第01讲 平方根（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪教版2024）

第01讲 平方根（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用算术平方根的非负性解题 典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题七 算术平方根的实际应用 典型例题八 平方根的新定义运算 典型例题九 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若是的一个平方根，则的算术平方根是 ． 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若|，则的平方根为 ． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025八年级上·上海·专题练习）已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是 ． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，，则 ． 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）“的平方根是”的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期中）若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果的算术平方根是3，那么的平方根是 ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，求的平方根． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【例4】 （2025·上海长宁·模拟预测）观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为 ． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 4．（2025·上海奉贤·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25八年级·上海·阶段练习）若 ,则 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若，则= ． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，则 ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若实数x、y满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·上海·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数的值是 ． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 1．（24-25八年级上·上海·课后作业）已知，求的值． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·上海静安·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若和为同一个正数的不同平方根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．或 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则 ，这个正数为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知3是的一个平方根，是的一个平方根．则 ． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一个正数的平方根是和，求和的值． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ． （2）已知一个正数的两个平方根是和．求的平方根． 【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）若，，则 ．（保留小数点后两位） 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式： ； 1．（24-25八年级上·上海·随堂练习）（1）认真观察下表，试用含a的式子来表示b； 9 16 25 36 … 2 3 4 5 … （2）利用上述结论解决问题： 当时，__________； 当时，__________ 2．（2025八年级上·上海·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【典型例题七 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：）处的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，高空所抛物体下落的高度是多少？ 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）课本再现； 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为，但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？___________． A．能 B．不能 (2)小丽从新给了小明一张长方形的纸片，告诉他纸片的长、宽之比为，纸片的面积为，请你帮小明求出纸片的周长； （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出他想要的圆形纸片吗？请说明理由．（取） 【典型例题八 平方根的新定义运算】 【例1】（23-24八年级上·上海虹口·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【例2】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）定义新运算“”：，则 ． 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律、交换律，已知，那么的平方根是 ． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期末）利用平方根的定义解方程: 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题． (1)如果，则________；（直接写出答案） (2)如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 4．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【典型例题九 平方根的实际综合应用】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·上海嘉定·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【例3】（2025八年级上·上海·专题练习）已知正数x的两个不同的平方根是和，则x的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，． (1)求代数式． (2)求的值． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．25的平方根是5 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 5．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ）    A．11 B．10 C．6 D．5 6．（2025·上海·模拟预测）的相反数是 ，36的算术平方根是 ． 7．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知，，那么 ． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）若a，b为实数，且满足，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·上海静安·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ． 10．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 11．（24-25八年级上·上海普陀·期中）解方程： (1) (2) 12．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 14．（24-25八年级上·上海虹口·期中）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． (1)求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的平方根 典型例题二 求一个数的算术平方根 典型例题三 求代数式的平方根 典型例题四 利用算术平方根的非负性解题 典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数 典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题 典型例题七 算术平方根的实际应用 典型例题八 平方根的新定义运算 典型例题九 平方根的实际综合应用 知识点01 平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根的含义，求解一个数的算术平方根，由非负数的一个平方根的平方可得原数可判断D，由求解一个非负数的算术平方根的方法可判断A，B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若是的一个平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，由是的一个平方根，可得，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵是的一个平方根， ∴， ∴， ∴的算术平方根是； 故答案为： 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的定义．根据平方根、算术平方根的定义逐一判断即可得． 【详解】解：A．，原式错误，故此选项不符合题意； B．，原式正确，故此选项符合题意； C．，原式错误，故此选项不符合题意； D．无意义，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若|，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对值的非负性得到，先求出，再求出的平方根即可． 【详解】解：因为， 所以0，， 解得， 所以， 所以的平方根为： 故答案为：． 知识点03平方根的性质 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：． 【即时训练】 2．（2025八年级上·上海·专题练习）已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数解答即可． 【详解】解：已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是， 故答案为：． 知识点04 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．观察题干可知是将的小数点向左平移2个单位，再利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【典型例题一 求一个数的平方根】 【例1】（24-25八年级上·上海松江·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）“的平方根是”的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 即， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，直接根据平方根定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果的算术平方根是3，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此可得，解方程求出a的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，平方根的定义，依据非负数的性质求得、的值是解题的关键．首先依据非负数的性质求得、的值，然后再求得的值，最后再求平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根为． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴ （2）解：， ， ， 的平方根为． 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【答案】（1）；；（2）6或 【分析】本题考查绝对值，平方根的定义，求代数式的值，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据绝对值得定义解题即可；根据平方根的定义可得结果； （2）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：（1）若，则，若，则； 故答案为：；； （2）∵，， ∴，， 即或，， 异号， 当时，；当时，． 当，时，． 当，时，． 的值为6或． 【典型例题二 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，求出自然数为，进而得到下一个自然数为，再进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：该自然数为， ∴下一个自然数为，它的算术平方根是； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 【例3】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，有理数减法，会求一个数的算术平方根是解题的关键． 先求算术平方根，再按有理数减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例4】 （2025·上海长宁·模拟预测）观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为 ． 【答案】 【分析】观察所给的等式，得到第个式子为，然后利用规律解答即可． 【详解】解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为， ∴第10个式子为， 故答案为：． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：． 【答案】6 【分析】本题主要考查了算术平方根和零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （2）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （3）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7 (2) (3)， 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 4．（2025·上海奉贤·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 【典型例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25八年级·上海·阶段练习）若 ,则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的值，求出，再利用负整数指数幂的运算法则，得到的值． 【详解】解：， 或（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法则：，是解决本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·上海·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 【例3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算术平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·期中）若实数x、y满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【例2】（2025八年级上·上海·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解一元一次不等式，算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，即可求出的取值范围，再根据是有理数得到是完全平方数，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 且是完全平方数， ∴正整数或9或6或1 则满足条件的最大正整数的值是10， 故答案为：10． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海·课后作业）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据正数a的两个平方根分别是和得到，求出x，即可得到，根据相反数的定义结合算术平方根的非负性，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25八年级上·上海静安·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求出a的值． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别为， ∴， 解得：， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若和为同一个正数的不同平方根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的运用，掌握平方根的计算是关键． 一个正数的平方根有两个，且这两个根互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：若和为同一个正数的不同平方根， ∴， 解得，， 故选：A ． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则 ，这个正数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，所以可得：，解方程可得：；由可得这个正数的一个平方根是，所以这个正数是. 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得：； ， 这个正数是． 故答案为：，． 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知3是的一个平方根，是的一个平方根．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， ∴， ∵是的一个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一个正数的平方根是和，求和的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟知非负数的两个平方根互为相反数是解题的关键； 根据非负数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ． （2）已知一个正数的两个平方根是和．求的平方根． 【答案】（1），0，1，；（2）． 【分析】（1）根据负整数的概念，绝对值的意义，倒数的意义和平方根的概念求解即可； （2）根据平方根的概念列方程求出m的值，然后代入利用平方根的概念求解即可． 【详解】（1）∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根 ∴，，，， 故答案为：，0，1，； （2）∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴3个平方根是． ∴的平方根是． 【点睛】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【答案】C 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，先根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与算术平方根有关的探究规律探究．通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，…，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】解：通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵，…， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）若，，则 ．（保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案．正确理解算术平方根的定义（如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根）是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式： ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，根据题意找到规律即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式： ， 第4个等式：， ， 由上述规律可得，第n个等式为：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海·随堂练习）（1）认真观察下表，试用含a的式子来表示b； 9 16 25 36 … 2 3 4 5 … （2）利用上述结论解决问题： 当时，__________； 当时，__________ 【答案】（1）；（2）11，121 【分析】本题主要考试算术平方根的运用，理解表格信息，找出规律，掌握算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据算术平方根的计算找出规律即可求解； （2）把分别代入（1）中的式子计算即可． 【详解】解：（1）， ∴， 故答案为：； （2）， ， ∴，且， ∴， 故答案为：． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：由题意得： ； （3）解：∵； ； ； ……； ∴，…..； ∴， 即， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【典型例题七 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求代数式的值及算术平方根，将代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得或， ∵， ∴，即到达地面需要， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的剪拼算术平方根的应用，求出阴影部分面积是解题的关键．先计算阴影部分的面积，也就是新组成的四边形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：新正方形的面积为 ∴新正方形的边长是 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 【答案】落到地面需要5秒 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，把代入，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 答：落到地面需要5秒． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 【答案】 【分析】主要考查了算术平方根的应用，有理数混合运算的应用，由题可知，图2中间小正方形的面积是1，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积；把大正方形的面积的值开方即可得到大正方形的边长． 【详解】解：根据题意，得图②中大正方形的面积为， 图②中大正方形的边长为． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：）处的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，高空所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）当时，时，代入分别求出，； （2）当时，代入求出即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 答：从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是； （2）当时，， ， 解得：， 经过，高空所抛物体下落的高度是． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）课本再现； 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为，但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？___________． A．能 B．不能 (2)小丽从新给了小明一张长方形的纸片，告诉他纸片的长、宽之比为，纸片的面积为，请你帮小明求出纸片的周长； （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出他想要的圆形纸片吗？请说明理由．（取） 【答案】(1)B (2)，（2）能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，正确列出等量关系式． （1）设长方形的长为，宽为，根据题意列方程，求出，进而求出长方形的长，再与正方形的边长比较，即可判断； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意列方程，求出，进而求出长方形的长和宽，即可求解；（2）设圆的半径为，根据题意列方程求出，进而求出圆的直径，再与长方形的长、宽比较即可判断． 【详解】（1）解：一块面积为的正方形纸片的边长为， 设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， ， 小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片， 故选：B； （2）设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， 长方形的长为，宽为， 纸片的周长为； （2）能，理由如下： 设圆的半径为， 根据题意得：， ， ， 则圆的直径约为， 又长方形的长为，宽为，均大于圆的直径， 能够裁出他想要的圆形纸片． 【典型例题八 平方根的新定义运算】 【例1】（23-24八年级上·上海虹口·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算及求一个数的平方根，根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根为． 故选C． 【例2】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．根据题目定义的运算法则和算术平方根的运算方法进行计算． 【详解】解：， ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）定义新运算“”：，则 ． 【答案】 【分析】根据新的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根的计算，解决这个问题的关键就是要明确算术平方根的计算法则． 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律、交换律，已知，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，平方根，利用平方差公式求出的值，再根据平方根的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海青浦·期末）利用平方根的定义解方程: 【答案】 【分析】根据平方根的性质即可求解． 【详解】解： 或． 【点睛】此题主要考查平方根的应用，解题的关键是熟知平方根的定义． 2．（23-24八年级上·上海奉贤·期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题． (1)如果，则________；（直接写出答案） (2)如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义即可求得答案； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：如果，则， 故答案为：； （2）解：原方程整理得：， 则， 解得：或． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【典型例题九 平方根的实际综合应用】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·上海嘉定·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 【例3】（2025八年级上·上海·专题练习）已知正数x的两个不同的平方根是和，则x的值为 ． 【答案】49 【分析】此题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【详解】解：正数的两个平方根是和， ， 解得：， 这个正数的两个平方根是， 这个正数是49， 故答案为：49． 【例4】（24-25八年级上·上海静安·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，． (1)求代数式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，平方根求值，掌握因式分解，平方根的计算是解题的关键． （1）先将原式因式分解，再代入求值即可； （2）根据题意得，再将所求代数式变形得，代入求值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ＝ ＝ ； （2）解：∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 【答案】长方体容器的高为 【分析】本题考查了平方根的应用．设长方体容器的高为，则宽为，依题意列方程，求解即可． 【详解】解：设长方体容器的高为，则宽为． 依题意，得， 解得． 故长方体容器的高为． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 【答案】（1），；（2），，，，，；规律：，，，（其中是正整数）；（3）． 【分析】（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可； （2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可； （3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可． 【详解】（1）∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的平方根是． （2）， ， ， ， ， ，…， 规律是：每四个相邻次方为一个循环， 用式子表示为：，，，（其中是正整数）． （3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下面说法正确的是（    ） A．25的平方根是5 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的判断，解题关键是熟悉相关概念．平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：非负数a的平方根是，算术平方根是， A．25的平方根是，故错误，不符合题意； B．的平方根是，故错误，不符合题意； C．的算术平方根是，故错误，不符合题意； D．的算术平方根是，故正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”．根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数． 【详解】解：∵2025的两个平方根是m和n， ∴ ， 故选：C 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． 根据数值转换器，输入，进行计算，判断结果是否为无理数，若不是，则继续计算即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ）    A．11 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【分析】观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，则重叠部分也为正方形，根据较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1；从而得出空白部分的长方形的较小边长为，继而得，，然后由求解即可． 【详解】解：观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， 重叠部分也为正方形， ∵较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1， ∴较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1； ∴空白部分的长方形的较小边长为， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系，从而求得、的长是解题的关键． 6．（2025·上海·模拟预测）的相反数是 ，36的算术平方根是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查相反数，算术平方根，熟练掌握会求一个数的相反数和算术平方根是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数和一个正数正的平方根叫这个正数的算术平方根．求解即可． 【详解】解：的相反数是， 36的算术平方根是， 故答案为：；6． 7．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）若a，b为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键． 根据绝对值和算术平方根的非负性得到，求出，再代入进行求算术平方根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·上海静安·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ． 【答案】11.2 【分析】本题考查代数式求值，算术平方根的应用，把字母的值代入，再求出算术平方根即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：11.2． 10．（24-25八年级上·上海长宁·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·上海普陀·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键： （1）移项后，利用平方根解方程即可； （2）移项，系数化1，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了平方根，求代数式的值， 对于（1），根据平方根的定义得，再根据可得答案； 对于（2），由题意得，再根据求出m，即可求出a，然后分两种情况得出答案． 【详解】（1）解：x的平方根是m，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 即， ， ∴， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． ∴的值为或9． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵（精确到）， ∴；； （3）解：∵ ∴；； 14．（24-25八年级上·上海虹口·期中）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． (1)求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 【答案】(1)这个长方体的长为，宽为，高为 (2)，， 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，掌握长方体的底面积和表面积计算方法是解决问题的关键． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的表面积等于列方程求得答案即可． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， ∴长方体的长为，宽为，高为． （2）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， 长方体的长为，宽为，高为， 故答案为：，，． 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【答案】(1)③，算术平方根不能为负数． (2)25或 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键． （1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． （2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为16； （ii）当时， 解得， ， 由这个数的算术平方根为，得 ， ∴不符合题意，舍去． 故答案为：③，算术平方根不能为负数． （2）∵一个数的算术平方根是，平方根是， ∴或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为25； （ii）当时， 解得， ， ， ∴这个数为； 综上所述，这个数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$