精品解析：河北省唐山市丰润镇中2024-2025学年八年级下学期学情监测数学试题

2024~2025学年度下学期学情监测 八年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 由线段，，组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，是直角三角形； B、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，是直角三角形； C、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，不是直角三角形； D、，满足最长边的平方等于另两边的平方和，是直角三角形； 故选：C 2. 如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角互补，先根据平行四边形的性质得，结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，最简二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同即可合并，据此进行分析即可作答． 【详解】解：A、已是最简形式，被开方数为6，与的被开方数2不同，不能合并； B、，被开方数为3，与2不同，不能合并； C、，被开方数为2，与相同，可以合并； D、，被开方数为6，与2不同，不能合并； 故选：C 4. 如图是中山公园一角的平面地图，利用软件测得起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米，如果，那么与两点之间的距离大约是（ ） A. 30米 B. 35米 C. 40米 D. 42米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．先理解题意得出米，米，结合勾股定理列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米， ∴米，米， 连接，如图所示： ∵， ∴（米）， 故选：D． 5. 已知点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次根式的减法运算，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：B． 6. 市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 7. 如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算的应用，正方形的面积，利用线段的和差得出边长是解决此题的关键．根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案． 【详解】解：正方形③的边长为1，阴影部分的面积为， 阴影部分的长， 正方形②的边长， 正方形①的边长， 正方形①的面积为， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题关键是根据矩形的性质得出，再根据中位线的性质求出的长即可． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点 ∴，，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 9. 若一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据对角线长求出菱形的面积和边长，再结合 等面积法进行列式计算，得出这个菱形的高，即可作答． 【详解】解：如图所示，菱形，对角线交于点O， ∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴设， 则，， ∴， 菱形的面积为， ∴菱形的高为， 故选：B． 10. 如图，，分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 明明： 分别过点，作于点，于点． 下列关于以，，，为顶点的四边形的说法正确的是（ ） A. 聪聪作的四边形是菱形 B. 明明作的四边形是菱形 C. 聪聪作的四边形是矩形 D. 明明作的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据聪聪的作法，证明，得到，从而可得到，可判定聪聪作的四边形是矩形；根据明明的作法，证明，得到，，可判定明明作的四边形是平行四边形．即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由聪聪作图可知：， ∴， ∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项符合题意； ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的值为_____（写出一个符合题意的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 故答案为：1（答案不唯一，即可）． 12. 化简_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的性质化简是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出，结合栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．得出是的中线，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分． ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 14. 摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为______（结果保留整数；参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，求代数式的值，解决本题的关键是根据．摆钟的摆锤长为，求出摆锤摆动一个来回需要的时间，再根据分钟等于秒可以求出在分钟内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：．若某摆钟的摆锤长为， ， 又， 在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为下． 故答案为： ． 15. 如图1，中，，，，在上截取，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为_____；如图2，在菱形中，与交于点，，，线段在对角线上运动，点在点上方，，连接和．当的值最小时，的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图1，根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据求解 ．如图2，在上截取点，使，连接，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当，，三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，∵，， ， ∴， ， ， ， ， ， 如图2所示，在上截取点，使，连接， 在菱形中，与交于点，，， ，，，，， ∴，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 过点A作，且，连接，则四边形是平行四边形， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值， 连接交于点，连接， 当与点重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，，两点之间线段最短，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再进行减法运算，即可作答． （2）先运用完全平方公式进行展开，再二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴． 18. 如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 【答案】四边形是平行四边形，这个停车位的面积是 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．先根据两组对边分别相等是四边形是平行四边形进行判断，然后过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出，然后根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 19. 劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． （1）求小路的长； （2）求的度数和蔬菜区的面积． 【答案】（1）小路的长为25米 （2）的度数为，蔬菜区的面积为150平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，米，米， ∴(米)， 答：小路的长为25米． 【小问2详解】 解：∵的边长为20米，边长为15米，边长为25米， ∴，， ∴， ∴， ∴(平方米) ． 答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米． , 20. 已知，在中，，，，为垂足． （1）求证； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质得出，，再证明即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，再利用三角形内角和求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． 21. （1）若，为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到，解不等式组得到，据此求出y的值即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件得到，则可得到，则，再把等式两边同时平方即可得到答案． 【详解】解：（1）∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵式子有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【答案】（1） 证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 23. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，化为最简二次根式，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 24. 如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，点B，C分别在轴和轴上，顶点的坐标为，是对角线上一动点，连接，过点作交射线于点． （1）如图1，求证； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接交于点，当时，求的面积． 【答案】（1） 解：过点D作于点，于点N， ∴， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， ， ， ； （2）点D的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点，于点N，证明，即可得； （2）在中，利用勾股定理求出，则，在等腰直角中，求出，则，即可求解； （3）过点B作，且，连接，，交于点H，先证明，再证明，得出，设，可得，在中，根据勾股定理，，列式求出，即，再求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：顶点A的坐标为，四边形是正方形， ，， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ， 在等腰直角中，根据勾股定理得， ， ， 点D的坐标为； 【小问3详解】 解：过点B作，且，连接，，交于点H， 四边形是正方形， ，，，，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期学情监测 八年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 由线段，，组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，已知，若四边形为平行四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是中山公园一角的平面地图，利用软件测得起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米，如果，那么与两点之间的距离大约是（ ） A. 30米 B. 35米 C. 40米 D. 42米 5. 已知点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 6. 市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点分别为的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 9. 若一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 10 10. 如图，，分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图． 聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 明明： 分别过点，作于点，于点． 下列关于以，，，为顶点的四边形的说法正确的是（ ） A. 聪聪作的四边形是菱形 B. 明明作的四边形是菱形 C. 聪聪作的四边形是矩形 D. 明明作的四边形是矩形 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的值为_____（写出一个符合题意的值即可）． 12. 化简_________． 13. 如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为_____． 14. 摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为______（结果保留整数；参考数据：）． 15. 如图1，中，，，，在上截取，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为_____；如图2，在菱形中，与交于点，，，线段在对角线上运动，点在点上方，，连接和．当的值最小时，的长为_____． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 19. 劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． （1）求小路的长； （2）求的度数和蔬菜区的面积． 20. 已知，在中，，，，为垂足． （1）求证； （2）若，，求的度数． 21. （1）若，为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 22. 如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 23. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 24. 如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，点B，C分别在轴和轴上，顶点的坐标为，是对角线上一动点，连接，过点作交射线于点． （1）如图1，求证； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接交于点，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $