第13讲 一次函数的图象与性质（3大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第13讲 一次函数的图象与性质（6大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正比例函数的图象与性质 典型例题二 判断一次函数的图象 典型例题三 根据一次函数增减性求参数 典型例题四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 典型例题五 比较一次函数值的大小 典型例题六 画一次函数图象 典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围 典型例题九 求一次函数解析式 典型例题十 一次函数图象与坐标轴的交点问题 典型例题十一 一次函数图象平移问题 典型例题十二 与一次函数有关的规律探究问题 典型例题十三 与一次函数有关的最值问题 知识点01 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期末）函数y＝﹣2x+5（1≤x≤2）的图象是直线． （判断对错） 知识点02 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于 （填一个即可）． 知识点03 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 知识点04 一次函数图象的画法 1、 描点法 根据函数解析式，任意选取自变量 x 的两个值，求出对应的函数值 y，得到两点的坐标。在坐标系中描出这两点，然后用直尺画一条通过这两点的直线。 2、 两点法 因为两点确定一条直线，所以只需找到满足函数解析式的任意两个点即可。 常用两点： 与 y 轴的交点： 当 x = 0 时，y = b，得到点 (0, b)。 与 x 轴的交点： 当 y = 0 时，解方程 0 = kx + b，得到 x = -b/k (k ≠ 0)，得到点 (-b/k, 0)。 【即时训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）下列哪两个点确定的直线经过原点（    ） A．（1,2）和（2,3） B．（2,-3）和（-5，5） C．（-2,3）和（4，-6） D．（2,3）和（-4,6） 【即时训练】 2．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 知识点05 一次函数图象的平移 1、 上下平移 直线 y = kx + b 可以看作是由直线 y = kx 向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 个单位长度得到的。 y = kx + b 的图象是由 y = kx 沿 y 轴方向平移 b 个单位。 2、左右平移 【例】y = k(x - m) 的图象是由 y = kx 向右(m>0)平移 |m| 个单位得到。但一次函数一般形式 y = kx + b 主要体现上下平移。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）将直线向下平移2个单位长度，得到的函数表达式为 ． 知识点06 一次函数图象的性质总结 函数表达式 图象形状 过定点 增减性 (k 决定) 与 y 轴交点 (b 决定) y = kx + b (k≠0) 直线 (0, b) (必过) k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 (0, b) y = kx (k≠0) 直线 (0, 0) (必过) 同上 (0, 0) 【即时训练】 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点 ． 【典型例题一 正比例函数的图象与性质】 【例1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点在函数的图象上 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·广东惠州·期中）直线经过第 象限，随增大而 ． 【例4】（24-25八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数，，，从小到大排列并用“<”连接为 ．    1．（24-25八年级上·全国·课后作业）画出函数的图象，并指出自变量x的取值范围． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了． （1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）画出此函数的图象． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【典型例题二 判断一次函数的图象】 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期中）高精度压力测力仪广泛应用于工业制造、航空航天等领域．如图1是某压力测力仪的电路原理示意图，是一种新型电子元件，在压力不超过的前提下，其阻值随压力大小的变化规律如图2所示，则下列说法不正确的是（   ） A．在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小 B．在仪表量程范围内，压力每增大，随之增大 C．当时，的阻值为 D．在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 【例4】（2025·江苏南通·模拟预测）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是 ． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）函数的图象如图所示，那么函数的图像是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根的情况． 问题：探究方程的实数根的情况．下面是“启迪”数学兴趣小组的探究过程，请帮补充： （1）先设函数 注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，y=________； （2）在如图所示的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（1）中的解析式，通过描点、连线，画出当时的函数图象； （3）画出直线，由此可知方程的实数根有__________个． （4）当关于x的方程有3个实数根，则k的取值范围为__________． 【典型例题三 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）当时，一次函数（m为常数），y有最大值6，则m的值为（    ） A． B． C．2或6 D．或6 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知点都在直线上，若，则k的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【例3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是 ． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)为何值时，函数图象平行于直线？ (3)直接写出的两个值，使一次函数的值都是随值的增大而减小？ 【典型例题四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知均是正整数，且，，则的最大值与最小值的差为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 1．（23-24八年级上·广东河源·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）直线l：（k、b是常数，）经过、两点，其中，下列四个结论：①方程的解在和0之间；②若点、在直线l上，则；③；④不等式的解集为时，，其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【典型例题五 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图是某一次函数的图像，点、为该图像上两点，如果时，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知直线经过点，那么 （填“<”、“>”或“=”）． 【例4】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与 的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【典型例题六 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．   B．   C．   D．   【例3】（2025八年级上·上海·专题练习）已知一次函数， （1）如果函数的图像在x轴的上方，这时x应满足的条件是 ； （2）如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点与． (1)在所给的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)求该一次函数的解析式． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象会经过第（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图象不经过第 ． 【例4】（2025·四川南充·模拟预测）在直角坐标系中，一次函数的图象经过的定点是 ． 1．（2025八年级上·云南·专题练习）一次函数与图象如图所示，则的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 2．（2025·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习） 已知一次函数，它的图象经过点和． (1)一次函数的图象经过第___________象限，y随 x的增大而___________． (2)求y 与 x 之间的函数表达式． (3)当时，直接写出自变量 x 的取值范围． 【典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知实数满足，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试）正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【例4】（24-25八年级上·四川内江·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，且关于的分式方程的解大于2，则的取值范围是 ． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图所示的是一次函数l：的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)填空：k________0，b________0（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若A，B，用待定系数法求直线l的解析式； (3)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【典型例题九 求一次函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若，则直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）已知直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，如表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间x（单位：）和水温y（单位：）的数据：在水烧开之前（即），水温y与时间x之间的关系式为 ． 0 2 4 6 8 10 12 14 … 26 42 58 74 90 100 100 100 … 1．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（   ） 出水时间（min） … 5 10 15 20 … 剩余水量 … 120 90 60 30 … A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，直线l与y轴交于点坐标为，过点，，直线l对应的函数表达式为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【典型例题十 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某一次函数的图像与轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知一次函数与x轴的交点是 ，与y轴的交点是 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为 ． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典型例题十一 一次函数图象平移问题】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线向上平移3个单位得到直线（k，b为常数，且），若点P在直线上，且点P的横坐标为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）将直线向上平移4个单位长度得到的直线的解析式为 ． 【例4】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，斜边恰好落在直线上，则的值为 ． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 3．（2024·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线经过，直线与x轴交于点C，与直线交于点D． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积； (3)嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值．    【典型例题十二 与一次函数有关的规律探究问题】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）正方形按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【典型例题十三 与一次函数有关的最值问题】 【例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知点，在直线（为常数，）上，则有（　　） A．最大值 B．最大值9 C．最小值 D．最小值9 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知正比例函数，当时，函数的最大值为8，则k的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【例3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是 ． 【例4】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知一次函数（其中k为常数且）经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）直线向下平移3个单位得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北衡水·期中）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l：经过点M，一组抛物线的顶点，．．．．，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：（n为正整数），若，当d为何值时，这组抛物线中存在“美丽抛物线”．对于这道题目，甲的结果是，乙的结果是，则（   ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲，乙的结果合在起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 6．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 7．（2025·山东滨州·模拟预测）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 9．（24-25八年级上·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为 ． 10．（24-25八年级上·吉林·期末）正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．    11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）试说明点，，在同一条直线上． 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，直线是一次函数的图象． (1)求直线的解析式； (2)如果直线向上平移3个单位后，经过点，求的值． 14．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知y是x的函数．变量x，y的一些对应值如下表，根据表格回答下列问题． 1 2 3 4 2 0 (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该函数的解析式为 ； (3)将该函数图象向下平移6个单位长度后，对应的函数解析式为 ． 15．（2025·山东济南·模拟预测）物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的函数．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的关系，进行了6次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 x 0 10 20 30 40 50 y 6 9 12 17 18 21 (1)你认为表中第_____次数据y是错误的？正确的值是_____． (2)观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式． (3)当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量． (4)若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数的图象与性质（6大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正比例函数的图象与性质 典型例题二 判断一次函数的图象 典型例题三 根据一次函数增减性求参数 典型例题四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 典型例题五 比较一次函数值的大小 典型例题六 画一次函数图象 典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围 典型例题九 求一次函数解析式 典型例题十 一次函数图象与坐标轴的交点问题 典型例题十一 一次函数图象平移问题 典型例题十二 与一次函数有关的规律探究问题 典型例题十三 与一次函数有关的最值问题 知识点01 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置． 【详解】解：∵函数y＝kx+b的k＜0，b＞0， ∴该函数图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期末）函数y＝﹣2x+5（1≤x≤2）的图象是直线． （判断对错） 【答案】错 【分析】由于一次函数y＝﹣2x+5为直线，但当1≤x≤2时，函数y＝﹣2x+5（1≤x≤2）的图象应该为线段． 【详解】解：当x＝1时，y＝﹣2x+5＝3； 当x＝2时，y＝﹣2x+5＝1， 所以当1≤x≤2时，1≤y≤3， 所以函数y＝﹣2x+5（1≤x≤2）的图象是一条线段， 所以原说法错误； 故答案为：错． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像，掌握一次函数的图像与自变量的取值范围的联系是解题的关键． 知识点02 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象，利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限． 【详解】解：正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点03 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的对称性，根据正比例函数关于原点对称即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴由正比例函数的对称性可知它一定经过， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的性质．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴代入得：， 解得：， 故答案为：2． 知识点04 一次函数图象的画法 1、 描点法 根据函数解析式，任意选取自变量 x 的两个值，求出对应的函数值 y，得到两点的坐标。在坐标系中描出这两点，然后用直尺画一条通过这两点的直线。 2、 两点法 因为两点确定一条直线，所以只需找到满足函数解析式的任意两个点即可。 常用两点： 与 y 轴的交点： 当 x = 0 时，y = b，得到点 (0, b)。 与 x 轴的交点： 当 y = 0 时，解方程 0 = kx + b，得到 x = -b/k (k ≠ 0)，得到点 (-b/k, 0)。 【即时训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）下列哪两个点确定的直线经过原点（    ） A．（1,2）和（2,3） B．（2,-3）和（-5，5） C．（-2,3）和（4，-6） D．（2,3）和（-4,6） 【答案】C 【分析】将四个选项中的坐标点在平面直角坐标系中表示出来，连线即可得出结果. 【详解】    将四个选项中的点在坐标轴上表示出来连线，只有C符合要求. 故选C. 【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系中点的认识，会找点标点是解题的关键. 【即时训练】 2．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 知识点05 一次函数图象的平移 1、 上下平移 直线 y = kx + b 可以看作是由直线 y = kx 向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 个单位长度得到的。 y = kx + b 的图象是由 y = kx 沿 y 轴方向平移 b 个单位。 2、左右平移 【例】y = k(x - m) 的图象是由 y = kx 向右(m>0)平移 |m| 个单位得到。但一次函数一般形式 y = kx + b 主要体现上下平移。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线为， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）将直线向下平移2个单位长度，得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，要注意求直线平移后的解析式时k的值不变，只有b发生变化． 上下平移时k值不变，b值是上加下减，依此求解即可． 【详解】解∶将直线向下平移2个单位长度，得到直线； 故答案为：． 知识点06 一次函数图象的性质总结 函数表达式 图象形状 过定点 增减性 (k 决定) 与 y 轴交点 (b 决定) y = kx + b (k≠0) 直线 (0, b) (必过) k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 (0, b) y = kx (k≠0) 直线 (0, 0) (必过) 同上 (0, 0) 【即时训练】 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质可得，进而可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴， ∴一次函数中，，， ∴一次函数过第一、三、四象限， 故选：B． 【即时训练】 2．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点 ． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】解：一次函数， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 点A在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点A， 故答案为：A． 【典型例题一 正比例函数的图象与性质】 【例1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 【分析】依据题意，由正比例函数图象的性质即可进行解答． 本题主要考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式． 【详解】解：A、由题意，， 图象经过第二、第四象限，故A错误； B、由题意，正比例函数，当，则， 该函数的图象是一条经过原点的直线，故B正确； C、由题意，， 随x的增大而减小，故C错误； D、，且当，则， 点不在函数的图象上，故D错误； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·广东惠州·期中）直线经过第 象限，随增大而 ． 【答案】 一、三 增大 【分析】本题考查了正比例函数图象与性质，根据正比例函数图象与系数的关系即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴直线经过第一、三象限，随增大而增大， 故答案为：一、三，增大． 【例4】（24-25八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数，，，从小到大排列并用“<”连接为 ．    【答案】 【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）画出函数的图象，并指出自变量x的取值范围． 【答案】图见解析，自变量x的取值范围是全体实数 【分析】取特殊值，得到函数y＝0.5x的图象上的两点坐标，然后由“两点确定一条直线”作图． 【详解】解：∵， ∴当x＝0时，y＝0， 当x＝2时，y＝1， ∴该直线经过点（0，0），（2，1）， 其图象如图所示： ， 自变量x的取值范围是全体实数． 【点睛】本题考查了正比例函数图象，属于基础题型，熟练掌握画图方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了． （1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）画出此函数的图象． 【答案】（1）：（2）图见解析 【分析】（1）设，然后根据一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了即点（6，3.6）在函数图像上进行求解即可； （2）先列表，然后描点，画出函数图像即可． 【详解】解：（1）设，把点（6，3.6）代入得：， 解得， ∴函数y关于自变量x的解析式为：，自变量的取值范围为：； （2）列表如下： x 0 35 0 21 函数图像如下所示： 【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，画函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 【典型例题二 判断一次函数的图象】 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期中）高精度压力测力仪广泛应用于工业制造、航空航天等领域．如图1是某压力测力仪的电路原理示意图，是一种新型电子元件，在压力不超过的前提下，其阻值随压力大小的变化规律如图2所示，则下列说法不正确的是（   ） A．在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小 B．在仪表量程范围内，压力每增大，随之增大 C．当时，的阻值为 D．在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质的应用；根据函数图象得出电阻与压力的函数关系,结合选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 由图2知在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小，故该选项正确，符合题意； B. 在仪表量程范围内，压力每增大，随之减小，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，的阻值为，故该选项正确，符合题意； D. 在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系，故该选项正确，符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 【答案】-4 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2，代入2（3a-b）即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上， ∴b=3a+2， 则3a-b=-2． ∴6a-2b=2（3a-b）=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式． 【例4】（2025·江苏南通·模拟预测）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是 ． 【答案】点B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式的解集是得到一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即， ∵，， ∴点A的纵坐标应该大于2，点C的纵坐标应该小于2，点D的纵坐标应该小于2， ∴，，一定不在直线直线上， ∵，，，四个点中，有一个点在直线上， ∴点在直线上， 故答案为：点B 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）函数的图象如图所示，那么函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线中，是解题的关键． 利用二次函数的图象判断，，，，据此即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵对称轴在轴的右侧， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ， ∵，， ， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根的情况． 问题：探究方程的实数根的情况．下面是“启迪”数学兴趣小组的探究过程，请帮补充： （1）先设函数 注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，y=________； （2）在如图所示的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（1）中的解析式，通过描点、连线，画出当时的函数图象； （3）画出直线，由此可知方程的实数根有__________个． （4）当关于x的方程有3个实数根，则k的取值范围为__________． 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）3；（4） 【分析】（1）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可； （2）通过描点、连线，画出图像即可； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象分析即可求解； 【详解】解：（1）当时，； 故答案是：； （2）图象如图： （3）由图象可知，直线与函数图象有3个交点， ∴方程的实数根有3个； 故答案是3． （4）由图象可知，直线与的交点时，k的取值范围是； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象应用，准确分析判断是解题的关键． 【典型例题三 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）当时，一次函数（m为常数），y有最大值6，则m的值为（    ） A． B． C．2或6 D．或6 【答案】D 【分析】利用一次函数的性质，对进行分类讨论，，随增大而增大，当时，y有最大值6；，随增大而减小，当时，y有最大值6；最后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，随增大而增大， 当时，y有最大值6， 即：， 解得：； ，随增大而减小， 当时，y有最大值6， 即：， 解得：； ∴m的值为或． 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法求表达式，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知点都在直线上，若，则k的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据题意，点A、B、C在直线上，分别代入各点的x坐标，得到，，，由条件，依次判断各选项中k的值是否满足不等式． 【详解】解：选项A，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项B，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项C，当时， ，，， 乘积为，不满足条件； 选项D，当时， ，，， 乘积为，满足条件； 只有选项D满足， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质.根据一次函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，根据一次函数图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】解：．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由可知，则，故该选项符合题意； ．由图象可知，，故，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是 ． 【答案】6 【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上， ∴， 即， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴ab＝9， ∴， ∵， ∴， 解得c＝6（舍去负值）， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)为何值时，函数图象平行于直线？ (3)直接写出的两个值，使一次函数的值都是随值的增大而减小？ 【答案】(1)时，函数图象经过点 (2)时，函数图象平行于直线 (3)k的值为1，0（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质． （1）把代入函数解析式求解即可； （2）根据比例系数相同时两条直线平行即可求解； （3）根据一次函数增减求出k的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：因为一次函数图象经过点， 所以，， 解得．      所以时，函数图象经过点． （2）解：因为函数图象平行于直线， 所以，， 解得           所以时，函数图象平行于直线． （3）解：因为一次函数的值都是随值的增大而减小， 所以， 所以， 故k的值为1，0（答案不唯一）． 【典型例题四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知均是正整数，且，，则的最大值与最小值的差为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，先由已知得到，，然后代入得到，然后求出的取值范围计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵，解得，且a为整数， ∴当时，最大为； 当时，最小为； ∴最大值与最小值的差为， 故选B． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出当时，自变量的值，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当时， 解得： ∵函数， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】先根据直线经过点得到，再分，，三种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，则，则直线即为直线， 又∵当时，y的最大值为6， ∴此种情况不成立； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 联立①②得：； 当时，则y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 联立①③得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 1．（23-24八年级上·广东河源·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，， ∴， 即．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即， ∴，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）直线l：（k、b是常数，）经过、两点，其中，下列四个结论：①方程的解在和0之间；②若点、在直线l上，则；③；④不等式的解集为时，，其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①③④ 【分析】根据图象可对①进行判断；根据题意b＝2，m＝−k＋2＜0，解得k＞2，可对③进行判断；根据一次函数的性质可对②进行判断；由b＝2，m＝−k＋2，不等式kx＋b＞−m化为kx＋2＞k−2，得到，解得k＝3，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（−1，m）两点，其中m＜0， ∴直线与x轴的交点横坐标在−1和0之间，故①正确； ∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（−1，m）两点，其中m＜0， ∴b＝2， ∴m＝−k＋2＜0， ∴k＞2，故③正确； ∵k＞0，y随x的增大而增大， ∵x1＜x1＋1， ∴y1＜y2，故②错误； ∵b＝2，m＝−k＋2， ∴不等式kx＋b＞−m化为kx＋2＞k−2， ∴kx＞k−4， ∵不等式kx＋b＞−m的解集为x＞−， ∴， 解得k＝3，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，根据题意得出k＞0，b＝2是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【答案】(1)，0 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③ 【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可； （2）根据描点法画函数出图像即可； （3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可； ②根据图像的增减性可求解； ③根据图像的最低点可求得该函数的最小值． 【详解】（1）解：由表格知，当时，， 当时，， 故答案为：，0； （2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线， 则函数图像如图所示：    （3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等， 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，由得或， 当时，由得或， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； ③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键． 【典型例题五 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性；根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小． ∵ ∴， ∴最小的值为， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图是某一次函数的图像，点、为该图像上两点，如果时，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小． 根据一次函数性质求解即可． 【详解】解：根据一次函数的图象可知，y随x增大而减小， ∵， ∴； 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知直线经过点，那么 （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答的关键．根据得到函数y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴函数y随x的增大而减小， ∵直线经过点，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与 的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故答案为：． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握k的符号如何决定函数的增减性是解题的关键． 先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】∵直线，其中． ∴根据一次函数性质，当时，随的增大而减小． ∵三点的横坐标分别为，，， ∴． ∵随增大而减小， ∴对应的纵坐标大小关系为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据一次函数中判断出函数的增减性，再根据进行解答即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2)函数值的最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质， （1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值； 熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y的值为最小，最小值． 【典型例题六 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 【详解】解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意确定出前段时间沙漠化后的绿地面积不断减少，改变环境后绿地面积在增大，并判断出图象，然后选择答案即可． 【详解】解：原有绿地万公顷，前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年， 绿地面积， 为随着时间增大而减小的一条线段， 环境恶化后，以每年0.3万公顷的速度进行绿化， 所以，绿地面积每年以万公顷的速度增加， 为随着的增大而增大的射线， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理清土地沙漠化的变化过程，分决定改变环境前后两段确定函数图象是解题的关键． 【例3】（2025八年级上·上海·专题练习）已知一次函数， （1）如果函数的图像在x轴的上方，这时x应满足的条件是 ； （2）如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是 ． 【答案】 / / 【分析】先画出的函数图像，然后求出与坐标轴的交点坐标，观察图像即可得到答案． 【详解】解：如图，画出的函数图像， 令，解得， ， 由图像可得，当时，函数的图像在x轴的上方； 由图像可得，当时，函数的图像在y轴的左侧， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数图像与性质，利用数形结合的方法解决问题，解题的关键就在于求出函数图像与坐标轴的交点坐标． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点睛】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点与． (1)在所给的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)求该一次函数的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，画一次函数的图象，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）描点作出与，过这两点作直线即可； （2）利用待定系数法即可求得． 【详解】（1）如图所示，一次函数图象为所求； （2）设一次函数的解析式为 一次函数图象过点与． ， 解得． ． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)点坐标， 点坐标 (2)见解析 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）令求出y的值，再令求出x的值即可得出A、B两点的坐标； （2）利用两点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：， ∴，； （2）解：一次函数的图象如图： 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【答案】(1)0；； (2)见解析 (3)1；小； (4)9 【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把或1或2代入函数解析式，即可解； （2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可； （3）观察图形即可得出结论； （4）根据图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0；；； （2）解：函数图象如下图所示： ， （3）解：观察图象得： 图象关于直线对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是； 故答案为：1；小；； （4）解：画出直线，根据整点的定义可知，有九个整点． . 故答案为：9． 【典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象会经过第（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，熟悉一次函数的性质是解答本题的关键． 根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、第三、第四象限， 故选C． 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，熟练掌握、的符号与函数图象的位置关系是解题的关键．根据点在第四象限，可知，，然后根据、的符号与函数图象的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴经过一、三、四象限． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图象不经过第 ． 【答案】二象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 由，根据一次函数图象与系数的关系即可判断． 【详解】解：∵， ∴此一次函数图象经过第一、三、四象限， 故不经过第二象限， 故答案为：二象限． 【例4】（2025·四川南充·模拟预测）在直角坐标系中，一次函数的图象经过的定点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； 由可知，当时，不论取何值，总有，然后即可求解 【详解】解：，由可知，当时，不论取何值，总有， ∴直线必经过点， 故答案为：． 1．（2025八年级上·云南·专题练习）一次函数与图象如图所示，则的图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 【答案】D 【分析】先根据、的函数图象，分析得出、、、的取值范围，再计算的表达式中一次项系数和常数项的范围，从而确定其图象经过的象限． 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握根据一次函数图象判断系数的符号及范围，进而确定新函数图象经过的象限是解题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知， 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，且y轴上负半轴的交点离坐标原点更远， 所以． 函数的图象与x轴的正半轴夹角小于， 所以， 函数的图象与x轴正半轴的夹角是一个锐角，且大于， 所以， 所以． 故的图象经过的象限是第二、三、四象限． 故选：D． 2．（2025·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象所过象限与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∵，， ∴直线经过第二、四象限， ∴两个函数图象都经过第二象限， ∴交点在第二象限， 故答案为：二． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习） 已知一次函数，它的图象经过点和． (1)一次函数的图象经过第___________象限，y随 x的增大而___________． (2)求y 与 x 之间的函数表达式． (3)当时，直接写出自变量 x 的取值范围． 【答案】(1)一、二、三，增大 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据待定系数法即可得到结论； （3）根据一次函数的性质得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数，它的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大， 故答案为：一、二、三，增大． （2）解：把点和代入得 ， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （3）解：当时，，当时，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 【典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知实数满足，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，符合题意； 故选：． 【例2】（重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试）正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象经过第二、四象限时比例系数的符号特征，建立不等式求解即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得 故选：D 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， 故只需写出的任意一个数即可， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·四川内江·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，且关于的分式方程的解大于2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，分式方程的解，一元一次不等式组，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，可知且，求出a的取值范围，根据关于y的分式方程的解大于2，可得，求出a的取值，进一步即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴且， 解得， 解分式方程， 去分母，得， 解得， ∵的解大于， ∴， 解得， 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判别式，由一次函数的图象可得，，即得，进而可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本体考查概率及一次函数的性质，根据图像经过第二、三、四象限得到及，找出所有情况及两个都小于0的情况结合概率公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵图像经过第二、三、四象限， ∴及， 树状图如图， 总共有：种情况，同时小于0的情况有2种， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图所示的是一次函数l：的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)填空：k________0，b________0（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若A，B，用待定系数法求直线l的解析式； (3)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【答案】(1)>，> (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象与系数的关系求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据一次函数图象平移的规律可得平移后的函数解析式为，再根据平移后的图象回到l的位置，可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，，， 故答案为：>，>； （2）解：把，B代入得， ， 解得， ∴一次函数l的解析式为； （3）解：将直线l：向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得，， ∵平移后的图象回到l的位置， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象平移的规律，熟练掌握一次函数图象与系数的关系和一次函数图象平移的规律是解题的关键． 【典型例题九 求一次函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若，则直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将选项中所给点的坐标代入验证，符合的特征即可，据此可解决问题． 【详解】解：将点代入得，，不符合的形式，所以A选项不符合题意． 将点代入得，，不符合的形式，所以B选项不符合题意． 将点代入得，，即，不符合的形式，所以C选项不符合题意． 将点代入得，，即，符合的形式， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）已知直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，由已知可设直线的解析式为，再把代入计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线与轴交点的纵坐标为， ∴点在直线上， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，如表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间x（单位：）和水温y（单位：）的数据：在水烧开之前（即），水温y与时间x之间的关系式为 ． 0 2 4 6 8 10 12 14 … 26 42 58 74 90 100 100 100 … 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数的关系式，解题的关键是得出开始时温度为，每增加，温度增加．由表知开始时温度为，每增加，温度增加，得出y是x的一次函数，用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：由表知开始时温度为，每增加，温度增加， ∴y是x的一次函数， ∴设温度y与时间x的关系式为：，把时，，时，代入得： ， 解得：， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（   ） 出水时间（min） … 5 10 15 20 … 剩余水量 … 120 90 60 30 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，由饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少得与满足一次函数关系式，由待定系数法即可求解；能判断出与满足一次函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由表格得 饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少， 与满足一次函数关系式， 设，则有 ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，直线l与y轴交于点坐标为，过点，，直线l对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，根据直线l与y轴交于点坐标为，设直线l的函数表达式为，代入，两点，可得k的值，即得直线l对应的函数表达式． 【详解】解：∵直线l与y轴交于点坐标为， ∴设直线l的函数表达式为， 代入，， 得，， 解得：， ∴直线l的函数表达式为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 【典型例题十 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某一次函数的图像与轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各选项中一次函数与与轴交点坐标，即可求解． 【详解】解：A. 直线与轴交于点（0，0），故不合题意； B.直线与轴交于点（0，-2），故不合题意； C.直线与轴交于点（0，2），故符合题意； D.直线与轴交于点（0，-1），故不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数图象与y轴交点坐标，其方法是把x=0代入解析式求出y的值即可． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意点是线段的中点，由一次函数的解析式求得、坐标，进而即可求得的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点， ， 点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分， 是的中点， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知三角形的中线的性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知一次函数与x轴的交点是 ，与y轴的交点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，分别令，进行计算即可得出答案． 【详解】解：在中，当时，，即与y轴的交点是， 当时，，解得，即与x轴的交点是， 故答案为：，． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，结合的面积为1，可得出关于b的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 又∵的面积为1， ∴，即， 解得：， ∴b的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，找出关于b的方程是解题的关键． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键．本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∵一次函数与都过， ∴， ∴，， ∴， ，，， 正确的结论是D，符合题意， 故选D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．分别利用当直线过点C时及当直线过点A时的值，据此即可求解． 【详解】解：一次函数中，令，得， ， 将联立方程组得： ，解得：， ， 一次函数中，令，则， 故， 直线过定点，如图， 当直线过点C时，将代入得： ，解得：， 当直线过点A时，则直线与轴平行， 所以将直线绕点D从直线位置逆时针旋转到直线位置时，与没有交点， 故直线与没有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线，得到点得坐标，又点，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设D点的坐标为，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，结合图像，利用建立方程求解即可； 【详解】（1） 令，得， 则点， 令，得， 则点， 设直线，将，代入得： 解得：， 故直线，点的坐标为； （2）设D点的坐标为， ， ， 点的位置情况有两种可能，如图所示 ①当点在线段上时， ， 即， 解得：， ∵在直线上， 直线的解析式为， ， ， 点坐标为 ②当点在线段的延长线上时， ， 即， ， 将代入得： ， ， ∴点坐标为， 综上所述，存在符合条件的点，点得坐标为或． 【典型例题十一 一次函数图象平移问题】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移2个单位后得到直线， 故选：C． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线向上平移3个单位得到直线（k，b为常数，且），若点P在直线上，且点P的横坐标为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．根据一次函数的平移，可知直线向上平移3个单位得到直线，再代入到，即可求出点P的坐标． 【详解】解：直线向上平移3个单位得到直线， 代入得，． 点P的坐标为． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期中）将直线向上平移4个单位长度得到的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减”的平移规律是解题的关键．根据一次函数图象平移的性质，即可求解． 【详解】解：将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，斜边恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据，得，结合平移规律得平移后点B坐标为，再根据一次函数图象上点的坐标特征进行列式计算即可解答． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，， ∴， ∵将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 ∴平移后点B坐标为， 依题意，平移后点B在直线上， ∴， 解得． 故答案为：2． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据，点A的坐标为，得，又直线平分的面积，可得，用待定系数法得直线解析式为，而将直线向上平移2个单位长度后得到直线，即知，，从而得到答案． 【详解】解：∵，点A的坐标为， ∴， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入得： ， 解得 ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移2个单位长度后得到直线， ∴，，， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 【答案】第一、二、三象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像平移，掌握一次函数图像平移的特征是解题的关键．根据题意可知，对于一次函数，可有，，结合一次函数图像的性质即可获得答案． 【详解】解：∵一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴一次函数的图像经过的象限是第一、二、三象限． 故答案为：第一、二、三象限． 3．（2024·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线经过，直线与x轴交于点C，与直线交于点D． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积； (3)嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中，直线经过，利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据题意，求出、，结合，由平面直角坐标系中三角形面积求法得到； （3）题中的描述可理解为将直线：平移后过点，设平移后的直线为，求出平移后的直线表达式为，求出平移后直线与轴交点，直线与轴交点，从而得到放大后坐标系的单位长度变为原来的倍． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）如图所示：    ∵直线与轴交于点， ∴当时，， 解得：，即， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得，即， ， ∴； （3）题中的描述可理解为将直线：平移后过点， 设平移后的直线为，将代入表达式得到， 解得：， 平移后的直线表达式为， 当时，，即放大后，直线过，且与轴交点为；由于直线： 与轴交点为； 放大后，坐标系的单位长度变为原来的倍，即． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积、一次函数图象平移等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【典型例题十二 与一次函数有关的规律探究问题】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的求出规律是解题的关键．轴，，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，得到，同理，；，即；，求得，于是得到结论． 【详解】解：轴，， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 的横坐标为， 在直线上， ， ， 同理，； ，即； ； ， ， ， 的横坐标为，和的纵坐标为， 在直线上， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）正方形按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论． 【详解】解：作轴于， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为1， 当时，， ∴点的坐标为, 同理，点的纵坐标为2， 同理，可知：点的坐标为， 点的纵坐标为4， ……， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 【答案】（1）图见解析，这两个图象关于轴对称；（2））这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【分析】画出函数图像，即可求解． 【详解】解：（1）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称； （2）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，函数与系数之间的关系，熟知一次函数图象的画法是解答此题的关键． 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果； （2）根据一次函数图象的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得； ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， ， 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得的解析式为，的解析式为， 如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值， 则． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【典型例题十三 与一次函数有关的最值问题】 【例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知点，在直线（为常数，）上，则有（　　） A．最大值 B．最大值9 C．最小值 D．最小值9 【答案】B 【分析】将，代入可得，先求得，则，再计算，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：点，在直线上， ， ， 解得：， 将代入，得：， ， ， 抛物线开口向下，即有最大值， 当时，有最大值，最大值为9， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知正比例函数，当时，函数的最大值为8，则k的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，即，函数y随x的增大而增大， 当时，． ，解得； 当时，即，函数y随x的增大而减小， 当时， ． ， 解得； 的值为或3． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，， 故答案为：． 【例4】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知一次函数（其中k为常数且）经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）将点(2，5)代入，即可求解； （2）先判断出函数y随x的增大而增大，求得当时，y有最小值，当时，y有最大值，计算即可求解． 【详解】（1）∵一次函数经过点(2，5)， ∴， ∴k=2， ∴一次函数的表达式为； （2）∵中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最小值N，即：， 当时，y有最大值M，即：， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活运用性质解题． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 【答案】①，；②函数图象见解析；③由图象知该函数有最小值为，没有最大值；④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；⑤． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： ①将和代入解析式求出的值即可； ②根据表格，描点，连线，画出函数图象即可； ③根据图象可得答案； ④根据图象写出两条性质，即可； ⑤根据题意可得关于对称，进而即可求解． 【详解】解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴； ②画出函数图象如图： ③由图象知该函数有最小值为，没有最大值； ④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）； ⑤，两点都在该函数图象上，且， ∴关于直线对称， ∴． 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）直线向下平移3个单位得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移规律，向下平移3个单位即常数项减少3即可求解． 【详解】解：直线，向下平移3个单位后，得到直线，即． 故选：B 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵一次函数的图象不经过第一象限，函数图象经过点， ∴图象经过第二、三、四象限， ∴， ∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵直线上，随着的增加而减小，且 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解． 4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交． 5．（24-25八年级上·河北衡水·期中）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l：经过点M，一组抛物线的顶点，．．．．，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：（n为正整数），若，当d为何值时，这组抛物线中存在“美丽抛物线”．对于这道题目，甲的结果是，乙的结果是，则（   ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲，乙的结果合在起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】B 【分析】先求出的坐标，若为直角顶点，则的中点到的距离与到和的距离相等，求出d的值；同理：若为直角顶点，求出d的值；若为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案． 【详解】解：∵直线l：经过点M， ∴， ∴； ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵，， 若为直角顶点，则的中点到的距离与到和的距离相等， ∴， ∴； 同理：若为直角顶点，则的中点到的距离与到和的距离相等， ∴， ∴； 若为直角顶点，求出的为负数，并且从之后的点，求出的都为负数，不符合题意； ∴或； ∴乙的结果正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论．此题综合性强，有一定的难度． 6．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【分析】本题主要考查了一次函数图象经过的象限， 根据一次函数的图象不经过第二象限可知，选择符合题意的即可． 【详解】解：因为一次函数的图象不经过第二象限， 所以， 函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 7．（2025·山东滨州·模拟预测）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而增大可得，再根据函数图象与轴负半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而增大， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴负半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 9．（24-25八年级上·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，新定义，根据题意得到当时，经过或；当时，经过或；计算即可. 【详解】解：∵关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个， ∴当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 10．（24-25八年级上·吉林·期末）正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探究；根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出、、的坐标，找出规律得出的坐标为，即可解答． 【详解】解：直线和轴交于， 的坐标， 即， 四边形是正方形， ， 把代入得：， 的坐标为， 同理的坐标为， 的坐标为， 的坐标是，即， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）试说明点，，在同一条直线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，用待定系数法先求出过任意两点的一次函数解析式，再把另外一个点代入，如果成立，就三点共线． 【详解】证明：设经过点，的函数解析式为，则： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴在直线上， ∴三点在同一条直线上． 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，两点代入可得出和的值，进而可得出函数解析式； （2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 将，代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 该一次函数图像与轴交于点， 当时，， 该一次函数图像与轴交于点， 此函数图像与轴、轴围成的三角形的面积为． 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，直线是一次函数的图象． (1)求直线的解析式； (2)如果直线向上平移3个单位后，经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将点(0，1)和点(-2，0)代入中解出k和b的值即可； (2)求出向上平移3个单位后的解析式为，再将点代入平移后解析式中即可求解． 【详解】（1）解：将点(0，1)和点(-2，0)代入中， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：将往上平移3个单位后的解析式为，且经过， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的平移等，属于基础题，计算过程中细心即可． 14．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知y是x的函数．变量x，y的一些对应值如下表，根据表格回答下列问题． 1 2 3 4 2 0 (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该函数的解析式为 ； (3)将该函数图象向下平移6个单位长度后，对应的函数解析式为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，熟悉掌一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据表格描点作图即可； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据函数平移的特征运算即可； 【详解】（1）解：由列表中的数据可得：函数过点，，，，作出图象可得： （2）由（1）可得：函数是一条直线， ∴设函数解析式为， 把，分别代入可得：， 解得：， ∴该函数的解析式为：； 故答案为：； （3）解：向下平移6个单位长度后为：， 故答案为：． 15．（2025·山东济南·模拟预测）物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的函数．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的关系，进行了6次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 x 0 10 20 30 40 50 y 6 9 12 17 18 21 (1)你认为表中第_____次数据y是错误的？正确的值是_____． (2)观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式． (3)当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量． (4)若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为______． 【答案】(1)4，15 (2) (3)所挂物体的质量为80千克 (4)4.2 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）观察表中数据，发现规律即可得解； （2）观察表中数据的规律，即可判断它们是否在同一条直线上，利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）将代入（2）中求得的函数表达式，求出对应x的值即可； （4）将，和，分别代入（2）中求得的函数表达式，两式相减并将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：观察表中数据，发现x每增加10，y增加3，即可知表中第4次数据y是错误，正确的值是， 故答案为：4，15； （2）解：它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入． 得， 解得， ∴这条直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得， ∴当弹簧长度为30厘米时，所挂物体的质量为80千克； （4）解：根据题意，得①，②， ②-①，得， ， ． 故答案为：4.2． 学科网（北京）股份有限公司 $$