.所以（x+ 故选D y 10.B解析：对于p而言.取x=-1,则有1x+11=0<1,故p是 y)产=0，所以+=0，所以必要性成立.所以“x+y=0”是“】+ 假命题，p是真命题，对于q而言，取x=1,则有x=1'= 1=x,故g是真命题.q是假命题，综上，7p和q都是真命 工=-2”的充要条件.故选℃ 题.故选B 第二章 一元二次函数、方程和不等式 (2)证明：设原先的价格为，则方案A经过两次降价后，价 2.1等式性质与不等式性质 格变为a(1-m)(1-n):方案B经过两次降价后，价格变为 白题 基础过关 a(1-m)(1-m):方案C经过两次降价后，价格变为a1- (170<x+y≤190 1.D解析：由题意得 故选D m+n ,显然方案A,B降价后的价格相同 (x>y. 2 2.T≤40解析：因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总 质量T不超过401，所以用不等式表示为T≤40， 因为a"广-a(1-(1-m)=a[-m-+(”） 3.A解析：M-V=2x2-3x+5-(x2-x+4)=(x-1)2≥0.则 (-m-+m)]-[(am)产-m]小-子(m- M≥N.故选A 4.<解析：h(c-2a)-(c-2b)=e-2a-c+2b=2(b-a)<0.故c 因为a*m,所以(m-n)产>0，可得a(-”）广-a(1 2a<c-2b.放答案为<. 5.B解析：对于A,若c<6<0,则62<c2,选项不成立，故 n)1-m)>0,即a("”）)>a(1-n)(1-m).所以0A=a A错误： 四方法总结 对于B.因为b>c,故a2+b>a2+c,故B成立， 1.比校法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主 对于C,D,若a=0,则选项不成立，故C,D错误故选B 要方法之一，此较法之一作差法的主要步骤为作差一变 6青解折：对于A取a=-3,6三-2.则>故A箭误：对 形一判断正、负. 2.判断不等式是否成立，主要是利用不等式的性质和特殊值 验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊 于B,由e2>0. 台得6，故B正确：对于c8 值险证的方法更简单。 ab+bm-ah-am_m(b-a .由6>a>0,m>0,得6-0>0.所 黑题 应用提优 b(6+m) b(b+m b(b+m） 1.B解析：对A,当b<0时，a2b<ab2,故A借误： 以滑行故C正确：对于D.由4，得-，又o,所 对B,当6<0时>1 以a-c>b-d,故D正确.故选A. 7.AD解析：1<a<2且-5<b<3,,1-5<a+b<2+3,即-4<a+ 当60时中六日)卢山a>0,则 b<5.故A正确： 放B正确： 1 取a=1.8,b=-4.8.则a-b=6.6>6.故B错误： 取a=1.8,b=-4,则ab=-7.2<-5,故C错误： 对C.当<0时.a>b.故C错误： 对D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误.故选B. 1<a<2.5<5a<10,又-5<b<3,.0<b+5a<13, b 2.A解析：6x-3y=2(x-y）+(4x-y),因为-4≤x-y≤-1，所 以-8≤2(x-y)≤-2，又-1≤4x-y≤5，所以-9≤2(x-y)+ (-5)=+500.-5< ..1<a<2,∴.-6<-3a<-3,又-5<目 a (4x-y)≤3，即-9≤6x-3y≤3.故选A. 3.-1h-3<0.。-36-0<0,<a综上.-5< 3.ABD解析：对于A,由x>y>z且x+2y+:=0得x+2y+< x+2x+x=4x,所以4x>0,x>0.A正确： a a a 对于B,x+2y+>x+2:+z=4z,所以4z<0,z<0,B正确： b<3,放D正确故选AD 对于C,取x=1,y=0,=-1,则xy=,C错误； 8.(1)解：不妨令m=0.6,n=0.2,可计算得到A=B=0.32,C= 对于D.由>：得0-y<-,所以1>，因为<0.所 x-y x-: 0.36,故两次降价后，三种方案降价后的价格从大到小排列 为C>A=B. 以号D正确放选人即 必修第一-册，RJ黑白题012 4.ABD解析：因为a+b+c=d+e+,a+b+e>c+d+f,所以e- a+6)(2ab-ab)=a+b,当a=6时，等号成立，因此公， e>e-e,所以e>c.又因为a+b+fkc+d+e,所以c-ff-e,所以c>f, a 所以e>r>f,C错误又因为a+e<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c, a+b. b>e>f,b>c>f均成立，ABD正确.故选ABD. 9.(1)解：第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4= [44 77L, 270(元)，两次共加了60升燃油，所以平均价格为270 60 5.444 解析：依题意，知第二次敲击铁钉没有全 4.5(元升)： 77k71， 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加 keN' 部进人木板，第三次薇击铁钉全部进入木板，所以 了(，四）=90（升）塔油，所以平均价格为 90 4,4 4,4 77, 元/开). 40 77, 4.44 777L, 答案为{44,4 7'7k7L, (2)证明：由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+ eN'. kE N'. 30m)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为30m+300 60 6, 解析：因为三个式子很明显都是负数，所以 xxx (元/升： 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 =r(0.1)所以>：同理本 =y∈(0,1)，所以’> (20,20）升燃油，所以平均价格为40-2m(元/升). y 1 n 200.200m+n m n 踪上 mn2mn (mtn)2-4mn (m-n)2 XXX >0.所以选择第二种 2m+n2(m+n) 2(m+n) 7,-1≤0≤20解析：由-4h≤a-c≤-b≤40-c≤56可 加油方案比较经济划算。 得46≤a-e≤-6. 2.2基本不等式 (-b≤4n-c≤5b. 白题 基础过关 令9a-c=m(a-e）+n(4a-c),整理可得9a-c=(m+4n)a- 5 1,ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”， m三 (m+n)c,所以{m+4n9·解得 3 所以9a-e= 即当片名均为正数时，可得片名≥2当且收当a=6时等 a"b (m+n=1, 8 n= 3· 号成立)，此时只需a,6同号即可，所以①③④均满足要求 8 故选ACD. 3(a-c)+3(4a-c) 四易错提醒 3bs、 将-46≤ae≤-b两边同时乘-号，可得 3(a-e)s 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满是的三个条件： (1)“一正”：各项必须为正数： ①， (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化 成定值：要求积的最大值，则必须犯构成积的因式的和转化成 将-b≤4a-e≤5b两边同时乘8。 ,可得8 6s8 (4-e)s 定值： (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立 9@, 的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是 最容易发生错误的地方 36s、5 两式相加可得-令 (a-c)+8 (4-e) 20 b+ 3 2.D解析：对A,当且仅当=，即x=1时等号成立： 106,即-b≤91-≤206 对B,当且仅当1x=名，即x=±V2时等号成立： Ixl' 因为b>0,所以-1≤90 ≤20 b 8.(1)解：因为a2+b-(4a-2b-5)=a2-4a+4+b2+2b+1= 对C,当且仅当-生=-6，即x=-8时等号成立：」 (a-2)2+(b+1)2≥0. 放a3+b≥4a-2b-5. 对D,当且仅当VR+5=1 ，即x2=-4时等号成立，无 √/x2+5 (2)证明：因为a>0,>0,所以a+b>0,又，4_+6 解，故等号不成立故选D. at b= ab la+b (a+b)(a2-ab+b2) 3.+h 2≤√2(a>0,6>0)4=b解析：正方形的边长为 因为d2+6≥2b,所以有，2_(a+b)(a2-ab+6) a+b(>0,b>0),由勾股定理可得OA=√2(a+b),OB=BA= b ab a+b,:0A≤0B+BA.,2(a+b)≤√a2+b+√a+b2, 参考答案黑白题013