江西省宜春市部分重点中学2024-2025学年高一下学期7月份联考数学试卷

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第六章第5节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若实数a,b满足a十bi=i(1一2i)(i是虚数单位)，则2a一b= A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.若角0的终边经过点(-4,5)，则sin0的值为 A.-541 B.-44红 C.44红 D.5红 41 41 41 41 3.在△ABC中，D为AB的中点，点E满足AE=3EC,则ED= A.-CB+1AC B号C店-}Ad C.-1CB+AC D.C弦-号AC 4.已知a,3是两个不同的平面，且直线m⊥a,则“m∥3”是“a⊥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图，△OA'B'是由斜二测画法得到的水平放置的△OAB的直观图，其中OB -AB'-0A'-2,那么原平面图形中，OA边上的高为 A.23 B.4√3 C.2√2 D.42 6.在直四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是矩形，AA1=AB=2AD,E,F,G分别是棱DD1, AB,CC的中点，则直线EF与GB1所成的角的大小为 A需 B. C. D. 【高一7月质量检测·数学第1页（共4页）】 北师大 7.任何一个复数x=a十bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成之=r(cos0+isin0)(其中r≥0,0∈ R)的形式，通常称之为复数之的三角形式，法国数学家棣莫弗发现[r(cos0十isin0)]"=r"(cosn0十 1sin0)(m∈N),我们称这个结论为棣莫弗定理，若复数（一sin-ic0s受）“(m∈N)为纯虚数， 则正整数m的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.10 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a≤b≤c,若tanA,tanB,tanC均为正整数，则 sin Asin Bsin C的值为 A品 B福 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之满足3十5=4i,则下列结论正确的是 A.x|=1 B之的虚部为一： C.在复平面内乏对应的点位于第二象限 D.若复数1满足1一x=2,则之1的最小值为1 10.已知函数f(x)=cossin(x-否)，若函数y一f(x十p)为偶函数，则p的值可以是 A看 B c.罗 晤 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是C1D1,DD1的中 点，P是线段EF上的一动点，则下列说法正确的是 A.BD1⊥AB B.过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面面积为4√② C.点P到平面AB,C的距离为定值 D.当直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取得最大值时，CP=3Y2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(4,一7)，b=(m,3),且a∥b,则实数m的值为 13.已知平面α与平面3间的距离为3，A是平面α内的定点，B,C是平面3内的动点，且满足AB=5,AC =2√3，则sin∠BAC的取值范围是 14.在△ABC中，D是边AB上的一点，且满足∠ACD=∠BCD=号，BD-空，AD,则△ABC的面积为 诺E是边AB的中点，则凭 【高一7月质量检测·数学第2页（共4页）】 北师大 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知a∈（受x),且sin(2025x+a)=-多. (I)求cos(a十平)的值； (2)若tan(a+)=4,求tan3的值. 16.(本小题满分15分) 已知e1,e2为单位向量，向量m=e1十e2,n=4e1十2e2. (1)若m=√3，求n; (2)若m·(n一m)=2,求m与n的夹角. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=Asin(w.x十p)(A>0,w>0,-π<pπ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式及单调递减区间： (2)将函数y=f(.x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点 的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象. 7π 0 11π 若对任意的，∈[吾，]，都有g(a)一g()≤2a-1,求实 24 24 数a的取值范围. 【高一7月质量检测·数学第3页（共4页）】 北师大 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AD⊥AB,PA=√2，AB=BC=1,AD= 2,点E是棱CD上的一点（不同于C,D两点）. (1)求证：平面PAC⊥平面PCD: (2)若CE=ED,求二面角C-PE-A的正切值； (3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长 19.(本小题满分17分) “费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当△ABC的三 个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内 角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且号=asm(B+ (1)求A; (2)若u=c,求sinB+sinC的值； (3)若△ABC的面积为4√3，设点P为△ABC的费马点，求PB·PC的最小值. 【高一7月质量检测·数学第4页（共4页）】 北师大高一数学参考答案、提示及评分细则 1.A因为a十bi=i(1-2i)=2+i,所以a=2,b=1,所以2a-b=3.故选A. 2.D因为角0的终边经过点（一4,5），以sin0= 5 √/(-4)2+5 =5酒故选D 3B由题意知成-A市-A症=2A市-是A心-？(A心+C成)-是A心-C市-A心放选B 4.A因为m⊥a,若m∥3，则&⊥3，所以“m∥3”是“a⊥β”的充分条件；若a⊥B,m⊥a,则m∥B或mC3,所以“m∥g”是 “α⊥”的充分不必要条件.故选A 5.C由题易知∠B'OA'=∠BA'O'=30°，过B作y'轴的平行线交x'轴于M点，则∠B'MA' =45,由正弦定理可知会欲则1=-反，由斜二测画达知除平百图形中，0A边 0' 上的高为2BM=22.故选C. 6.D连接A1E,A1F,易得AE∥GB,所以∠A1EF为直线EF与GB1所成的角或其补角，不妨设AD=1,易得A1E= V2,EF=5,AF=5,所以AE+EF=AF,所以∠AEF=交，所以直线EF与GB所成的角的大小为乏.故 选D. 7.A -sin-i0os爱=sim(-经+晋）-ic0s(受+晋)=cos吾+isn吾，由棣莫弗定理可得 (-simg-ios爱)”=(cas吾十isin吾）”=cosg+isin零，因为复数（一sing-icos爱）”(m∈N)为纯虚 数，所以c0sg=0且sim答≠0，所以=受十kx,k∈乙，得m=4十8，∈乙，所以正整数m的最小值为4.故选A 8.C在△ABC中，a≤b≤c,所以A≤B≤C,所以0°<A≤60°，因为tan60°=√3，y=tanx在(0°，90°)上单调递增，tanA, tanB,tanC均为正整数，所以A,B,C均锐角，所以tanA≤tanB≤tanC,tanA=1,即A=45°，所以B十C=l35°，所以B ≤67.5°，又tan135°= am67.5=-1,即tam67.5”-2tan67.5°-1=0，解得1an67.5°=1+2或an67.5°=1-2 2tan67.5° (舍去)，所以1≤tanB<1十√2，若tanB=1,则tanA=tanB=1,则A=B=45°，此时C=90°，显然不符合题意，所以 mB≠1.则mB=2,所以nB-29,sB-号比时amC--m(A十)-3，符合题意，所以s血C-s血(A+B =s血AosB叶Asin B=号×9+号×25-3，所以sin Asin Bsin C-号×25×3=是放选C 、52 5 5 9AGD由3时5=得3+5=4，所以写系写得结D=一号-青=1A正确：的虑部为一青，B -5 -5(3+4i) 错误=号十音，在复平面内对应的点为（一号，），位于第二象限，C正确：因为：=一十≥ ||1一x|一z||=1,D正确.故选ACD. 10.BD由题意知fx）-6ssn(一吾）停smsx-号osr=气n2x-子cas2x-}-名sn(2x一吾) 子，所以y=fx+p)=sin(2x+2g一晋)-子又函数y=fx+p)为偶函数，所以29吾=kx+受，k∈Z.即 9经+于，k∈Z.所以当k=0时9=子：当k=5时91故选BD 11.AC因为A1D1⊥平面ABB1A1,AB,C平面ABB1A1,所以A1D⊥AB,又AB⊥AB1,AB∩AD,=A1,A1B,A1D C平面A1DB,所以AB1⊥平面A1DB,又BD1C平面AD,B,所以BD⊥AB1,A正确：取AD,的中点G,连接EG, GA,EC,易得EG∥AC,所以过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面为梯形EGAC,又EG=√2，AC=2√2，AG ·易得梯形GAC的高为所以截面面积为2十22×号一号放B错误：因为点E,F分别是 /2 2 【高一7月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 北师大 的中点，易得EF∥AB1,又EF过平面ABC,ABC平面ABC,所以EF∥平面ABC,又点P是线段EF上的一动点， 所以点P到平面ABC的距离为定值，故C正确：因为点P到平面AB1C的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP 与平面AB,C所成角的正弦值取得最大值，此时P是EF的中点，CP=3y,故D错误.故选AC 2 12.一号因为a=,-7D,b(m3,且a/6,则4X8-(-7)m=0,解得m=号 13.「45-3,4W5+3]设A在平面B内的射影为0，则A01平面B,A0=3,因为AB=5,AC=2W3,所以c0s∠BA0 10 10 in∠BA0=吉，cs∠CA0-号sn∠CA0=合，n(∠BA0-∠CA0)=13,sm(∠BA0+∠CO) 3 10 4Y+3,显然0<∠BA0-∠CA0<∠BAC<∠BA0+∠CAO<5,所以sim∠BAC∈4S。3,45+3】 10 10 10 14.153(3分) 1F(2分)在△AGD中，由正孩定理待n之RD在△D中，由正孩定理得 15 sim2 BDCsinZBCD,又∠ACD=∠BCD=吾，∠ADC+∠BDC=x,所以sin∠ACD=sim∠BCD,sin∠ADC= BC BD BDC,又BD-空AD斗，所以瓷品是.在△ABC巾，由余孩定理可得AB=AC+B-2C·B以Cs12r. 即14=AC+BC+AC·BC,解得BC=10,AC=6,所以△ABC的面积为S=号AC·BC·sin∠BCA=153.又S= 号AC,CDsin-哥+2BC.CDsin于，所以CD=卓.因为C庄=2(C+C,所以C产-}(C+2C.C+ 亩)-号[8+2X6x10x(←号)+10]=19，所以=所以号4图 15 3 15.解：(1)因为sin(2025π+a)=sin(π十a)=-sina= 号，所以sina= …2分 又a∈（受，x),所以osa=-V-sma=-√1-（停）=- 5 …4分 7√2 51 2 10 …7分 (2)由(1)可知tana=s加e=-3, 4 …9分 cOS a 因为mo-所以的-普}用 =4, 1+am …11分 解得anPg=是. 13分 16.解：(1)因为m=3,所以m=(e十e)2=G+2e·e2十e=1+2e·e十1=3，解得e·e2=2, …3分 所以nl=|4e+2e=4e+2e)=V16c+16e·e+4e=√16+16×2+4=2W7.…6分 (2)因为m·(n-m)=2, 所以(e+e2)·(4e1+2e2-e1-e)=(e1+e2)·(3e1+e2)=3|e1|2+4e1·e2+|e2|2=2, 1 所以0·e2=-2，… …9分 又m2=(e+e2)2=|e|2+2e1·e2+|e22=1,所以|m=1, 又n=(4e1+2e2)2=16|e1|2+16e1·e2+4e2|2=12,所以|n=2√3， 11分 设m与n的夹角为a,则cosa=mTm m·n=(e十e2)·(4e+2e2)_4e+6e·e十2e_4+2-3_ 1×23 23 23 2,…13分 因为0≤，所以a=否，即m与n的夹角为否. … 15分 【高一7月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 北师大 17.解：1)设f(x)的最小正周期为T,所以是T=-(一)，解得T=, 所以T=2红=元，解得w=2. 2分 由题意知A=3,所以f(x)=3sin(2.x十o),… 3分 又f(费)=3sn(2×费+）=3，所以2×费+g=受+2kxk∈Z.即g=-意x+2x,k∈乙 又-<g,所以g=-受，所以1x)=3sm(2zx-) …5分 令受+2km≤2x登≤<受+2x,6∈Z解得费+<≤7+k,∈Z. 24 即f(x)的单调递减区间为[费+，要十红].k∈7… 8分 (2)将函数y=(x)的图象向左平移牙个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y=3sn[2(x+哥)一段】 3sin(2-）,… …9分 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为g(x)= 3sin(x-号）. …10分 当xe[晋，]x-吾∈[-，]， 所以g(x)m=3,g(x)m=3sin(-吾）=-号， 12分 若对任意的∈[吾，]，都有g()一g()≤2a-1,则2-1>g()sg(x)m=号， …14分 解得。≥头，即a的取值范围是[兴，十∞)。 15分 18.(1)证明：因为BC∥AD,AD⊥AB,AB=BC=1,所以AC=√2，∠CAD=45°， 由余弦定理得CD=√AC十AD-2AC·ADcos45=√2，所以AC2十CD=AD2,所以AC⊥CD,…2分 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,… …3分 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,因此CD⊥平面PAC,… …4分 而CDC平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.… …5分 (2)解：取PC的中点F,过点F作GF⊥PE,垂足为G,连接AF,AG,如图所示. 因为PA=AC=√2，所以PC⊥AF,AF=1,PF=1, 由(1)知CD⊥平面PAC,而PC,AFC平面PAC,所以CD⊥PC,CD⊥AF, 因为CD∩PC=C,CD,PCC平面PCD,所以AF⊥平面PCD,又PEC平面PCD,所以 PE⊥AF, 因为PE⊥GF,AF∩GF=F,AF,GFC平面AFG,所以PE⊥平面AFG,又AGC平面 AFG,所以AG⊥PE, 所以∠AGF为二面角C-PE-A的平面角.… …8分 因为CE=ED,所以CE号，PE√+（停】 1 GF 32 3P℉ 所以Gf=专，所以am∠AGF-品=3. 所以二面角C-PE-A的正切值为3.… …11分 (3)解：在平面ABCD内，过点B作BO⊥AE,垂足为O,连接PO,如图所示. 因为PA⊥平面ABCD,BOC平面ABCD,所以PA⊥BO, 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE,所以BO⊥平面PAE, 【高一7月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 北师大 所以∠BPO为直线PB与平面PAE所成的角.… 13分 所以sin☑BP0品-答解得BO=, …14分 所以sin∠BA0-船告，所以cos∠DAE=Sm∠BAO=专sm∠DAE-是， 所以s∠AED=m(x∠DAE∠ADE)=n(∠DAE+∠ADE)=号×号+青×号-7得 2 101 又在△AED中，由正弦定理得in/DAE sinAED·所以DE-4Dsin<DAE2X号。 DE AD sin∠AED 7√2 7 …17分 10 19.解：D因为'=asim(B+受)，由正弦定理得号snC=-sin Asin(B+受)， 所以号nC=nA(号snB+停asB,又sinC-simA+B)=sin Acos B+-oAsin B, 整理得3 cos Asin B=sin Asin B,… …3分 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,可得3cosA=sinA,即tanA=√3， …4分 因为A∈(0，元)，所以A=牙.… …5分 (2)因为心=是c,由正弦定理得sin Bsin C=号sirA=青×(）广=子 .…7分 由余孩定理得a=分+c-2cosA=6+-灰=导c,即份+=早k, 由正弦定理得simB+sirC-是sin Bsin C-号， 129 所以(snB+snO=sirB+sinC+2 2sin Bin C=子 因为B,C为三角形的内角，则sinB十sinC>0,则sinB+sinC= 2* 10分 (3)因为∠BAC-吾，所以△ABC的内角均小于，所以点P在△ABC的内部，且∠APB=∠BPC=∠CPA=牙 31 由Src=号sinA=43,得bc=16,… …11分 设∠BAP=0.0E(o,号)，则∠CAP-否-， 在△PAB中，由正弦定理得。n乙APB即PB=看sin. …12分 在△PAC中，由正弦定理得 PC sm2pm即cn(g-）, b 13分 in(ξ-0） 所市.衣PB.等音nXa(吾-小x(-》 3 号snn(答-）=-号snin(语-) 4 =-号停m20+w29）=-9sn(2g叶)+号 …15分 因为9e(o,3),所以29+吾∈（语，），所以sim(20+吾)e(3,1]·所以-9n(29+吾)+∈[-，0)， 所以P成.P六的最小值为号 …17分 【高一7月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 北师大