1.1 多项式的因式分解 教学设计- 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

1.1多项式的因式分解 教学设计 课题 1.1多项式的因式分解 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本节课的主要内容是因式分解的概念以及因式分解和整式乘法的互逆关系。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。因此在教材中本.节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课有着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。 核心素养 能力培养 1.理解因式分解的概念和意义；认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法； 2.由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力； 3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 教学目标 1.理解因式分解的概念和意义； 2.了解因式分解与整式乘法之间的关系； 3.将因式分解与整式乘法进行类比，理解因式分解的意义和方法，培养学生的辨别能力； 4.经历因式分解的意义的过程,体会事物之间可以相互转化的辩证思想,培养学生的逆向思维能力. 教学重点 因式分解的概念 教学难点 明确因式分解与整式乘法的关系及运用整式乘法的有关法则解决因式分解的相应问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7. 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 可以. 学生根据小学已学知识回答。 借助问题促使学生回顾因数分解,体会“分解"的具体含义和“互逆"形态的存在,为后续概念教学做好铺垫。 新知探究 做一做： （1） 因为（x+1）2= ，所以x2+2x+1=（x+1）（ ）； （2） 因为x（x-）= ，所以x2- x= x（ ）. 解：（1） 因为（x + 1）2 = x2+ 2x + 1， 所以x2 + 2x + 1 =（x + 1）2=（x + 1）（x + 1）. （2） 因为x（x - ）= x2 - x， 所以x2 - x = x（x - ）. 因式: 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f= gh，那么把 g 叫作 f的一个因式. 此时，h也是f 的一个因式. 例：∵x2 + 2x + 1 =（x + 1）2， ∴x + 1是多项式x2 + 2x + 1的因式. 类似地，∵ x2 - x = x（x - ）， ∴ x 和 x - 都是 x2 - x 的因式. 因式分解: 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 注意：①分解的对象必须是多项式； ②因式分解的结果：积的形式； ③结果中的每一个因式都必须是整式； ④必须分解到每个因式都不能再分解为止. 例1 填空： 因为（x - 2）（x - 3）= ， 所以 =（x - 2）（x - 3）是多项式 的因式分解. 解:（x - 2）（x - 3）= x2 - 3x - 2x +（-2）×（-3） = x2 - 5x + 6， 因此三个空格都填写x2 - 5x + 6. 议一议： 多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？ 运算不同： 多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积， 而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式. 互逆的变形过程： 可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1） x（x - 2y）= x2 - 2xy； （2） x2 - 2x + 1 = x（x - 2）+ 1； （3） 3x2 - x = x（3x -）； （4） xy - x - y + 1 =（x - 1）（y - 1） 解:（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. （3） 是因式分解 . 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式,且 x（3x - ）= 3x2 - x， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 3x2 - x 的 因 式 为 x 和3x- . （4） 是因式分解 . 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且（x -1）（y - 1）= xy - x - y + 1，因而符合因式分解的定义. xy - x - y + 1的因式为x - 1和y - 1. 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于x的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为0. 学生根据已学知识计算观察回答。 学生在教师的引导下总结。 在教师的引导下总结因式分解的概念，进一步探索其注意事项。 学生根据刚学习的因式分解的概念思考回答。 让学生自主地发现一个新的等式变形，即新知识——因式分解。帮助学生理解新知. 培养学生的抽象总结能力。 引导学生总结因式分解的注意事项，加深对概念的理解， 突出这样一种思想方法:因为因式分解与整式乘法是一种互逆的代数式变形，所以可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 课堂练习 1.填空： 因为（x - 4）（x + 5）= ， 所以 =（x - 4）（x + 5）是多项式 的因式分解. 解：x2+x-20 x2+x-20 x2+x-20 2.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1）（x + 1）（x + 2）= x2 + 3x + 2； （2） 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）； （3） x2 - 2 =（x + 1）（x - 1）- 1； （4） 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2 解：（1）不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2）是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式,且 2x2 y + 4xy2 = 2xy（x + 2y）， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 2x2 y + 4xy2 的 因 式 为 2xy和x + 2y . （3）不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. （4） 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式,且 4x2 - 4x + 1 =（2x - 1）2， 因 而 符 合 因 式 分 解 的 定 义 . 4x2 - 4x + 1 的 因 式 为（2x - 1） . 学生利用已学知识作答，小组交流谈论，派代表板书答案。 通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 2.注意事项：①分解的对象必须是多项式； ②因式分解的结果：积的形式； ③结果中的每一个因式都必须是整式； ④必须分解到每个因式都不能再分解为止. 3.与整式乘法的关系： 整式乘法与因式分解一个是 积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。 即：多项式 整式的积 学生回顾总结本节知识点，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$