第4章 一次函数 单元测试2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上 第4章 一次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列四个函数中属于一次函数的是　　 A． B． C． D． 2．下列各点在正比例函数的图象上的是　　 A． B． C． D． 3．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是　　 A． B． C． D． 4．函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是　　 A． B． C． D． 6．已知点，都在直线上，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 7．记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则　　 A．12 B．16 C．20 D．24 8．一次函数与交于点，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．现代营养学家通常用身体质量指数（简称作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标，身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米的关系是．若一个人的身高为1.70米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为　　 A． B． C． D． 11．如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发沿同一公路相向而行，涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶．设两人出发时间为（单位：，涵涵、轩轩与乙地的距离分别为、（单位：，图中的折线和线段分别表示、与之间的函数关系．下列四个结论正确的是　　 A．涵涵行驶的速度为 B．轩轩行驶的速度为 C．线段所在直线的解析式为 D．两人只有在出发10分钟后相距 12．如图，直线与轴和轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、为顶点的三角形与全等，则的长为　　 A．2或 B．3或 C．2或 D．3或 二．填空题（共5小题） 13．一次函数的图象与轴交于点，且满足随的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的一次函数的解析式：　　 ． 14．直线与轴的交点坐标是　　 ． 15．直线过点，则值为 　　 ． 16．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上，在直线上，且，．若点为线段上的一个动点，且关于轴的对称点总在内（不包括边界），则点的横坐标的取值范围为 　　． 17．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为．其中描述正确的是 　　 （填入正确的序号）． 三．解答题（共5小题） 18．某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家网店的标价均为15元件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超过300元的按原价购买，超过300元的部分按标价的六折出售；乙网店商品全部按标价的八折出售． （1）若该校需要购买40件教学用品，则在甲网店需花费　　 元；在乙网店需花费　　 元． （2）若学校计划购买教学用品件，设在甲网店花费元，在乙网店花费元，请求出，关于的函数解析式． （3）假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？ 19．如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求的值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设直线落在△内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 20．某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车的行驶速度为 　　 千米小时， 　　 ； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； （3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为 　　 小时． 21．如图，在直角坐标系中，直线解析式为，经过点且与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与轴交于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值； （3）在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，直线分别交轴、轴的正半轴于，两点，，两直线相交于点． （1）求直线解析式； （2）求点的坐标； （3）若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2024）八年级上 第4章 一次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A B C A A C C C 题号 12 答案 D 一．选择题（共12小题） 1．下列四个函数中属于一次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义即可求解． 【解答】解：、是反比例函数，不是一次函数，故不符合题意； 、是一次函数，故符合题意； 、是二次函数，不是一次函数，故不符合题意； 、不是一次函数，故不符合题意； 故选：． 2．下列各点在正比例函数的图象上的是　　 A． B． C． D． 【分析】代入各选项中点的横坐标，可求出的值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【解答】解：．当时，， ， 点不在正比例函数的图象上，选项不符合题意； ．当时，， ， 点在正比例函数的图象上，选项符合题意； ．当时，， ， 点不在正比例函数的图象上，选项不符合题意； ．当时，， ， 点不在正比例函数的图象上，选项不符合题意． 故选：． 3．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【解答】解：根据题意可分两段进行分析如下： ①当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； ②当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：． 4．函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】若二次根式有意义，则被开方数是非负数，据此解得的取值范围． 【解答】解：由题意得， 解得． 故选：． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再利用的取值范围确定一次函数的位置，则可对、、选项进行判断；根据一次函数的位置可对进行判断． 【解答】解：、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴下方，所以选项错误； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项正确； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项错误； 、由一次函数经过第一、三象限，所以选项错误． 故选：． 6．已知点，都在直线上，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而增大， 又点，都在直线上，且， ． 故选：． 7．记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【分析】根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可． 【解答】解：为正比例函数， 设， ， 只需令中即可，即， ， ， 要求中，令，代入得， 故选：． 8．一次函数与交于点，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标的横坐标进行判断． 【解答】解：把代，得， ， ， 关于的方程的解为， 故选：． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数的性质，可知函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：一次函数， 随的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：． 10．现代营养学家通常用身体质量指数（简称作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标，身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米的关系是．若一个人的身高为1.70米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的图象判断即可． 【解答】解：由关系是可知，是的一次函数，且随的增大而增大，故选项符合题意． 故选：． 11．如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发沿同一公路相向而行，涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶．设两人出发时间为（单位：，涵涵、轩轩与乙地的距离分别为、（单位：，图中的折线和线段分别表示、与之间的函数关系．下列四个结论正确的是　　 A．涵涵行驶的速度为 B．轩轩行驶的速度为 C．线段所在直线的解析式为 D．两人只有在出发10分钟后相距 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由图可得， 涵涵行驶的速度为：，故选项错误，不符合题意； 轩轩行驶的速度为：，故选项错误，不符合题意； 点的横坐标为：，纵坐标为2000， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 设线段所在直线的解析式为， ， 解得， 线段所在直线的解析式为，故选项正确，符合题意； 两人出发10分钟时相距的距离为：， 设他们相遇之后相距对应的时间为 ， ， 解得，故选项错误，不符合题意； 故选：． 12．如图，直线与轴和轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、为顶点的三角形与全等，则的长为　　 A．2或 B．3或 C．2或 D．3或 【分析】根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ； ②当时，如图2， ， ， ， 综上所述：的长为或3． 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．一次函数的图象与轴交于点，且满足随的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的一次函数的解析式：　（答案不唯一）　 ． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，由随的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，任取其内一值即可． 【解答】解：一次函数的图象与轴交于点， ， ． 随的增大而减小， ， 该函数的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．直线与轴的交点坐标是　　 ． 【分析】代入，可求出的值，进而可得出直线与轴的交点坐标是． 【解答】解：当时，， 直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 15．直线过点，则值为 　2027　 ． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：直线过点， ， ， 原式． 故答案为：2027． 16．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上，在直线上，且，．若点为线段上的一个动点，且关于轴的对称点总在内（不包括边界），则点的横坐标的取值范围为 　　． 【分析】先求出、，进而求出，再由可知点在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出点的坐标，再根据点在内，则当时，点的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【解答】解：在中，当时，，当时，， ，， 在轴的正半轴上，， ， ． 点在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ； 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． 同理可得直线的解析式为， 点为线段上的一个动点，且其横坐标为， ， 、关于轴对称， ， 点总在内（不包括边界）， ． 解得． 故答案为：． 17．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为．其中描述正确的是 　①④　 （填入正确的序号）． 【分析】①观察图象即可； ②根据速度路程时间和时间路程速度计算即可； ③分别求出当时大巴士与的函数关系式和当时与的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇的值，即相遇时间即可； ④根据速度路程时间计算即可． 【解答】解：大巴士遇到交通管制时已经行驶了， ①正确，符合题意； 大巴士行驶速度为， ， ， ②不正确，不符合题意； 当时，大巴士与的函数关系式为， 当时，小巴士行驶速度为，则与的函数关系式为， 当两辆巴士相遇时，得， 解得， 时，两辆巴士相遇， ③不正确，不符合题意； 由②可知，小巴士返回的速度为， ④正确，符合题意． 故答案为：①④． 三．解答题（共5小题） 18．某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家网店的标价均为15元件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超过300元的按原价购买，超过300元的部分按标价的六折出售；乙网店商品全部按标价的八折出售． （1）若该校需要购买40件教学用品，则在甲网店需花费　480　 元；在乙网店需花费　　 元． （2）若学校计划购买教学用品件，设在甲网店花费元，在乙网店花费元，请求出，关于的函数解析式． （3）假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？ 【分析】（1）根据两家网店的优惠方案列式计算即可； （2）分为当时，当时，分别求解即可； （3）分为当购买不超过20件时，当购买超过20件时，分别列方程或不等式求解． 【解答】解：（1）根据两家网店的优惠方案标价为（元， 则在甲网店需花费：（元； 在乙网店需花费：（元． 故答案为：480，480； （2）（件． 当时，为整数）， 当时，为整数）； ， ，且为整数）． （3）不超过20件时，，，，故应选择乙网店； 当购买超过20件时，，， 由，则，解得． 故购买超过20件，不超过40件时，选择乙网店； 由，则，解得． 故购买40件时花费相同，选择甲、乙两家网店皆可； 由，则，解得． 故购买超过40件时，选择甲网店． 综上所述，购买40件以下时选择乙网店；购买40件时，甲、乙两家网店皆可选择；购买40件以上时选择甲网店． 19．如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求的值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设直线落在△内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 【分析】（1）把点坐标代入，求出的值；联立两个函数关系式求出点的坐标即可； （2）联立，求出，根据为整点，，为整数，求出的值即可； （3）先求出直线与直线和的两个交点间距离为，然后分两种情况求出的值即可． 【解答】解：（1）由条件可得， ，， 联立， 解得：， 点的坐标为； （2）联立， 解得：， ， 为整点， 为整数，为整数， 由条件可知， 点的坐标为； （3）把代入得：， 把代入得：， ， 直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时； 综上分析可知：或． 20．某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车的行驶速度为 　80　 千米小时， 　　 ； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； （3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为 　　 小时． 【分析】（1）列式计算可得乙车的速度，求出甲车速度为60（千米时），即可得； （2）用待定系数法可得； （3）求出乙车在甲车后面20千米和乙车在甲车前面20千米时的值，再列式计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由图可知，乙车的行驶速度为（千米时）， 甲车速度为（千米时）， ， 故答案为：80，5.5； （2）设， 把，代入得： ， 解得， ； （3）当甲车修车，乙车在甲车后面20千米时，， 解得， 当甲车修车，乙车在甲车前面20千米时，， 解得， （小时）， 乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为小时； 故答案为：． 21．如图，在直角坐标系中，直线解析式为，经过点且与轴交于点，与轴交于点，过点的直线与轴交于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值； （3）在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把代入可求出得到，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，然后根据一次函数的性质解决问题； （3）设直线交轴于点，利用解析式可确定，，，设，利用三角形面积公式得到，然后求出，从而得到 点坐标． 【解答】解：（1）把代入得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）点在线段上， ， 点在直线上， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）存在． 设直线交轴于点， 当时，， ， 当时，， 解得， ，， 设， ， ， 解得或， 点坐标为，或，． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，直线分别交轴、轴的正半轴于，两点，，两直线相交于点． （1）求直线解析式； （2）求点的坐标； （3）若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 【分析】（1）解方程得到，，求得；得到，把代入，解方程即可得到结论； （2）由（1）知直线的解析式为，解方程组得到，； （3）过作交轴于，连接，如图：设，直线解析式为，求得直线解析式为，解方程得到，，求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）在中，令得，令得， ，， ； 在中，令得， ， ， ， 把代入得：， 解得， 的值为， 直线的解析式为； （2）由（1）直线的解析式为， 解得， ，； （3）过作交轴于，连接，如图： 设，直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 令得， ，， ， ， ， 解得：或， 则点或，． 学科网（北京）股份有限公司 $$