2025年九年级中考数学圆周角定理部分解答题专项练习

2025年九年级中考数学圆周角定理部分解答题专项练习 1．已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若为的中点，，求线段的长． 2．如图，在中，以为直径作，交于点，延长交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)点是上一点，连接，，，，求的长． 3．如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 4．在中，为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 5．已知：如图，四边形内接于，为直径，过点C的切线交的延长线于点E，且． (1)求证：． (2)若，求的正弦值． 6．如图，在中，，以为直径的与交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)延长交于点M，连接，求证：． 7．如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求的长． 8．如图，是的直径，是上一点，平分，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 9．在中，，点是上一点，以为直径的交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)当，且，时，求的半径和的长． 10．如图，是的直径，点C，D在直径两侧的上，，点E在上，且于点E，延长DE交于点F，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：． (2)若，，求的长． 11．如图1，在平面直角坐标系中，交x轴于B，D两点，交y轴于A、C两点，连结交x轴于点G． (1)当时，求的度数； (2)如图2，若． ①求证：； ②若，，求点A的坐标及的长度． 12．已知是的内接三角形，弦于H，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接OB交CD于E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于T，若，，求的面积． 13．如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14．如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度； (3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 15．已知为的切线，点B 为上一点，连接、，与交于点D，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2， 过O点作 于G交于点E，交于点K，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点M，交于点P，点N为中点，连接，若 ，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质结合，即可得到，再根据等边对等角得到，即，即可求出； （2）连接，与相交于点，先证明，由题意可得，推出，易证为等边三角形，解直角三角形即可． 【详解】（1）解：连接． 切于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，与相交于点， ∵，， ∴， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆的基本性质，切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明等腰即可； （2）由求出的长，由垂径定理得到，根据，结合三角函数求出的长，进而求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 是的直径， ，即． ． ， ． （2）解：， ， ， ． ． ，即 ． 在中， ． 在中， ， ． 3．(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据推出，即可得到，由此得到结论； （2）过点O作于F，设，则，，，勾股定理求出，根据，得到，证得为的中位线，求出及，即可求出的值． （3）连接先由，，得，则得出，运用勾股定理得．则，，再运用勾股定理．即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点O作于F，如图， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 由（1）可知，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 在（2）的条件下，， ∴． ∴，． ∴在中， ， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得即可解答； （2）连接，，证明，得，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，为直径， ，， ，过圆心， ，， ， 为等边三角形， ； （2）解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 所以的半径为． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质知道，推出，结合等边对等角和平行线的性质，推出，可得，得证； （2）连接，作于F，设，交于，设，，则，，由垂径定理推论得，，由勾股定理得，求得，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于F，设，交于， ∵， ∴设，，则，， ∵， 由垂径定理推论得： ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，垂径定理，解直角三角形等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练进行角度的转换是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质得到； （2）画出图形，证明，利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵为的切线，为半径， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（1）得， ∴． ∵， ∴． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意得；推出；结合，得到，即可求证； （2）连接，证，推出，解得：；作，推出，，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴； ∵平分， ∴； ∴； ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，； ∴； ∵， ∴； 由（1）得：， ∵， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∴； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴，即， 解得：； 作，如图所示： 则，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线证明、圆的内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 9．(1)详见解析 (2)的半径为， 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证，即可得证； （2）解直角三角形、，求出，继而可得，勾股求出，利用等面积求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴设， ∵，， ∴， ∴设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴半径； 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，求弧长， 对于（1），根据弧、弦、圆心角的关系可得，即可证明，则可得答案； 对于（2），根据已知条件和（1）可得，进而说明，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴； （2）解：∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴的长为． 11．(1) (2)①证明见解析 ②； 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理和解直角三角形，平行线分线段长比例，作辅助线构造直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）连接，先求出，即可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可； （2）①延长交于点E，连接，得到，然后根据同角的余角相等得到，即可得到结论； ②设，则，即可求出，，根据正切的定义得到，再根据，得到求出x值即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）①证明：延长交于点E，连接， 则，是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即∴， 解得， ∴点A的坐标为，，， ∴． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，设．通过等腰三角形的性质得到，再根据即可得解； （2）根据平行线的性质得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，计算得到，即可证明； （3）连接，延长交于点，交于点，连接．根据垂直平分线的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质等量代换得到，则，证明，进而证明，根据垂直平分线的性质得到，过作于，证明，得到设，根据勾股定理求出k的值，进而根据三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）证明：连接，设． ． ． ． ． ． （2）证明：， ． ． ． ． ． ． ． ． （3）解：连接，延长交于点，交于点，连接． ， 是的垂直平分线． ． ． ∵， ∴ ． ， ． ． ． ． ． ， ． 垂直平分．连接 ． 垂直平分 ． ． ． ． ． 过作于 ． ， ． 设 ． ． ． ． ． ． ． 即的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂直平分线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 13．(1)见解析； (2)13． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定可以证明，再根据平行线的性质和切线的性质即可得到答案； （2）根据两次平行线分线段成比例可得到，根据相似三角形的性质和三角函数的关系可以用表示出，进而即可得到答案； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点D作的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， 由（1）可知：，点是的中点， ∴， ∵为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴可设， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是灵活的运用各个知识点的联系． 14．(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得,，由,得； （3）过点E作于点G，则，当四边形面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得，∴，得，由，得,即得． 【详解】（1）解：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或； （3）过点E作于点G， 则， 当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接、、，设，，由圆周角定理得出，再由圆切线定义以及三角形内角和定理得出，再结合已知条件和三角形外角的定义和性质可得出，进而可得出，根据等角对等边即可得出． （2）连接，，先得出，由全等三角形的性质得出，进而可得出，由等弧所对的圆周角相等得出，由三角形外角的定义和性质结合（1）即可得出，进而可得出． （3）连接交与H、连接、、，先证明 四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，由弧和角的关系以及解直角三角形的相关计算进一步得出，再根据等角三角形三线合一的性质以及三角形内角和定理得出，最后解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：如图连接、、， 设，， ∵， ∴ ∵与相切，且 ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 由（1）知， ∴ ∴． （3）解∶ 连接交与H、连接、、， 由（1）和（2）可知： ∴ ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵N是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得：，（负值舍去） ∴ 【点睛】本题主要考查了弧和圆心角的关系，垂径定理，圆切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$