1.5 全称量词与存在量词&1.5 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件 是-2=1，即m=-2 14.A解析：若命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是真命 题，则|xlx>m≤xx≥2，则m的取值范围是m≥2 .·命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命题，则m 的取值范围是m<2.故选A. 15.1-1.0,1}解析：依题意.A=}x1x2-4=0=2,-2,若 a=0,则B=☑.满足x∈A是x∈B的必要不充分条件.当 a0时，公={=名}，由于eA是：∈B的必要不充 分条件，所以2-2或2：-2，解得a=1或a=-1.综上所 述，a的所有可能取值构成的集合为-1.0.1.故答案为 -1.0.1. 16.解：(1)MnP={x15<x≤8的充要条件是-3≤a≤5，所以实 数a的取值范围是1al-3≤a≤5. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是MnP= x5<x≤8的充分不必要条件如：a=-3.(答案不唯一) (3)若a=-5,显然MnP= |xl-5≤x<-3或5<x≤8}，则 a=-5是MnP=|xl5<x≤8的一个必要不充分条件.如图。 结合数轴可知a<-3时符合题意，则实数a的取值范围可以 是{a|a<-3,(答紫不唯一) 巴重难点拨 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上， 解题时霜注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之问的关 系，然后根据集合之何的关系列出关于参数的不等式（或不 等式组)求解 (2)要注意端点的检验.尤其是利用两个集合之何的关系求解 参数的取值范国时，不等式是否能够取等号决定端点的取舍， 处理不当容易出现蒲解或增解的现象， 黑题应用优 1,A解析：由MUN=N,可知MCN.若x=2,则M=11,2,所 以MCN,故充分性满足：若MCN,则x=2或x=3,显然必 要性不满足.所以“x=2”是“MUN=N”的充分不必要条件 故选A 2.ACD解析：依题意，“x<k或x>+2”是“-4<x<1”的必要不 充分条件，所以≥1或k+2≤-4，解得≥1或k≤-6.所 以ACD选项正确，B选项错误，故选ACD. 3,B解析：，AUB=C,且B不是A的子集，，若x∈A,则x C,但若xEC,则xeA或xeB,∴“xEC”是“xeA"的必要不 充分条作故选B 4,A解析：由+1=xy,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y= 1,即x,y至少有一个为1，所以“)+1=x+y”的充要条件为 x,y至少有一个为L,故只有A符合，其他选项均不符.故 选A 5.BD解析：由已知得p→→s→g:9=r一s,p是g的充分条 件p是s的充分条件：r是q的充要条件：s是g的充要条件 故选BD. 6.必要不充分解析：依题意，没有预约，一·定不能游园，即游 园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可 能不游园，所以“预约”是“游圆”的必要不充分条件放答案 为必要不充分. 7.(1)④(2)①解析：由题意有：①ab=0一a=0或b=0,即 参考答案 a,b至少有一个为0：②a+b=0=a.b互为相反数.则a,b可 能均为0，也可能为一正数一负数：③a(a2+b2)=0→a=0,b 为任室实数：国>0-化0火。即a6都不为a综上 可知.(1)使a,b都不为0的充分条件是④：(2)使a,b至少 有一个为0的充要条件是①. 8.充分不必要解析：对于实数.b.依题意，a≥[a],(6〉≥ 6,面[a]=(),因此a≥6，若a≥6，如取a=了b=子有 [a]=0,(b)=1,显然[a]<(b),所以“[a]=(b)”是“a≥b” 的充分不必要条件 压轴挑战 C解析：因为此数为小于5的正整数，所以A=x10<△x<2= {0<子}因为：GB是：EA的必要不充分条作，eC是 x后A的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子 集所以子≤5且子号餐得号≤4c3.所以4“表示的数字 是1或2，故C正确.故选C 四方法总结 充分、必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B (I)若ACB,则p是g的充分条件，9是P的必要条件。 (2)若A年B,则P是g的充分不必要条件，9是p的必要不充 分条件。 (3)若A=B,则p是9的充要条件 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故 A错误： 对于B,含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误： 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C正确： 对于D,含有量词任意，为全称量词命题.故D错误故选C 2.AC解析：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可以 判晰选项AC是全称量词命题，BD是存在量词命题，故 选AC 3.C解析：与“Vx∈R.x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数 x.使得x2+1<1成立”故选C 4.x∈Rx2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根"是 全称量词命题，故可改写为VxeR,x2+1≠0. 5.BCD解析：对于A,因为VxeR,x≥0，可得x+2>0.即A 为真命题： 对于B,易知当5x+1=0时=写不是整数，即不存在xe Z,5x+1=0,所以B为假命题： 对于C,易知当x=±1时，x2-1=0,因此C为假命题： 对于D.解不等式1<4r<3可得}<子，显然在取值范围 .3 内不存在整数，即不存在x∈Z,1<4r<3,可得D为假命题 故选BCD. 6.④解析：若x=0,则x3=0,x2=0,此时x=x2,所以命题① 为假命题： 可以被2整除的整数，末位数字还可以是0,4等，命题②为 黑白题007 假命题： 为假命题： 平行四边形是四边形且对角线互相平分，所以命题④是真 命题 故答案为④ 7.解：(1)“任意实数的平方大于0用符号语言表示为Vxe R.x2>0. 当x=0时，0=0.不合题意.所以廿x∈R,x>0为假命题. (2)“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为 3x∈R,x2=x当x=1时，12=1，所以3xeR,x2=x为真 命题. (3)“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为 Vx,y∈Q,y∈Q:当x,y∈Q时，根据有理数的性质知y∈ Q,所以Hx,yeQ,y∈Q为真命题. 8.ABD解析：根据题意可知Hxex1≤x≤3引，不等式x≥ 恒成立，可得a≤1，根据选项可知实数a的值可以是0， 1,-2.故选ABD. 9.B解析：由题意知命题“存在xn∈R,使x2-2x-m=0”是真 命题，即x2-2x-m=0有实数解，故4=4+4m≥0，÷.m≥-1， 即实数m的取值范围是mm≥-I,故选B. 10.k≤-1解析：因为x2-1≥-1，要使“k≤x2-1恒成立”，只 需k≤(x2-1),因为x2-1的最小值为-1，即k≤-1，故答 案为≤-1 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 白题 基础过关 1,D解析：由题意可知，存在量词命题“3n∈N,使得 >2n2+1”的否定形式为全称量词命题“HneN”,使得 n≤2n+1”.放选D. 2.A解析：由题意可知l,命题“Vn∈Z,n∈Q”的否定是 “3n后Z,n￥Q”.故选A 四重难点拨 L1.否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全 称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词：二是要否 定结论 2.判定全称量词命题“VxEM,p(x)”是真命题，需要对集 合M中的每一个元素x,证明(x)成立：要判断存在量词命题 是真命题，只要在限定集合内找到一个x=x0,使(xo)成立 即可， 3.C解析：易知命题“小数都是无理数”的否定为“行些小数 不是无理数”故选C 4.a.b,c都是非负数解析：命题：“a,b,c中至少有一个负数 为存在量词命题，所以其否定形式是“a,b,c都是非负数”， 5.CD解析：当x=0时，2x+3≤0不成立，故p是假命题 故A错误；由全称量词命题的否定可知，P:Hx∈R,2x+3≤0 的否定为7P:3xeR,2x+3>0,故D正确，B错误：p是真 命题，故C正确.故选CD. 6.AC解析：对于A选项，原命题的否定为xeR,-+4≥ 1 112 0,是全称量词命题x+4(x2)≥0，心命题的否 定为真命题，A正确.对于B选项，原命题为全称量词命题， 其否定为存在量词命题，B错误对于C选项，原命题的否定 为VxeR,x2+2x+2≠0：x2+2x+2=(x+1)2+1≥1， 必修第一册·RJ .x2+2x+2≠0恒成立，则题的否定为真命题.C正确.对于 D选项，原命题的否定为对于任意实数x,都有x+1≠0：当 x=-1时，x+1=0,,命题的否定为假命题，D错误故选AC 7.解：(1)因为p:3xeR,x2=-1,所以命题p的否定：HxeR, x2≠-1， 显然当xeR时，x≥0，x2≠-1，命题p的否定为真命题 (2)因为p:不论m取何实数，关于x的方程m'x2+x-1=0必 有实数根，所以命题p的否定：存在实数m,关于x的方 程mx2+x-1=0没有实数根.当m=0时，方程x-1=0有实 根，当m≠0时，方程m2x2+x-1=0的根的判别式4=1+4m2> 0.故命题p为真命题，命题D的否定为假命题 (3):有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的 平行四边形的对角线都不相等，则命题P是真命题，命题 的否定是假命题 重难聚焦 8.B解析：因为p为假命题，所以p为真命题，则不等式 x2+2x->0在R上恒成立，即a<x2+2x在R上恒成立.令y= x2+2x,则y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1，所以a<-1.故选B. 9.1aa>1解析：命题：“3x∈R,x2+2x+a=0”为假命题，则 有Hx∈R.x2+2x+a≠0，得A=4-4a<0,解得a>1,所以实数 a的取值范围是ala>1.故答案为ala>1. 1.5 阶段综合 黑题 阶段强化 1.D解析：P:x∈N,√x+1∈N的否定为3。∈N, √+IN故选D. 2.B解析：对于命题P,当x=1时，x2=x,所以p为假命题，则 p为直命题对于命超g,当宁时10，所以9 为真命题综上可知，一p和q均为真命题.故选B. 3.B解析：对于①：因为命题中含有量词“所有的”，故命题 “所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①带误： 对于②：因为命题含有量词“任意”，故命题“Hx∈R,x2+2< 0”是全称量词命题，所以②正确： 对于③：命题“3xeR.x2+4x+4≤0”的否定是“Vx后R,x2+ 4x+4>0”,所以③错误正确的命题个数是1.故选B. 4.meN,1'+2+…+n3=(1+2++n)2解析：观察题中式 子可知，一个含有量词的命题是Vn后N”,1'+2+…+ n3=(1+2++n)3 5.a<3解析：命题“3meR,AnB≠⑦"为假命题，则其否定 “HmeR,AnB=☑”为真命题 当a<0时，集合A=☑.符合A门B=⑦.当a≥0时.因为m2+ 3>0,所以由YmeR,A∩B=☑，得a<m2+3对于任意meR 恒成立，又m2+3≥3，所以0≤a<3.综上，实数a的取值范围 为a<3.故答案为a<3. 6.解：(1)由命题p为其命题可得ACB,且B≠☑，则 -3m+1≤m-1, -3m+1≤1，解得m≥8.即实数m的取值范围为 m-1≥7， mlm≥8. (2)~q:HxeB,xEA是假命题，∴7q:3x∈B,x∈A是直 -3m+1≤m-1, 命题，即AnB≠☑， -3m+1≤7， 解得m≥2.即实数m m-1≥1， 的取值范围为m1m≥2. 黑白题008 四重难点拨 1.由命题真假求参数的方法步廉： (1)求出每个命愿是真命题时参数的取值范围： (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范国 2.全称量词命题可转化为恒成立何题： 舍量词的命题中参数的取值范温，可根据命题的含义，利用函 数的最值解决。 压轴挑战 解：(1)由题意得，：3x∈x4≤x≤9，x≥a+4,为真命题，则 9≥a+4,即a≤5，故一p为真命题时，a的取值范围为ala≤5. (2)当p为真命题时，a+4>9.即a>5,所以p为假命题时，a≤5： 当g为真命题时，a+4>0,即a>-4,所以g为假命题时，a≤-4： 若P,q同时为假命题，则a≤-4， 所以若p,9至少有一个真命题时，a>-4故实数a的取值范围 是1ala>-4. 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 1,C解析：因为A∩(C.B)=2,2eA,所以4+2p-6=0.得到 p=1. 当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3∈B,故 92-0,得到-号所以9=1号片故选C 11 2.ala≤91解析：因为AC(A∩B),所以A二B 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑，满足题意： 当2a+1≤3a-5,即a≥6时.则2+1≥3，解得1≤a≤9.则 3a-5≤22. 6≤a≤9.综上，a≤9.所以A二(AnB)的充要条件为a≤9. 故答案为a≤9. 3.(1)证明：设x∈A,x+a=x,将x=x0代入方程(x2+a)2+ a=x,等式成立，是方程(x2+a)+a=x的解，.xo∈B, .ACB. (2)解：A≠☑，.x2-x+a=0有实根，.4=1-4a≥0， u≤4 集合B为方程(x2+a)2+a=x,即x+2ax2-x+a2+a=0的根 的集合 由(1)的结论A二B,且集合A为方程x2-x+a=0的根的 集合， ,.因式x+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a, 由多项式的除法得x+2ax2-x+a2+a=(x2-x+)(x2+x+a+1). A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0 的根， 当x2+x+a+1=0无实根时，4=1-4(a+1)<0,解得a>4 3 当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时 ①当x2+x+a+1=0有两个不等实根时，其根不可能与x2-x+ a=0的根相同否则设这两个不等实根为m,n,则 m+n=-，无解)小： 八m+n=1 ②当x2+r+a+1=0有两个相等实根时.即4=1-4(a+1)= 0,即a=-3时，方程的根为x=-】 ,此根刚好是x2-x+a=0 参考答案 的根，满足条件综上0的取值范隅是{口-<a≤} 4.C解析：由题意知C(A)=1,又A*B=1,所以C(B)=0或 C(B)=2,又x(x2+ar+2)=0中，x=0显然是一个解，即0e B,因此C(B)≥1，所以C(B)=2,所以x2+ax+2=0有两个 相等的实根且不为0,4=a2-8=0,a=±22，经检验符合题 意.所以S=-22,22{,所以C(S)=2.故选C 5.A解析：4=11,2,3,6，非空子集有15个. 当子集M为单元素集1,2,3,6时，“和睦数”分别 为1,2.3,6.和为12： 当子集M为双元素集11,2,11,3,1.6,12,3,2.6， 3,6时，“和膝数”分别为3,4,7,5,8.9，和为36： 当子集41为三元素集11,2,3,11,2,6,11,3,6,2,3,6 时，“和睦数”分别为4,7,8,7，和为26： 当子集M为四元素集{1,2,3,61时，“和膝数”为6+3-2+ 1=8. 故“和陸数”的总和为12+36+26+8=82故选A 6.BCD解析：对于A,因为MUN=xeQ1x≠1≠Q, 故A错误： 对于B,MUN=Q,M∩N=),M中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，故B正确： 对于C,设M={xlx≤1，x∈Q,N=xlx>1,xEQ,此时M 有最大元素1，N没有最小元素，满足(M,V)是一个戴德金 分割，故C正确： 对于D,如B选项，此时M没有最大元素，N没有最小元素， 满足(M,N)是一个戴德金分割，故D正确.故选BCD, 7(解：不纺令4=3，}此时3+子=3号清足要求 3 (2)证明：假设命题不成立，即元素a1,a均小于等于2，因 为a1>0,a>0,故可设0<a1<a2≤2，a1+a1=a,a2,两边同时 除以4，得1+=4，因为>1，所以4=1+>2，与 a d ≤2矛盾，不合要求，故假设不成立， 即元素1,2中至少有一个大于2. (3)解：存在，存在1个.理由：设正整数集A=a,a,a}为 “三元和谐集”，则，aa=a,+a2+g,不妨设a,<a<a,则 a1a2a3=a,+a2+0,<3a.解得a,42<3. 因为a1,m∈N”,故只有a1=1,a=2满足要求。 综上，A=1,2,3引满足要求，其他均不合要求， 即存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A= 11.2,3 8.D解析：因为A=B=2,3,所以了=2或7=3，所以=4 或=6，子2政号=3.所以y=1或)=号4e8={4。 .号)6.(6号)}代入y石*证得 点(4.1).(6，号)在该直线上，故(A©)nc={(4,1 (6,号)}故选D 9.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条 件(1)(2)即可，其中，条件(1)的含义是：集合G中任意两个 元素关于运算⊕的结果仍然是集合G的元素：条件(2)的含 义是：集合G中存在元素e,它与G中任何一个元素a关于 运算④满足交换律，且运算结果等于a.①中，G=非负整 黑白题0091.5全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 白题 基础过关 限时：20min 题组1全称量词命题与存在量词命题的理解 ③3x∈R,x2-x+1<0: 1.*(2025·安微毫州高一月考)下列命题中 ④存在一个四边形，它的对角线互相平分 是存在量词命题的是 ( 上述命题中，真命题的序号为 A.所有能被3整除的整数都是奇数 7.(2024·广东深圳高一月考)用符号语言 B.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 表示下列含有量词的命题，并判断真假： C.有的三角形是等边三角形 (1)任意实数的平方大于0： D.任意两个等边三角形都相似 (2)有的实数的平方等于它本身： 2.(多选)(2025·广东广州高一月考)下列 (3)两个有理数的乘积仍为有理数， 命题中是全称量词命题的是 A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.3x∈R,x2+1=0 3.(2025·山东菏泽高一期中)下列命题与 “HxeR,x2+1≥1”的表述意义一致的是 ( A.有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立 B.有些实数x,使得x2+1≥1成立 题组3 根据命题的真假求参数的值或取值 C.不存在实数x,使得x2+1<1成立 范围 D.有无数个实数x,使得x2+1≥1成立 8.·(多选)(2025·福建福州高一月考)已知 4.将“方程x2+1=0无实根”改写成含有一个 命题p:Hx∈{x1≤x≤3，x-a≥0，若命题p 量词的命题的形式，可以写成 是真命题，则实数a的值可以是 ( 题组2全称量词命题与存在量词命题的真假 A.0 B.1 C.2 D.-2 5.(多选)(2025·湖南邵阳高一期中)下列 9.·■(2025·黑龙江绥化高一月考)若命题 四个命题是假命题的是 ( “存在xoeR,使x2-2x-m=0”是真命题，则实 A.Hx∈R,x+2>0 B.3x∈Z,5x+1=0 数m的取值范围是 ( C.xeR,x2-1≠0 D.3xeZ,1<4x<3 A.{mlm≤-1 B.{mlm≥-1 6.给出下列命题： C.{ml-1≤m≤1 D.{mm>-1} ①HxeN,x2>x2; 10.*(2025·湖南湘潭高一月考)“Hx∈R, ②所有可以被2整除的整数，末位数字都 都有k≤x2-1恒成立”是真命题，则实数k的 是2： 取值范围是 必修第一册·RJ黑白题014 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 白题基础过美 限时：20min 题组1含有量词命题的否定 C.3xeR,x2+2x+2=0 1.·(2025·湖南长沙高一月考)命题“3n∈ D.至少有一个实数x,使x+1=0 N°，使得n>2n2+1”的否定形式是 7.(2024·山西朔州怀仁一中高一月考)写 A.3neN',使得n<2n2+1 出下列命题p的否定，判断真假并说明理由。 B.HneN',使得n<2n2+1 (1)p:3xeR,x2=-1: C.3neN,使得n≤2n2+l (2)p:不论m取何实数，关于x的方程mx2+ D.HneN,使得n≤2n2+1 x-1=0必有实数根： 2.*(2025·四川成都高一期中)命题“Hne (3)P:有的平行四边形的对角线相等 Z,n∈Q”的否定是 ( A.3n∈Z,nQ B.HneZ,n年Q C.3n住Z,n在Q D.Hn住Z,neQ 3.(2025·江西抚州高一期中)命题“小数 都是无理数”的否定为 A.所有小数都不是无理数 B.有些小数是无理数 C,有些小数不是无理数 D.所有小数都是无理数 4.命题：“a,b,c中至少有一个负数”的否定 形式是 题组2含有量词命题的否定的真假判断 5.·(多选)(2025·广东湛江高一期中)已知 命题p:Vx∈R,2x+3≤0，则下列说法正确的是 重难聚焦 ( 题组3含有量词命题的否定的应用 A.p是真命题 8.已知命题p:x∈R, B.7p:Hx∈R,2x+3>0 x2+2x-a>0.若p为假命题，则 C.一p是真命题 实数a的取值范围是( D.7p:3x∈R,2x+3>0 A.a>-1 B.a<-1 6.*(多选)(2024·河北衡水高一月考)下列命 C.a≥-1 D.a≤-1 题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 9.*(2025·江苏无锡高一月 考)已知命题：“3xeR,x2+2+ 1 A.3xER.40 a=0”为假命题，则实数a的取值 范围是 B.所有的正方形都是矩形 第一章黑白题015 1.5阶段综合 黑题阶段强化 限时：30min 1.(2025·江西上饶高一月考)已知命题P:5.鞋(2025·河南南阳高一月考)已知集 VxeN,√R+IeN,则一p是 合A={xI0≤x≤a},集合B={xlm2+3≤ x≤m2+4,如果命题“3m∈R,A∩B≠☑”为 A.3xoeN,√x2+1eN 假命题，则实数a的取值范围为 B.Hx。eN,√x2+IeN 6.(2025·湖南衡阳高一月考)已知集 C.3xoeN,√+IeN 合A={xl1≤x≤7}，B={xl-3m+1≤x≤m- D.3xeN,√x+1￥N 1{,且B≠☑ 2.(2025·陕西成阳高一期中)已知命题p: (1)若命题p:Hx∈A,x∈B是真命题，求实 Hx>0,x2>x,命题q:3x<0,x3+1>0,则( 数m的取值范围： A.p和q均为真命题 (2)若命题q:Hx∈B,x年A是假命题，求实 数m的取值范围。 B.一p和q均为真命题 C.p和一q均为真命题 D.一p和一g均为真命题 3.(2025·广东汕头高一期中)下列命题正 确的个数是 ( ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词 命题： ②命题“HxeR,x2+2<0”是全称量词命题： 压轴挑战 ③命题“3x∈R,x2+4x+4≤0”的否定是 禁(2025·江西宜春高一月考)已知命题p: “Vx∈R,x2+4x+4≥0”. Hxe{xl4≤x≤9，x<a+4:命题q:3x∈R, A.0 B.1 x2<a+4. C.2 D.3 (1)若一p为真命题，求实数a的取值范围： 4.(2025·浙江温州高一月考)根据下述事 (2)若命题p和命题g至少有一个真命题，求实 实，写出一个含有量词的命题是 数a的取值范围. 13=12, 13+2=(1+2)2 13+23+32=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4) 必修第一册·RJ黑白题016