1.4 充分条件与必要条件-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件国1.4.2充要条件 白题 基础过美 限时：40min 题组1充分条件、必要条件与充要条件的判定 5.*(2024·四川绵阳高一月考)若集合P= 1.(2025·河北唐山高一期中)甲、乙、丙三 |1,2,3,4},Q={x10<x<5,则“xeP”是“x∈ 人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有 Q”的 () 1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的( A.充分不必要条件 A.充要条件 B.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2025·浙江宁波余姚中学高一月考) 2.*(2025·广东东莞高一期中)“x=5”是 A∩B≠☑是ACB的 () “x=5”的 A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.北师教材变式(2025·山东青岛高一月考)》 3.(2025·湖南邵阳高一月考)荀子日：“故 “y=0”是“x2+y2=0”的 条件 不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江 (用“充分不必要”“必要不充分”或“充要” 海”这句来自先秦时期的名言.此名言中的 填空) “积跬步”是“至千里”的 题组2充要条件的证明 A.充分不必要条件 8.·苏教教材变式(2025·江苏南京高一月考) B.必要不充分条件 求证：“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根 为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.人A教材变式(2025·广东肇庆高一月 考)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则 “△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠e2”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第一章黑白题011 9.(2025·安徽淮南高一月考)已知ab≠0， 题组4充分条件、必要条件与充要条件的应用 求证：a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是 14.·(2025·湖北十堰高一月考)若命题 a-b=0.提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) “x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命 题，则m的取值范围是 A.m<2 B.m≤2 C.m>2 D.m≥2 15.(2025·江苏徐州高一月考)已知集 合A={x1x2-4=0,B={x1ax-2=0,若 x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 16.*已知集合M={xlx<-3或x>5},P=x a≤x≤8|. 题组3充分条件、必要条件与充要条件的探索 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 10.(2025·广东广州高一期中)若集合A= {x5<x≤8}的充要条件： {xlx>0,下列各式不是“a∈A”的充分不必 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= 要条件的是 {x5<x≤8}的一个充分不必要条件： A.a=2 B.a>1 (3)求实数a的一个取值范围，使它成为 C.0<a<1 D.a≥0 M∩P=|xI5<x≤8的一个必要不充分 11.(2025·陕西西安高一月考)设计如图 条件 所示的四个电路图，条件P:“灯泡L亮”，条 件g:“开关s闭合”，则p是g的必要不充分 条件的电路图是 ( D 12.(多选)(2025·浙江温州高一月考)关 于x的方程ax2+2x+a=0恰有一个实数根的 充分不必要条件可以是 ( A.a<2 B.a=1或a=-1 C.a=0或a=±1 D.a=0 I3.·函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 必修第一册·RJ黑白题012 黑题 应用提优 很时：25min 1,*(2025·福建泉州高一月考)已知x∈R,6.马上进人红叶季，香山公园的游客量将有 若集合M=1,x,N=|1,2,3,则“x=2”是 所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的 “MUN=N"的 ( 措施，需要通过提前预约才能进入公园.根据 A.充分不必要条件 以上信息，“预约”是“游园”的 B.必要不充分条件 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” C.充要条件 或“既不充分也不必要”) D.既不充分也不必要条件 7.(2024·辽宁阜新高一月考)若a,b都是 2.(多选)(2025·山东青岛高一月考)若 实数，试从①ab=0:②a+b=0:③a(a2+b2)= “x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条 0:④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序 件，则实数k的值可以是 ( A.1 B.-5 号填空 C.-6 D.-8 (1)使a,b都不为0的充分条件是 3.(2025·河北石家庄高一月考)若非空集 (2)使a,b至少有一个为0的充要条件 合A,B,C满足AUB=C,且B不是A的子集，则 是 8.#设x为任一实数，[x]表示不超过x的最 A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 大整数，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 [2.1]=2,[-2.1]=-3,(0.5〉=1，-0.5〉=0， C.“x∈C”是“x∈A"的充要条件 那么“[a]=(b)”是“a≥b"的 条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要 压轴挑战 条件 ”(2025·山东日照高一月考) 4.(2025·江苏淮安淮阴中学高一期中)设 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜 x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为( A.x,y至少有一个为1 数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A={x B.x,y都为1 0<△x<2,B=1x1-3≤x≤5，C={x0<x< C.x,y都不为1 D.x2+y2=2 3},然后他们三人各用一句话来正确描述“4~ 5.(多选)(2025·浙江绍兴高一期中)已知 表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是 P,9都是r的充分条件，s是r的必要条件， 甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5 9是s的必要条件，则 ( 的正整数：乙：x∈B是x∈A的必要不充分条 A.P是g的既不充分也不必要条件 件：丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“△” B.p是s的充分条件 表示的数字是 ( C.r是g的必要不充分条件 A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3 D.s是q的充要条件 第一章黑白题013m<3. 当两个正整数是1,5时，则2m-2<1,解得1<m<2: 3 5<m+4≤6， m<3, 当两个正整数是5,6时，则1≤2m-2≤4，解得2<m<3. 6<m+4<7, 3 综上，m的取值范围是{m1<m<2或2<m<3 12.解：(1)由A=x11≤x≤3，B=x1lx-31<11=xl-1<x 3<1|={xl2<x<4},故AnB=x|2<x≤3引.，B={xlx≤2 或x≥4，故AUC,B=|xlx≤3或x≥4. (2)由BUC=B得CSB.当C=⑦时.2a>a+2.则a>2满足 12n≤u+2. 题意.当C≠时.则{2a>2, 解得1<a<2.综上可得1< a+2<4 a<2或a>2. 12a≤a+2. 3 (3)由A∩C≠☑得 2a≤3，解得-1≤a≤2 a+2≥1. 压轴挑战 1.AB解析：选项A,由题可知，P因1川=z:=x,xeP=P 故正确： 选项B,P⑧Q=1zlz=xy,x∈P,y∈Q1,所以(P⑧Q)⑧R= ala=b,z∈(P☒Q).b∈R}=fala=xb.xeP.y∈Q.be R,同理P⑧(Q⑧R)={ala=xh,xeP,y∈Q,beR,所以 (P②Q)⑧R=P☒(Q⑧R),故选项B正确： 选项C,P☒0=：=x×0,xeP=01,故当集合P中没 有元素0时，选项C错误： 选项D,由题可知P⑧Q=1::=xy,x∈P,y∈Q!≠☑，但是 P∩Q可能为空集，所以选项D错误故选AB 2.C解析：由题意可知，A,UAUA,=xeN”11≤x≤9}= 11.2,3,4,5,6,7,8,9,4,A2.A各有3个元素且不重复，先 考虑最小值为1,2,3，不妨设1EA1,2后A2,3∈A,9EA,则 剩余数中最大为8，所以可以令8eA,所以A,=1,4, 5引，A2=2,6,71或者A,=11,6,7,42=12,4.51,此时 M+M,+M、取得最小值，此时最小值为1+2+3+5+7+9=27. 故选C. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件+1.42充要条件 白丽基础过关 1.B解析：若甲是冠军，则乙不是冠军：若乙不是冠军，则甲 是冠军或丙是冠军，所以“甲是冠军“是“乙不是冠军”的充 分不必要条件，故选B. 2.C解析：由x=5,得x=5,所以“x=5”是“√x=√5”的充要 条件.故选C 3.B解析：“积胜步”不一定至千里”，但“至千里”必有“积 生步”，“积胜步“是“至千里”的必要不充分条件故选B. 4.A解析：若“△ABC不是直角三角形”，则“a2+b≠c2”,所 以充分性成立.若“a2+≠c2”,则角C不为直角，有可能 角A或角B是直角，所以必要性不成立，“△ABC不是直角 三角形”是“a2+b2≠c2”的充分不必要条件故选A 5.A解析：VxeP,0<x<5,所以xeQ,故充分性成立：x∈ Q,x∈P不一定成立，故必要性不成立，所以“x∈P是“x∈ Q”的充分不必要条件故选A. 必修第一册·RJ 6.D解析：若A∩B≠☑，如A=1,2{.B=1.满足A门B 11|≠☑.但不满足A二B.若A二B,如A=☑，B=111,满 足A二B,但不满足A∩B≠).所以A∩B≠⑦是ACB的既 不充分也不必要条件.故选D. 7.必要不充分解析：由灯=0，可得x=0或y=0或x=y=0: 由x+y2=0,可得x=y=0. 显然，“x2+y2=0”可以推出“xy=0”,即必要性成立：而“xy= 0”不可以推出“x2+y2=0”,即充分性不成立，所以“y=0 是“x2+y2=0”的必要不充分条件.故答案为必要不充分. 四重难点拨 充要条件的两种判断方法： (1)定义法：根据p一q,9=p进行判斯， (2)集合法：根据使P,9成立的对象的集合之回的包含关系进 行判断 8.证明：必要性：若ax+x+e=0有一个根为2，则x=2满足方 程，即4a+2b+c=0:充分性：若4a+2+c=0,则a×22+b×2+c= 0,即x=2满足方程x2+x+c=0,则关于x的方程2+ x+e=0有一个根为2.综上，命题得证 9.证明：充分性： 若a-b=0,则a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+2)=0,即 充分性成立： 必要性： 若a2-2m2b+2ab2-b2=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2 ab+b2). 、则(a-b)(a2-b+b)=0,又2-b+b2=气a-号）+3站 4 由b≠0，得a≠0且6≠0，即(a-2 /≥0，且 >0 b2362 因此a2-ah+=(a-名）广+3普>0.则a-6=0,即必要性 成立， 所以a3-2ab+2ab-b=0成立的充要条件是a-b=0. 10.D解析：对于A,:a=2→a∈A,aeA共a=2.∴.a=2是 aEA的充分不必要条件： 对于B,:a>1→a∈A,a∈A少a>1,.a>1是a∈A的充分 不必要条件： 对于C.,0<a<l→aeA,a∈A0<a<l,,0<a<1是a∈A 的充分不必要条件： 对于D,.n=0共a∈A,aEA→a≥0，a≥0是aEA的必 要不充分条件故选D 11.A解析：对于A,灯泡L亮，可能是S,闭合，不一定是S闭 合，当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是g的必要不充分条 件，A正确：对于B,由于S和L是串联关系.故灯泡L亮必 有S闭合，S闭合必有灯泡L亮.即p是g的充婴条件， B错误：对于C,灯泡L亮，则开关S,和S必都闭合：当开 关S闭合S,打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要 条件，C错误：对于D,灯泡L亮，与开关S闭合无关，故P 是g的既不充分也不必要条件，D错误故选A 12.BD解析：若a=0,则原方程为x=0,恰有一个实数根 符合： 若a≠0，则△=4-4a2=0,故a=±1， 故关于x的方程a2+2x+a=0恰有一个实数根的等价条件 为a=0或a=±l,ABCD四个选项中，只有BD对应的选项 中的元素构成的集合为0，±1的真子集，故选BD. 13.m=-2解析：由于二次函数的对称轴为直线x一受，所 黑白题006 以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件 是-2=1，即m=-2 14.A解析：若命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是真命 题，则|xlx>m≤xx≥2，则m的取值范围是m≥2 .·命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命题，则m 的取值范围是m<2.故选A. 15.1-1.0,1}解析：依题意.A=}x1x2-4=0=2,-2,若 a=0,则B=☑.满足x∈A是x∈B的必要不充分条件.当 a0时，公={=名}，由于eA是：∈B的必要不充 分条件，所以2-2或2：-2，解得a=1或a=-1.综上所 述，a的所有可能取值构成的集合为-1.0.1.故答案为 -1.0.1. 16.解：(1)MnP={x15<x≤8的充要条件是-3≤a≤5，所以实 数a的取值范围是1al-3≤a≤5. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是MnP= x5<x≤8的充分不必要条件如：a=-3.(答案不唯一) (3)若a=-5,显然MnP= |xl-5≤x<-3或5<x≤8}，则 a=-5是MnP=|xl5<x≤8的一个必要不充分条件.如图。 结合数轴可知a<-3时符合题意，则实数a的取值范围可以 是{a|a<-3,(答紫不唯一) 巴重难点拨 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上， 解题时霜注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之问的关 系，然后根据集合之何的关系列出关于参数的不等式（或不 等式组)求解 (2)要注意端点的检验.尤其是利用两个集合之何的关系求解 参数的取值范国时，不等式是否能够取等号决定端点的取舍， 处理不当容易出现蒲解或增解的现象， 黑题应用优 1,A解析：由MUN=N,可知MCN.若x=2,则M=11,2,所 以MCN,故充分性满足：若MCN,则x=2或x=3,显然必 要性不满足.所以“x=2”是“MUN=N”的充分不必要条件 故选A 2.ACD解析：依题意，“x<k或x>+2”是“-4<x<1”的必要不 充分条件，所以≥1或k+2≤-4，解得≥1或k≤-6.所 以ACD选项正确，B选项错误，故选ACD. 3,B解析：，AUB=C,且B不是A的子集，，若x∈A,则x C,但若xEC,则xeA或xeB,∴“xEC”是“xeA"的必要不 充分条作故选B 4,A解析：由+1=xy,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y= 1,即x,y至少有一个为1，所以“)+1=x+y”的充要条件为 x,y至少有一个为L,故只有A符合，其他选项均不符.故 选A 5.BD解析：由已知得p→→s→g:9=r一s,p是g的充分条 件p是s的充分条件：r是q的充要条件：s是g的充要条件 故选BD. 6.必要不充分解析：依题意，没有预约，一·定不能游园，即游 园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可 能不游园，所以“预约”是“游圆”的必要不充分条件放答案 为必要不充分. 7.(1)④(2)①解析：由题意有：①ab=0一a=0或b=0,即 参考答案 a,b至少有一个为0：②a+b=0=a.b互为相反数.则a,b可 能均为0，也可能为一正数一负数：③a(a2+b2)=0→a=0,b 为任室实数：国>0-化0火。即a6都不为a综上 可知.(1)使a,b都不为0的充分条件是④：(2)使a,b至少 有一个为0的充要条件是①. 8.充分不必要解析：对于实数.b.依题意，a≥[a],(6〉≥ 6,面[a]=(),因此a≥6，若a≥6，如取a=了b=子有 [a]=0,(b)=1,显然[a]<(b),所以“[a]=(b)”是“a≥b” 的充分不必要条件 压轴挑战 C解析：因为此数为小于5的正整数，所以A=x10<△x<2= {0<子}因为：GB是：EA的必要不充分条作，eC是 x后A的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子 集所以子≤5且子号餐得号≤4c3.所以4“表示的数字 是1或2，故C正确.故选C 四方法总结 充分、必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B (I)若ACB,则p是g的充分条件，9是P的必要条件。 (2)若A年B,则P是g的充分不必要条件，9是p的必要不充 分条件。 (3)若A=B,则p是9的充要条件 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故 A错误： 对于B,含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误： 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C正确： 对于D,含有量词任意，为全称量词命题.故D错误故选C 2.AC解析：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可以 判晰选项AC是全称量词命题，BD是存在量词命题，故 选AC 3.C解析：与“Vx∈R.x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数 x.使得x2+1<1成立”故选C 4.x∈Rx2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根"是 全称量词命题，故可改写为VxeR,x2+1≠0. 5.BCD解析：对于A,因为VxeR,x≥0，可得x+2>0.即A 为真命题： 对于B,易知当5x+1=0时=写不是整数，即不存在xe Z,5x+1=0,所以B为假命题： 对于C,易知当x=±1时，x2-1=0,因此C为假命题： 对于D.解不等式1<4r<3可得}<子，显然在取值范围 .3 内不存在整数，即不存在x∈Z,1<4r<3,可得D为假命题 故选BCD. 6.④解析：若x=0,则x3=0,x2=0,此时x=x2,所以命题① 为假命题： 可以被2整除的整数，末位数字还可以是0,4等，命题②为 黑白题007