专题探究1 集合的综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强 限时：50min 题组1集合中的参数问题 5.*(2025·河北邯郸高一期中) 1,(2025·福建福州高一月考)已知A= 定义非空数集M的“和睦数H”如 {xlx2+px-6=0,B=xlx2+gr+2=0|,且A∩ 下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后 (C.B)=2,则p+g的值为 ( 将第一个元素交替地加上、减去后继的数所 A.4 D.5 得的结果.例如，集合1,2,3,4,5}的“和睦 数”是5+4-3+2-1=7，{2,4的“和睦数”是 2.(2025·湖北武汉高一月考)设A={x|2a+ 4+2=6,{1的“和睦数”是1.对于集合A= 1≤x≤3a-5引(a为实数)，B={xl3≤x≤22， 则AC(A∩B)的充要条件为 {a6”eN,meN,其所有子集的和睦数 3.(2024·四川成都高一月考)关于x的方 的总和为 程x2+a=x(a∈R)的解集为A(A≠☑)，关于 A.82 B.74 x的方程(x2+a)2+a=x(a∈R)的解集为B. C.12 D.70 (1)对于集合M,N,若Hx∈M,x∈N,则 6.#(多选)(2025·安徽池州高一期中)由无 MCN.求证：ACB. 理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直 (2)若A=B,求实数a的取值范围. 到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要 求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史 称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的 科学基础上，才结束了无理数被认为“无理” 的时代，也结束了持续2000多年的数学史上 的第一次大危机将有理数集Q划分为两个 非空的子集M与N,且满足MUN=Q, M∩N=☑，M中的每一个元素都小于N中的 每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.则下 题组2集合中的新定义问题 列结论正确的是 () 4.(2025·江西抚州临川一中高一月考)用 A.若M=x∈Q1x<1,N={x∈Qlx>1},则 C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义 (M,N)是一个戴德金分割 A*B= C(A)-C(B),C(A)≥C(B)·若A= B.若M={x∈Qlx<π，N=x∈QIx>π}，则 C(B)-C(A),C(A)<C(B). (M,N)是一个戴德金分割 {1},B=xlx(x2+ax+2)=0,且A*B=1,设 C.若M中有最大元素，N中没有最小元素，则 实数a的所有可能取值构成集合S,则C(S)= (M,N)可能是一个戴德金分割 ( D.若M中没有最大元素，N中没有最小元素， A.4 B.3 C.2 D.9 则(M,N)可能是一个戴德金分割 第一章黑白题017 7.#(2025·广东深圳高期中)已知n元有 题组4集合中的新性质问题 限集A={a1,2,a,…,a,(n≥2，n∈Z),若 10.·(多选)(2025·山西大同高一期中)若 a+a2+a3+…+an=a1×a2×a3×…×an,则称集 集合A具有以下性质：①集合中至少有两个 合A为“n元和谐集” 元素：②若{x,y|CA,则y,x+y∈A,且当 (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算 过程)。 x0时，兰eA,则称集合A是~紧密集合”， (2)若正数集A=a1,a2是“二元和谐集”，试 以下说法正确的是 证明：元素a1,42中至少有一个大于2. A.整数集是“紧密集合” (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元 B.实数集是“紧密集合” 和谐集”？如果存在，存在几个？请说明 C.“紧密集合”可以是有限集 理由。 D.若集合A是“紧密集合”，且x,y∈A,则x y∈A 11.#(2025·广东东莞高一月考)已知集 合M={1,2,…,n(n∈N°，且n≥4)，若集 合A,B同时满足下列两个条件，则称集合A, B具有性质P 条件(1)：A∩B=☑，AUB=M,且A,B都至 少含有两个元素： 题组3集合中的新运算问题 条件(2)：对任意不相等的a1,a2∈A,都有 8.(2025·湖南求州高一期中)定义集合运 a,+a2A:对任意不相等的b1,b2∈B,都有 算：A@B={)5eA,子eB小若朱 b,b2年B. (1)当n=5时，若集合A,B具有性质P,且集 A=B=xENII<x<41,C=(x.y)y= 合A中恰有三个元素，试写出所有的集 合B: (2)若集合A,B具有性质P,且2∈B,3∈B, A.0 B.(4,1) 求证：n<14。 c.{,)》 n.{4,,6,3} 9.辞集合G关于运算④满足： (1)对任意的a,b∈G,都有a①b∈ G:(2)存在e∈G,对任意a∈G,都有a④e e④a=a,则称G关于运算④为“融洽集”，现给 出下列集合和运算：①G=非负整数}，©为 整数的加法：②G={偶数}，④为整数的乘法； ③G=二次三项式{，④为多项式的加法.其 中G关于运算④为“融洽集”的是 (填序号) 必修第一册·RJ黑白题018四重难点拨 1.由命题真假求参数的方法步廉： (1)求出每个命愿是真命题时参数的取值范围： (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范国 2.全称量词命题可转化为恒成立何题： 舍量词的命题中参数的取值范温，可根据命题的含义，利用函 数的最值解决。 压轴挑战 解：(1)由题意得，：3x∈x4≤x≤9，x≥a+4,为真命题，则 9≥a+4,即a≤5，故一p为真命题时，a的取值范围为ala≤5. (2)当p为真命题时，a+4>9.即a>5,所以p为假命题时，a≤5： 当g为真命题时，a+4>0,即a>-4,所以g为假命题时，a≤-4： 若P,q同时为假命题，则a≤-4， 所以若p,9至少有一个真命题时，a>-4故实数a的取值范围 是1ala>-4. 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 1,C解析：因为A∩(C.B)=2,2eA,所以4+2p-6=0.得到 p=1. 当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3∈B,故 92-0,得到-号所以9=1号片故选C 11 2.ala≤91解析：因为AC(A∩B),所以A二B 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑，满足题意： 当2a+1≤3a-5,即a≥6时.则2+1≥3，解得1≤a≤9.则 3a-5≤22. 6≤a≤9.综上，a≤9.所以A二(AnB)的充要条件为a≤9. 故答案为a≤9. 3.(1)证明：设x∈A,x+a=x,将x=x0代入方程(x2+a)2+ a=x,等式成立，是方程(x2+a)+a=x的解，.xo∈B, .ACB. (2)解：A≠☑，.x2-x+a=0有实根，.4=1-4a≥0， u≤4 集合B为方程(x2+a)2+a=x,即x+2ax2-x+a2+a=0的根 的集合 由(1)的结论A二B,且集合A为方程x2-x+a=0的根的 集合， ,.因式x+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a, 由多项式的除法得x+2ax2-x+a2+a=(x2-x+)(x2+x+a+1). A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0 的根， 当x2+x+a+1=0无实根时，4=1-4(a+1)<0,解得a>4 3 当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时 ①当x2+x+a+1=0有两个不等实根时，其根不可能与x2-x+ a=0的根相同否则设这两个不等实根为m,n,则 m+n=-，无解)小： 八m+n=1 ②当x2+r+a+1=0有两个相等实根时.即4=1-4(a+1)= 0,即a=-3时，方程的根为x=-】 ,此根刚好是x2-x+a=0 参考答案 的根，满足条件综上0的取值范隅是{口-<a≤} 4.C解析：由题意知C(A)=1,又A*B=1,所以C(B)=0或 C(B)=2,又x(x2+ar+2)=0中，x=0显然是一个解，即0e B,因此C(B)≥1，所以C(B)=2,所以x2+ax+2=0有两个 相等的实根且不为0,4=a2-8=0,a=±22，经检验符合题 意.所以S=-22,22{,所以C(S)=2.故选C 5.A解析：4=11,2,3,6，非空子集有15个. 当子集M为单元素集1,2,3,6时，“和睦数”分别 为1,2.3,6.和为12： 当子集M为双元素集11,2,11,3,1.6,12,3,2.6， 3,6时，“和膝数”分别为3,4,7,5,8.9，和为36： 当子集41为三元素集11,2,3,11,2,6,11,3,6,2,3,6 时，“和睦数”分别为4,7,8,7，和为26： 当子集M为四元素集{1,2,3,61时，“和膝数”为6+3-2+ 1=8. 故“和陸数”的总和为12+36+26+8=82故选A 6.BCD解析：对于A,因为MUN=xeQ1x≠1≠Q, 故A错误： 对于B,MUN=Q,M∩N=),M中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，故B正确： 对于C,设M={xlx≤1，x∈Q,N=xlx>1,xEQ,此时M 有最大元素1，N没有最小元素，满足(M,V)是一个戴德金 分割，故C正确： 对于D,如B选项，此时M没有最大元素，N没有最小元素， 满足(M,N)是一个戴德金分割，故D正确.故选BCD, 7(解：不纺令4=3，}此时3+子=3号清足要求 3 (2)证明：假设命题不成立，即元素a1,a均小于等于2，因 为a1>0,a>0,故可设0<a1<a2≤2，a1+a1=a,a2,两边同时 除以4，得1+=4，因为>1，所以4=1+>2，与 a d ≤2矛盾，不合要求，故假设不成立， 即元素1,2中至少有一个大于2. (3)解：存在，存在1个.理由：设正整数集A=a,a,a}为 “三元和谐集”，则，aa=a,+a2+g,不妨设a,<a<a,则 a1a2a3=a,+a2+0,<3a.解得a,42<3. 因为a1,m∈N”,故只有a1=1,a=2满足要求。 综上，A=1,2,3引满足要求，其他均不合要求， 即存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A= 11.2,3 8.D解析：因为A=B=2,3,所以了=2或7=3，所以=4 或=6，子2政号=3.所以y=1或)=号4e8={4。 .号)6.(6号)}代入y石*证得 点(4.1).(6，号)在该直线上，故(A©)nc={(4,1 (6,号)}故选D 9.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条 件(1)(2)即可，其中，条件(1)的含义是：集合G中任意两个 元素关于运算⊕的结果仍然是集合G的元素：条件(2)的含 义是：集合G中存在元素e,它与G中任何一个元素a关于 运算④满足交换律，且运算结果等于a.①中，G=非负整 黑白题009 数1，④为整数的加法，满足对任意a.beG,都有a④beG,且 存在e=0,使得a①0=0④a=a,所以①中的G关于运算④为 “融洽集”：②中，G=偶数，①为整数的乘法，若存在eeG, 使a①e=e①a=a,则e=1,与eeG矛盾，所以②中的G关于 运算④不是“融洽集”：③中，G={二次三项式|，④为多项式 的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式 所以③中的G关于运算④不是“融洽集”.综上，G关于运算 ⊕为“融洽集”的只有①.故答案为①. 10.BC解析：A选项：若=2y=1,雨乙.放整数集不是 “紧密集合”，A错误； B选项：根据“紧密集合”的性质，可知实数集是“紧密集 合”，B正确： C选项：集合1-1.0,1是“紧密集合”，故“紧密集合”可以 是有限集，C正确： D选项：集合A=-1.0,1是“紧密集合”，当x=1,y=-1 时，x-y=2A,D错误故选BC, 11,(1)解：当n=5时，M=1,2,…,5,则集合A可以为1,3， 5,11,2,5引，11,2,4，则所有的集合B为2,4,13,4， 3,51. (2)证明：记“对任意不相等的a,a,∈A,都有a,+a2A” 为条件①，记“对任意不相等的：，b2后B,都有b,b,B”为 条件②.由条件2得1eA.由2eB,3eB和条件②得2x3= 6￥B,即6∈A.由条件①得6-1=5￥A,即5eB,由条件② 得2×5=10庄B.即10∈A.由条件①得10-6=4A,即4E B.由条件②得2×4=8.B,即8∈A.由条件①得8+6=14 A,即14∈B.由条件①得8-1=7延A.即7∈B.由条件2 得2×7=14B,与14eB矛盾，所以14M,即n<14 第一章章末检测 1,D解析：由题意A=-1,0,1,B=0,1,3},可得AUB= {-1,0,1,3.故选D. 2.A解析：由y+1=x+y,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y 1,即x,y至少有一个为1，所以“y+1=x+y”的充要条件为 x,y至少有一个为1，故选A. 3.A解析：当x=6且y=6时.x+y=12,则“x=6且y=6”→ “x+y=12”,另一方面，当x+y=12时，可取x=5,y=7,则 “x=6且y=6”4“x+y=12”,因此，“x=6且y=6”是“x+y= 12”的充分不必要条件，故选A 4.C解析：因为A=0,1,a2,B={1,0.2a+3,若A=B,则 a2=2a+3,解得4=3或a=-1.又因为集合元素的互异性，所 以a≠-1，即a=3.故选C 5.C解析：根据题意，阴影部分为集合M的补集与集合N,集 合P交集的公共部分，即(C,M)∩(N∩P).故选C. 6.D解析：A={xeNI-1<x<3=1,2,因为A∩B=B,所 以BCA. 当a=0时，集合B=1xar+2=0l=☑，满足BCA: 当a0时集合B=a+2=0-{2},由BcAA 1,21得-2=1或-2=2.解得4=-2或4=-1 综上，实数a的取值集合为|-2，-1.0.故选D. 四易错提醒 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽 路a=0时，集合B=⑦满足BCA.而错解 必修第一册·RJ 7.B解析：因为>-2，所以t-2<21.则B≠.HmEA.3ne B,使得m<n成立，所以只需m<n,所以6<21，所以>3， 故选B. 8.A解析：集合11.2,3.4,5,6,7,8的子集个数为2，集合 11.2,3.4.5的子集个数为2，集合4.5,6.7.81的子集个 数为2，且11,2,3,4,5∩{4,5,6.7,8={4,51，其子集的 个数为2，则满足条件的集合A的个数为2”-(2+2- 22)=196 9.ABD解析：对于A:当x=10时，x2-2x-3=77>0,所以 3xeR,x-2r-3>0为直命题，故A正确： 对于B:命题”x∈R.1<y≤2”的否定是“Vx∈Ry≤1或 y>2”,故B正确： 对于C:由x≥2且y≥2，可以推出x2+y2≥4，故“x≥2且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分条件，故C错误： 对于D:命题“HxeR,x2>0”的杏定为3xeR,x≤0，显然 0=0,则命题3x∈R.x2≤0为真命题，故D正确.故选ABD, 10.ABC解析：xEM是xEA的充分条件，且xEA是xeN 的充分不必要条件，M二A,AN,观察选项可知选项A, B.C符合要求故选ABC 11,ACD解析：A选项.A={1.2,则}(a.b)Ia∈A.b∈A= 1(1,1),(1,2),(2,1),(2.2),通过分析2可知，(1,1)， (2,2)∈B,分析③可知，(1,2)和(2,1)只能二选一或两者 均不能在集合B中，取B=(1,1),(2,2)1,或B=(1 1),(2,2),(1,2),或B={(1,1),(2,2),(2,1)1,故满足 是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个，A正确： B选项，集合B=1(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (1,2)∈B且(2,1)=B,但1≠2，故②不成立，故B错误： C选项，4=11,2,3，通过分析②可知.(1,1)，(2,2)，(3， 3)eB,结合③和④，可再添加一个元素，即从(1,2)，(2， 1),(1,3),(3,1).(2,3),(3,2)中任选一个，即取B= 1(1,1),(2.2),(3.3),(1,2),或B=(1,1),(2,2). (3.3),(1,3)1.或B=1(1.1),(2,2),(3,3).(2,3){,或 B={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),或B=1(1,1),(2,2) (3,3),(3,1)1,或B=1(1,1),(2,2),(3,3),(3,2)1,共 6个，C正确： D选项.R'=1(a.b)IaeR.b∈R.a≤b,满足①2，a. beR,若(a,b)∈R',则a≤b且b≤a,所以a=b.满足3. Ha,b,ceR,若(a,b)∈R'且(b,c）∈R,则a≤b,b≤e,所 以a≤e,则(a,c）eR',满足④，故R'=(a,b)laeR,be R,a≤b是实数集R的一个“偏序关系”，D正确.故 选ACD. 12.3解析：当1=2时，则2-4+5=4-8+5=1，故不符合题 意：当2-41+5=2时.则2-4+3=0，化简可得(1-3)(1- 1)=0,1=3(1=1不符合题意舍去).故答案为3. 13.2解析：由题意，如图，因为32人既参观了部湖公园又参 观了石鼓书院，24人三个地方都参观过，所以同时参观鄙 湖公园和石技书院.但未参观船山书院的有32-24= 8(人)， 同理，同时参观石鼓书院和船山书院，但未参观鄙湖公园 的有40-24=16（人）. 同时参观郡湖公园和船山书院，但未参观石鼓书院的有 30-24=6(人). 因为38人参观了露湖公园，48人参观了石鼓书院，48人 参观了船山书院， 所以只参观部湖公园的有38-24-6-8=0（人），只参观石 鼓书院的有48-24-16-8=0（人），只参观船山书院的有 黑白题010