必修第二册知识点总结-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）

2019人教版高中数学必修二知识点总结 第六章 知识点1 向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点2 向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母，…表示(印刷用黑体，书写时用). 3.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识点3　相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量与平行，记作 (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆 知识点4　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量，在平面内任取一点A，作， ，则向量叫做与的和，记作，即. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量，规定 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是与的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 知识点5　向量加法的运算律 向量加法的运算律 交换律 结合律 g 知识点6　相反向量 1.定义：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：. (3)若，互为相反向量，则，，. 知识点7　向量的减法 1.定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作，则向量，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 知识点8　向量数乘的定义 实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)||＝||||. (2) ()的方向 当时，与同向； 当时，与反向； 特别地，当时，. 当时，. 知识点9　向量数乘的运算律 1.(1). (2). (3). 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，，以及任意实数2，恒有 . 知识点10　向量共线定理 向量 ()与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 . 知识点11　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角(如图所示). 当时，和同向；当时，和反向. 2.垂直：如果和的夹角是，则称和垂直，记作. 知识点12　向量数量积的定义 非零向量的夹角为，数量叫做向量和的数量积(或内积)，记作， 即，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点13　投影向量 在平面内任取一点O，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则 知识点14　平面向量数量积的性质 设向量与都是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量.则 (1) (2) (3)当时， 特别地，或| (4) 知识点15　平面向量数量积的运算律 1.(交换律). 2.(数乘结合律). 3.(分配律). 知识点16　平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 2.基底：若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点17　平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识点18　平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取{}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作. 2.在直角坐标平面中，. 知识点19　平面向量加、减运算的坐标表示 设， 数学公式 文字语言表述 向量加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点，那么向量，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识点20　平面向量数乘运算的坐标表示 已知，则，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点21　平面向量共线的坐标表示 设，其中. 则，共线的充要条件是存在实数λ，使. 如果用坐标表示，可写为，当且仅当时，向量共线. 要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识点22　平面向量数量积的坐标表示 设非零向量，与的夹角为θ. 则. (1)若，则或. 若表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，则，. (2). (3). 知识点23　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点24　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 知识点25　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 推论 知识点26　余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 知识点27　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识点28　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 其中是△ABC外接圆的半径 知识点29　正弦定理的变形公式 1. 2. 第七章 知识点1　复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足. (2)表示方法：复数通常用字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点2　复数的分类 1.复数 ①实数： ②虚数： 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3　复数相等的充要条件 设都是实数，则 ① ②. 知识点4　复平面 知识点5　复数的几何意义 1.复数复平面内的点. 2.复数平面向量 知识点6　复数的模 1.定义：向量的模叫做复数的模或绝对值. 2.记法：复数的模记为或. 3.公式： 知识点7　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：的共轭复数用表示，即若，则. 知识点8　复数加法与减法的运算法则 1.设是任意两个复数，则 (1)； (2). 2.对任意，有 (1)； (2). 知识点9　复数加减法的几何意义 如图，设复数对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量与复数对应. 知识点10　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设，是任意两个复数，则. 2.复数乘法的运算律 对任意复数，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 知识点11　复数除法的法则 设是任意两个复数， 则 第八章 知识点1　多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 知识点2　棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 知识点3　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 知识点4　棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 知识点5　圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 知识点6　圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 知识点7　圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识点8　球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球 相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点9　简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 知识点10　水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识点11　空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴. (2)画底面：平面表示水平平面，平面和表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 知识点12 棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 知识点13　棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高 知识点14　圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积： 侧面积： 表面积： 圆锥 底面积： 侧面积： 表面积： 圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积： 知识点15　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 圆柱底面圆的半径为，面积为，高为 圆锥 圆锥底面圆的半径为，面积为，高为 圆台 圆台上底面圆的半径为，面积为，下底面圆的半径为，面积为，高为 知识点16　球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式(为球的半径). 2.球的体积公式. 知识点17　平面 1.平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 2.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面、平面、平面或平面. 知识点18　点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线上的所有点都在平面内，就说直线在平面内，或者说平面经过直线. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 直线相交于点 平面，相交于直线 知识点19　平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 三点不共线⇒存在唯一的平面使 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ，且 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 且，且 ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 知识点20　空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 知识点21　直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 图形表示 知识点22　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 知识点23　基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 知识点24　空间等角定理 1.定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 ，或 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 知识点25　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 图形语言 知识点26　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 图形语言 知识点27　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 知识点28　两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 图形语言 知识点29　两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)画法： 2.两条直线的位置关系 3.两个定理 (1)基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：直线. ③作用：证明空间两条直线平行. (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②作用：证明两个角相等或互补. 4.平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°. (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是. 知识点30　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线，经过空间任意一点O分别作直线，则异面直线与所成的角(或夹角)就是直线与所成的锐角(或直角). 2.范围：.特别地，当时，与互相垂直，记作. 知识点31　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直 记法 有关概念 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 知识点32　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 图形语言 知识点33　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为， 知识点34　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 图形语言 注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 知识点35　二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角或二面角或二面角或二面角 5.二面角的平面角：(1)若有①；②，；③，则二面角的平面角是. (2)二面角的平面角的取值范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点36　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：. 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 图形语言 知识点37　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 图形语言 第九章 知识点1　全面调查(普查)、抽样调查 1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. 总体：调查对象的全体. 个体：组成总体的每一个调查对象. 2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 样本：从总体中抽取的那部分个体. 样本量：样本中包含的个体数. 知识点2　简单随机抽样 1.定义：一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2.方法：抽签法和随机数法. 知识点3　抽签法、随机数法 1.抽签法：把总体中的个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为的样本. 2.随机数法 (1)用随机试验生成随机数 (2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. 知识点4　用样本平均数估计总体平均数 1.总体平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 为总体均值，又称总体平均数. 2.样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称 为样本均值，又称样本平均数. 知识点5　分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. (1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为，两层抽取的样本量分别为，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为. 则 , (3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 知识点6　获取数据的途径 获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等. 知识点7　频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2.决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. 3.将数据分组 4.列频率分布表 各小组的频率＝. 5.画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 知识点8　常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 知识点9　百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组个数据的第百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算； 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第p百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 知识点10　众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数：如果个数，那么 叫做这n个数的平均数. 知识点11　总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 知识点12　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点13　方差、标准差 1.假设一组数据为，则这组数据的平均数，方差为 标准差为 2.如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称 为总体方差，为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 3.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称 为样本方差，为样本标准差. 4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 第十章 知识点1　随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点2　样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间. 知识点3　随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. 3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件. 知识点4　事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 知识点5　交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB) 知识点6　互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 知识点7　随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 知识点8　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 知识点9　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 知识点10　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果A⊆B，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 知识点11　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 知识点12　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 知识点13　频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点14　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 26 学科网（北京）股份有限公司 $$