精品解析：湖北省七市州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度下学期高二期末考试 高二数学试卷 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 2. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（ ）种? A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 7. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长 B. 异面直线与所成角余弦值为 C. D. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差的等差数列 11. 已知函数在处的切线方程为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的单调递增区间为 C. 若，则取值范围为 D. 若成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则_________. 13. 已知，则___________. 14. 已知函数，记的极值点为和，且.若和分别是等差数列的第1项和第3项，且和分别是等比数列的第1项和第2项.设数列满足，则的前项和为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 （1）在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ （2）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10828 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. （1）求； （2）记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； （3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高二期末考试 高二数学试卷 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组样本数据的线性回归方程为，若的取值范围依次为2，4，6，8，10，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本点的中心求解即可. 【详解】, 所以. 故选：. 2. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，代入，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 则， 所以，. 故选：A. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，可得， 由等差数列的性质，可得. 故选：B. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设数列公比为q，由题可得，可解得，利用等比数列前项和公式计算可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则， 由题可得，则，则或（舍去）. 则. 故选：D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意得的定义域为， 因为，所以为奇函数， 又，所以在上为单调增函数， 由得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 6. 某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（ ）种? A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先分组，再排列即可求解. 【详解】. 故选：. 7. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要分析得分的情况，即第一次在点投中，第二次在点未投中，或者第一次在点投中，第二次在点未投中，然后根据独立事件概率公式计算即可. 详解】要得分，包括两种情况： 情况一：第一次选投中（得分），第二次选未投中； 情况二：第一次选未投中，第二次选投中（得分）. 记A=“在A处投中”，B=“在B处投中” 则 . 故选：C. 8. 若函数的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，利用导数研究单调区间，进而得函数的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有，令有， 由有，有， 所以的单调增区间为，单调减区间为， 所以的极小值为，当时，， 作出函数的图像： 由图可知与恰有两个公共点，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是以2 为公比的等比数列 B. 若，则数列是以2为公差的等差数列 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . 11. 已知函数在处的切线方程为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的单调递增区间为 C. 若，则的取值范围为 D. 若成立，则实数取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，根据题意，列出方程组，求得的值，可判定A正确；根据复合函数的单调性，列出不等式组，可判定B不正确；把不等式转化为，令，求得，求得的单调性，可判定C正确；由时，求得，求得的单调性与最值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数， 可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解得，所以A正确； 由知，函数，； 对于B中，要求函数的单调递增区间， 则应满足，即，解得或， 所以的单调增区间为，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 当时，显然成立； 当时，则不等式，即为， 令，则， 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为当时，，又， 所以当时，， 综上，当时，， 所以时，，所以C正确； 对于D中，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】，所以， 所以. 故答案为：6. 13. 已知，则___________. 【答案】11 【解析】 【分析】由题意得，利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意有： ∵ ∴. 故答案为：11. 14. 已知函数，记的极值点为和，且.若和分别是等差数列的第1项和第3项，且和分别是等比数列的第1项和第2项.设数列满足，则的前项和为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对求得，令，可求得极值点和，进而可求得数列和的通项公式，代入，结合裂项相消法可求得数列的前项和. 【详解】由， 得， 令，解得：， 因为和分别是等差数列的第1项和第3项，即，，所以， 又和分别是等比数列的第1项和第2项，，，所以， 所以， 设的前项和为，则 . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 （1）在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ （2）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）认为数学成绩和语文成绩有关联 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算相应概率即可； （2）根据公式求出，与临界值比较判断即可. 【小问1详解】 记=“语文和数学都优秀”，=“语文和数学都不优秀” 则，； 小问2详解】 零假设为：数学成绩与语文成绩无关联， 根据列联表中的数据，计算得： ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为数学成绩和语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，且，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，再根据极值定义求解即可； （2）由题意得，令，则问题等价于，利用导数求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，；时，， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，无极小值； 【小问2详解】 当时，，则， 由得，， 设，则， 由， 当时，， 所以的取值范围为. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，及构造法即可证明； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 证明：①当时，， ②当时 ，， 则， 整理得： ∴，又， ∴是以2为首项，4为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得：， ∴， ∴，① ，② 由②①得： ， ∴ 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. （1）求； （2）记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； （3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【小问1详解】 由得：或， ∵，∴； 【小问2详解】 的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； 【小问3详解】 由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析，答案见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率及关系式，结合题意即可求解； （2）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得出，由题意得，利用向量数量积的坐标运算结合列式，用表示，再根据直线的点斜式方程即可证明并求解； （3）由（2）知：，设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出，若是线段的两个三等分点，则，列式解方程即可判断. 【小问1详解】 由题知：，得， ∴双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 设，点， 由，得：， 则 ∴， 由于以为直径的圆过点，∴， 即， 又， ∴， 则， 整理得：，即， ∴或， 当时 ，过定点，与重合，故舍去， 当时，恒过定点； 【小问3详解】 由（2）知：，设， 由得：， ∴， ∴， ∴， 若是线段的两个三等分点，则， 即，整理得：，方程无实数解， ∴不存在实数，使得是线段的两个三等分点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$