第五章二元一次方程组暑假预习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 暑假预习 一、单选题 1．二元一次方程的整数解有几组？ （    ） A．1组 B．3组 C．4组 D．无数组 2．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．解二元一次方程组时，若将方程①代入方程②后消去x，则得到的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 6．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 8．若正比例函数的图象经过点，且，则它的表达式为（    ） A． B． C． D． 9．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 10．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 二、填空题 11．若，用含x的代数式表示y，则 ． 12．若关于，的方程组   的解为 则 的值为 ． 13．在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是 ．（填序号） 14．原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需 元． 15．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 16．解方程组： (1) (2) 17．某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 18．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 19．为参加学校艺术节闭幕演出，七年级一班欲租用男、女演出服装若干套以供演出时使用，已知4套男装和6套女装租用一天共需租金460元，4套男装和10套女装租用一天共需租金660元. (1)租用1套男装、女装一天的价格分别是多少？ (2)由于演出时间错开租用高峰时段，男装、女装一天的租金分别给予九折和八折优惠，若该班演出团由5名男生和12名女生组成，求在演出当天该班租用服装实际支付的租金是多少？ 20．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第五章 二元一次方程组 暑假预习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C B B B A D C 1．D 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的整数解，将方程变形，用x表示y，分析x的取值范围．由于x可取任意整数，对应的y值也为整数，因此整数解有无数组． 【详解】解：将方程变形为， 对于任意整数，均为整数， 因此也为整数，对应的y值必为整数． 由于x可以取所有整数（如，1，，2，，…），每个x对应唯一的整数y， 因此方程的整数解有无数组． 故选D． 2．D 【详解】本题考查了二元一次方程的解． 将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【分析】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了解二元一次方程组—代入消元法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．将方程①代入方程②，消去，通过代数运算化简即可得到结果． 【详解】由方程①得，将其代入方程②中得：，整理得． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程组，先求出被遮盖的x值，再代入第一个方程求出被遮盖的常数项即可． 【详解】解：已知方程组的解为，代入第二个方程， 得：， 解得， 因此，被遮盖的值为5， 将和代入第一个方程， 得：， 因此，方程组中被遮盖的常数项为13， 综上，被遮盖的前后两个数分别为13和5， 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的应用；通过消元法解方程组，得到关于a的表达式，再利用的条件建立不等式求解即可． 【详解】解：方程组为 ①乘以2： ②乘以3： 两式相减：，得． 将y代入①：，解得． ∵， ∴， 由，解得． 综上，a的取值范围是， 故选：B． 7．B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．利用关于的二元一次方程组的解为得到即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查反比例函数解析式，先将，代入得出，再求出，根据题意可知：，进而得出，即可得出，求出答案即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知：， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据每行每列每条对角线上的三个数之和相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C． 11．/ 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题关键．用含x的代数式表示y，将含的项移到等式右边即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 13．②④ 【分析】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的关键． 先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可； 【详解】解：把代入①得，等式左边不等于右边，不成立； 把代入②得，等式左边等于右边，成立； 把代入③得，等式左边不等于右边，不成立； 把代入④得，等式左边等于右边，成立； ∴只能由②④组合， 故答案为：②④． 14．45 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元，根据题意建立方程组，解方程组可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 即原购买1件甲商品和1件乙商品共需45元， 故答案为：45． 15．/平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长、宽分别为，，根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组，进而根据大长方形的面积减去六个小长方形的面积，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意可列方程组为， 解得， 则小长方形的长为，宽为 ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解：原方程组整理得， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为 17．(1)； (2)A、两类桌椅每套的价格分别是、元； (3)应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【分析】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式的性质和方程的知识解答． （1）根据题列代数式即可求解； （2）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性质，即可解答本题，注意． 【详解】（1）解：∵甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元， ∴乙公司出售一套A类桌椅的售价为元；一套B类桌椅的售价为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 答：A、两类桌椅每套的价格分别是、元； （3）解：设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套， 则所需费用为：， ， ， ， ，， 当b取最大值时，费用最小， ， 的最大值是9，此时， 当时，费用取得最小值，最小值为：， 故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 18．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键． （1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值； （2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值； （3）由题意，将方程组化为，即， 根据方程组的解为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 得， 解得， （2）由题意，方程组可化为， 得， ， ， ； （3）由题意，方程组可化为， 方程组可化为， 即， 由方程组的解为， ，解得， 则方程组的解为． 19．(1)租用1套男装一天40元，租用女装需要50元； (2)660元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． （1）设租用男装一天x元，租用女装需要y元，根据4套男装和6套女装租用一天共需租金460元，4套男装和10套女装租用一天共需租金660元列方程组求解即可； （2）根据（1）中所求的结果，按9折和8折优惠求出实际需支付租金即可． 【详解】（1）解：设租用1套男装一天x元，租用女装需要y元， 由题意得，， 解得：， 答：租用1套男装一天40元，租用女装需要50元； （2）解：根据题意得：（元）． 答：演出当天租用服装实际需支付租金为660元． 20．(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$