第02讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪教版2024）

第02讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根含参问题 典型例题七 立方根的实际应用 典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）观察规律，，，则 ． 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【例2】（24-25八年级上·上海·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【例3】（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 【例4】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）判断下列说法是否正确，错误的请说明理由： (1)8的立方根是； (2)负数开立方没有意义； (3)正数才有立方根； (4)是3的立方根． 4．（23-24八年级上·上海虹口·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【例3】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若，，则 ． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算： (1) (2)已知，求x的值 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知的立方根是，则 ． 【例4】 （23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求； (2)若，求的立方根． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知的算术平方根是的立方根为． (1)求的值． (2)求的平方根． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25八年级上·上海·单元测试）已知按照一定规律排成的一列实数：，…．按此规律可推得这一列数中的第2025个数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·上海松江·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【例4】（2024·上海长宁·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]．             3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）按要求完成下列各小题． （1）已知的平方根是，是的立方根，求的值； （2）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，若，求的值． 3．（23-24八年级上·上海长宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【典型例题六 立方根含参问题】 【例1】（2025八年级上·上海·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2． (1)求m的值； (2)求的平方根， 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，是的立方根，的算术平方根是2 (1)求：a，b，m，n的值 (2)求：的平方根 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是的算术平方根． (1)填空：_______，_______，_______； (2)求的平方根． (3)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值．                                    【典型例题七 立方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海宝山·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【例3】（24-25八年级上·上海·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知一无盖正方体容器的表面积为300dm2，则该容器的体积约为 ．（结果保留三位小数；提示：，，，） 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．    【典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（2025八年级上·上海·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【例3】（23-24八年级上·上海虹口·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 2．（23-24八年级上·上海·单元测试）若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0或 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知的立方根4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的x值为64时，输出的y值是（      ） A．4 B． C．2 D． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25八年级上·上海普陀·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若取，计算的结果是 ． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 9．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）一个三位数A，它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“明德数”．将“明德数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：852满足，则852是“明德数”，且．已知“明德数”M的百位数字小于个位数字，能被个位数字与百位数字的差整除，且为整数，则满足条件的“明德数”M的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 11．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算： (1)． (2)． 12．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 13．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 立方根（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 立方根的概念理解 典型例题二 求一个数的立方根 典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数 典型例题四 与立方根有关的规律探索 典型例题五 立方根新定义运算 典型例题六 立方根含参问题 典型例题七 立方根的实际应用 典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根、立方根、负整数指数幂、二次根式的乘法．根据算术平方根、立方根、负整数指数幂以及二次根式的乘法法则计算逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【典型例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【答案】D 【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围． 【详解】解：要使成立， ∵任意一个实数都有立方根， ∴为任意数， 则m为任意数， 故选：D． 【例3】（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 【答案】0和1 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1， 故答案为：0和1 【例4】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则． 故答案为：2；；． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握平方根与立方根的概念． （1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可； （2）直接用开立方方法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴或； （2）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴． 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加法即可得解； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）判断下列说法是否正确，错误的请说明理由： (1)8的立方根是； (2)负数开立方没有意义； (3)正数才有立方根； (4)是3的立方根． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)错误，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)正确 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义“若一个实数x的立方等于a，则x是a的立方根”进行计算即可得． 【详解】（1）错误．理由如下：8的立方根是2． （2）错误．理由如下：负数开立方的结果为负数． （3）错误．理由如下：任何数都有立方根． （4）是3的立方根，正确． 4．（23-24八年级上·上海虹口·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 通过观察已知数值与待求数值的关系，利用立方根的性质进行分解计算． 【详解】解： 因为，， 所以 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可求出的值，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若，，则 ． 【答案】293.8 【分析】本题考查了求一个数的立方根，先根据，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：293.8 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根解方程即可得解； （2）利用立方根解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 或． （2）解：∵， ∴， ， ． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算： (1) (2)已知，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）由， 得， ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 【答案】(1)①二；②9；③； (2)①；②；③；④． 【分析】本题主要考查了立方根的估算与求解，熟练掌握立方数的特征（不同位数立方数的范围、个位数字对应关系等 ）是解题的关键． （1）对于求，思路是先根据与的范围确定立方根的位数；再依据立方数个位数字特征确定个位数字；最后通过划去后三位，对比立方数确定十位数字． （2）对于求其他数的立方根，同样按照（1）的步骤，先定位数，再定个位、十位数字（或小数位对应数字 ）． 【详解】（1）解：①因为，，， 所以是两位数． 故答案为：二； ②因为只有个位数字是， 所以个位数字是． 故答案为：9； ③划去后面三位得，，，， 所以十位数字是，故 ． 故答案为：； （2）解：①，，，是两位数；个位， 因为个位是， 所以个位是； 划去后三位得，，，，十位是，即 ． ②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是； 划去后三位得，，，，十位是 ），即 ． ③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ． ④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴是两位数， ∵； 猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117， ∵， ∴的十位数字应为4， 于是猜想， 验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； 故答案为：； （2）解：∵， ∴和互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数， 即， ∴，即， ∴当时，得，解得． 时，得，解得； 当时，得，解得； ∴或或． 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【答案】C 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选C． 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根、平方根，代数式求值．先根据平方根和立方根的定义得出a、b的值，再分情况计算可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，时，， 当时，时，， 故的值是或， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【例4】 （23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： 整理，得． ∴， 解得：或． （2）解：， ∴， ∴， ∴； 2．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求； (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)的立方根为 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键． （1）根据题意求出，得到； （2）根据题意求出，继而得到，得到的立方根为． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ， 的立方根是， ， ， ； （2）解： ，即， 解得：， ， ， 的立方根为． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知的算术平方根是的立方根为． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关键． （）根据算术平方根和立方根的定义即可求出的值； （）根据（）中的结果求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：， 则； （2）解：由（1）知， 则， ∵， ∴的平方根为． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12，见解析 【分析】此题考查了平方根和立方根知识的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 先运用平方根和立方根知识求得m，n的值，再求得的值，最后运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解：由题目，可知． ． 把代入，得． ． 的算术平方根为12． 【典型例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25八年级上·上海·单元测试）已知按照一定规律排成的一列实数：，…．按此规律可推得这一列数中的第2025个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：由条件可知：这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第2025个数应是， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 【例3】（23-24八年级上·上海松江·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可． 【详解】若， 则， 故答案为：． 【例4】（2024·上海长宁·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，，， ∴， ∵x的值为8 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 【答案】(1)，0.1，729000000 (2)或时，；或时，；当或0时， 【分析】（1）由表格得出规律，进行填表以及结合求出a的值即可； （2）分类讨论的范围，比较大小即可． 此题考查了立方根，实数的大小比较，弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ 则a的值为； 故答案为：，0.1，729000000； （2）解：依题意，或时，； 或时，； 当或0时，． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【答案】（1）0.01，0.1，1，10，100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）． 【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键. （1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算； （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位，由此解决问题； （3）根据（2）的规律计算即可得到结果. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴填表如下： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 故答案为：0.01   0.1   1   10   100 （2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位. （3）∵ ∴即 即， 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【答案】(1)0.1435，14.35 (2)12.60 (3)①或；② 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． （1）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律进行类比解答即可； （3）①先移项，再运用求一个数的平方根进行解方程，即可作答． ②先移项，再运用求一个数的立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 【典型例题五 立方根新定义运算】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的实数运算，立方根的定义，利用题中的新定义计算即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得再求出的值，最后求出立方根，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴又a和b为两个连续正整数， ∴ ∴的立方根为． 故选：A 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据新定义求出的值，再根据立方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴=， ∴的立方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，以及立方根的定义，根据新定义求出的值是解答本题的关键． 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 【答案】56 【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是，接着得出，确定的十位数是5，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵， ∴的立方根是一个两位数； ∵的个位数是，且 ∴能确定的个位数字是6； 如果划除后面的三位数，得到175， ∵， ∴， ∴的十位数字是5， 即， 故答案为：56 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)或． 【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）按要求完成下列各小题． （1）已知的平方根是，是的立方根，求的值； （2）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，若，求的值． 【答案】（1）-40；（2）或 【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求出a和b的值，即可求出的值； （2）根据运算法则，表达出，解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：2a=4，3a+b=27， 解得：a=2，b=21， ∴． （2）∵ ∴ ∴ 解得：或． 【点睛】本题考查了平方根与立方根，以及有理数中的新定义运算问题，解题的关键是理解平方根与立方根的定义，以及题目中给出的新定义运算法则． 3．（23-24八年级上·上海长宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． （1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）根据定义求一个数的四次方根； （4）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①∵ ∴的四次方根是； ②0的四次方根是0； ③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）①； 故答案为：； ②， ∴． 故答案为：． 【典型例题六 立方根含参问题】 【例1】（2025八年级上·上海·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 【例3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，，则 ． 【答案】3750 【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 【详解】解：∵0.1554，15.54， ∴． 故答案为：3750． 【例4】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ． 【答案】11或35 【分析】此题考查了平方根定义，立方根定义及无理数的估算，正确掌握各定义并利用进行计算是解题的关键． 根据平方根定义，立方根定义及无理数的估算，分别求出m、n、p，由此计算． 【详解】解：∵正数m的平方根为和， ∴， 解得或； ∴或 ∵是n的立方根， ∴，解得， ∴， ∴，即2是n的立方根， ∴； ∵p是的整数部分，， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或35． 故答案为：11或35． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2． (1)求m的值； (2)求的平方根， 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，得到和互为相反数，进而求出的值，进一步求出m的值即可； （2）根据立方根的定义，求出，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，得：， ∴； 由（1）知：， ∴的平方根为． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，是的立方根，的算术平方根是2 (1)求：a，b，m，n的值 (2)求：的平方根 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，立方根、算术平方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据非负性得出，再结合立方根、算术平方根的性质得，即可作答． （2）把，分别代入，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的立方根，的算术平方根是2， ∴，， 解得； （2）解：由（1）得，， 则， ∴的平方根是． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是的算术平方根． (1)填空：_______，_______，_______； (2)求的平方根． (3)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)5；2； (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（3）的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先将，，代入求出，然后再求其平方根即可； （3）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ∵是的算术平方根， ， （2）解：， 的平方根是， 即的平方根为； （3）解：， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值． 【答案】发现：（答案不唯一）归纳：；应用： 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键． 发现：根据题目给出的规律解答； 归纳：根据已知的等式规律即可求解； 应用：根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：发现：根据题意；如（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 归纳：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立； 故答案为：； 应用：与的值互为相反数； ，                 解得，                           则． 【典型例题七 立方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【例2】（2024·上海宝山·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ∵， ∴， ∴该正方体铁块的棱长位于3和4两个相邻整数之间． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为． 故答案为：7． 【例4】（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知一无盖正方体容器的表面积为300dm2，则该容器的体积约为 ．（结果保留三位小数；提示：，，，） 【答案】0.465 【分析】先由表面积求出正方体的边长，即可求出体积． 【详解】解：设正方体的边长为，由题意得 解得：，， 体积为 ． 【点睛】本题考查了正方体的表面积和体积，掌握边长的求法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，利用立方根解方程. （1）将化为，开平方解方程即可； （2）移项得，方程两边同时除以8得，开立方即可. 【详解】（1） 或 （2） 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1)； (2)棱长变为原来的2倍． 【分析】本题考查了立方根的实际应用及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式是解题的关键． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程，解方程即可； （2）根据题意，计算出正方体变化后的体积，根据体积公式，计算出变化后的棱长，即可得解． 【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：， 解得：， 答：该正方体的棱长为6cm； （2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为 设此时正方体的棱长为， 由题意得：， 解得：， 答：它的棱长变为原来的2倍． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 4．（24-25八年级上·上海金山·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【典型例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（2025八年级上·上海·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【例3】（23-24八年级上·上海虹口·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】5 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得的值，将的值代入计算得出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和， ， ． ， ． ， 的立方根为5， 的立方根为5， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 2．（23-24八年级上·上海·单元测试）若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 【答案】的立方根是1． 【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义．根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则，， 则， ∴的立方根是1． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键． 根据已知推导出一个非负数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有两个，求解即可． 【详解】解：∵，即一个非负数的立方根是它本身， ∴这样的数有两个， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知的立方根4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，首先根据的立方根4，可以求出，把代入，可得：，根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：的立方根是， ， 解得：， ， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的x值为64时，输出的y值是（      ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】依据运算程序进行计算即可． 【详解】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是． 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键． 根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定每位数，然后再确定即可． 【详解】解：∵根据题意可知为两位数， ∴的个位上的数是9， ∵，， ∴的十位上的数是7， ∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 6．（24-25八年级上·上海普陀·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若取，计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的相关计算，先合并再计算是解题的关键． 先合并，然后进行计算． 【详解】解：原式 ， 当取时， 原式 ． 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）一个三位数A，它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“明德数”．将“明德数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：852满足，则852是“明德数”，且．已知“明德数”M的百位数字小于个位数字，能被个位数字与百位数字的差整除，且为整数，则满足条件的“明德数”M的最小值为 ． 【答案】147 【分析】本题考查新定义，立方根，正确理解题意是解题的关键． 设的百位数字为，十位数字为，个数数字为，则，然后根据题意求出，进而得到，再由是一个整数，，求出，则，再由是整数，得到或或或或或，再结合，进行讨论求解即可． 【详解】解：设的百位数字为，十位数字为，个数数字为， ， ，， ， ， 是一个整数，， 或， 当时，，且， 此时不满足题意， ， ， ， 能被个位数字与百位数字的差整除， 是整数， 或或或或或， 又， 当时，； 当时，； 当时，； 可以是246，147，345， 满足题意的的最小值为147． 故答案为：147． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据题目所提供的A变换，B变换的意义，有立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．本题考查立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵ ∴ ∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3； 故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出， 则 ∴得到的输出数是3； 故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1， ∴， ∴， ∴， ∵经过一次变换得到， 即不小于的最小整数是， ∵ ∴的取值范围是． 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 11．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根. （1）先计算算术平方根，立方根，再计算减法即可； （2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再计算减法即可； 【详解】（1） ； （2） 12．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，先分别根据对话内容，列式，求出；故，，所以，然后得出，且，得，因为为的立方根，故，即可作答． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ，， ， ，且， ； 为的立方根，， ， 即． 13．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$