2025年中考数学复习备考－二次函数综合题高频考点冲刺练

2025年中考数学复习备考 二次函数综合题高频考点冲刺练 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线经过A、B两点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第一象限内对称轴右侧的抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点C为上一点，过点C作交于D，连接，过C点作的垂线交于点E，连接交于点F，若，求点P的横坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 7．如下图，二次函数的图象经过点． (1)求a，b的值． (2)若C是该二次函数图象上的点A，B之间的一个动点，其横坐标为．请写出四边形的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求出S的最大值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 9．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，同时点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动．设运动时间为．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴为直线，点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为抛物线第二象限上的一点，连接交于点，若，求点的坐标； (3)如图，经过点的直线：交抛物线于，两点（点在点右侧），直线：交线段于点（点不与点重合），若的值与无关，求的值． 12．【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 13．如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若是抛物线在第四象限图象上一点，过作轴于点，并交于点，过点作轴交于点，求线段的最大值； (3)如图2，、是抛物线在第四象限图象上两动点，连接，，它们交于点．若点与点的横坐标之和为4，求点的横坐标的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学复习备考－二次函数综合题高频考点冲刺练》参考答案 1．(1) (2) (3)点P横坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，四点共圆，正切值的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作轴，垂足为T，先求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称性等得出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （2）设与交于点K，先求出的解析式，进而表示出，再根据三角形面积公式求解即可； （3）先证明点O，A，D，F四点共圆，过点P作轴，垂足为Q，过点D分别作，垂足分别为M，N，证明，得出，进而求得，再根据，即，求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴，垂足为T， 当时，，， ∴， ∵抛物线的顶点为B， ∴， ∵， ∴， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，设与交于点K， 点P的坐标为， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点O，A，D，F四点共圆， ∴， 过点P作轴，垂足为Q，过点D分别作，垂足分别为M，N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，即 ∴ ∵，即， ∴，解得， ∴点P横坐标为． 2．(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：将，代入解析式， 得：， 解得： 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 3．(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 4．(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 5．(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 6．(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 7．(1)， (2)表达式为．当时，四边形的面积S有最大值，最大值为16 【分析】本题主要考查二次函数的性质和利用待定系数法求函数解析式，可以根据待定系数法求出函数解析式，利用函数解析式结合面积的计算公式进行解答． （1）利用待定系数法求函数函数解析式； （2）过点A作x轴的垂线，垂足为，连接，，，过点C作，轴，垂足分别为E，F，将四边形分割为计算，然后配方为顶点式得到最值即可解答． 【详解】（1）解：将与代入， 得，解得； （2）解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为，连接，，，过点C作，轴，垂足分别为E，F． ， 即S关于点C的横坐标x的函数表达式为． ， 当时，四边形的面积S有最大值，最大值为16． 8．(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 9．(1) (2)当时，最大面积是 【详解】解：（1）将分别代入中，得解得 ∴二次函数的解析式为． （2）如图，过点M作轴于点E，设面积为S． 由题意，得． ． 在中，令，得， ， ， 是等腰直角三角形，． ， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， ． ， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 10．(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 11．(1) (2)或 (3)2 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）点、、在同一直线上，则，同理：，设的，则，即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为，则点， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由点、的坐标得，直线的表达式为：， 过点作轴交于点，作轴交于点，则点，则， 设点，则点，则， 轴，则， 则，即， 解得：或， 则点或； （3）解：在直线，则直线的表达式为：， 联立直线和的表达式得：，则， 联立直线和抛物线的表达式得：， 则， 点、、在同一直线上，则， 同理：， 设， 则， 的值和为关，则，则， 解得：，． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12．（1）的长度不变， （2）点的横坐标为或 （3）的最大值为26 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，平移的性质是关键． （1）根据图形平移的性质求解即可； （2）根据直线与坐标轴交点得到的顶点坐标为，的函数解析式为，设，当点在点上方时，当点在点上方时，代入计算即可求解； （3）根据题意得到顶点为，的函数解析式为，，当点重合时，，解得，分别代入，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）的长度不变，，理由如下： 是由向下平移2个单位长度得到， 对应的函数值相差2， ． （2）将代入，得， 将代入，得， 顶点在中点， 的顶点坐标为， 的函数解析式为， 设， 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则； 点的横坐标为或． （3）的顶点横坐标为， 顶点为， 的函数解析式为， 将代入，得， ， ， 当点重合时，， 解得， ∴当时，， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增少， 当时，的最大值， 当时，， ，对称轴为直线， 当时，的最大值， ， 的最大值为26． 13．(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 14．(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，线段长度问题，一次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）利用交点��和直接写出抛物线方程； （2）通过坐标几何方法，推导和的长度表达式，并利用二次函数求最大值； （3） 设和的横坐标之和为 ，求出直线和的方程，解交点得横坐标恒为 ，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵轴于点，轴交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则， ∴ ∴当时，线段的最大值为； （3）解：设的横坐标为，根据题意可得 ∵、是抛物线在第四象限图象上两动点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 同理可得直线的解析式为： 联立 解得： 即点的横坐标的值为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$