双曲线小题中的常用三个圆讲义-2026届高三数学一轮复习

双曲线小题中的常用三个圆 一. 基本原理 ①. 圆 ②. 圆 ③. 圆 关于双曲线中的这几个圆, 主要有以下结论需要注意: (1) . 圆 ,渐近线 ,准线 及圆 四者交于点 . (2)关于点 ,有如下的性质:设 为双曲线 的左右焦点, (i) 直线 垂直于渐近线 且 ,又 ,故 是双曲线的特征三角形; (ii) 直线 与圆 切于点 . (3). 过双曲线 的左焦点 ,作圆 的切线, 切点为 ,延长 交双曲线右支于点 . 若线段 的中点为 在线段 上, 为坐标原点,则 . 二. 典例分析 例 1.(2025 年新高考 2 卷)双曲线 的左、右焦点分别是 , 左、右顶点分别为 ,以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 、 两点,且 ,则 ( ) A. B. C. 的离心率为 D. 当 时,四边形 的面积为 例 2. (2022 年全国乙卷) 双曲线 的两个焦点为 ,以 的实轴为直径的圆记为 , 过 作 的切线与 交于 两点,且 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 例 3. (24 届武汉九月调考) 过双曲线 的左焦点 作 的一条切线,设切点为 ,该切线与双曲线 在第一象限交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 例 4. 如图,双曲线 的右焦点为 ,点 在 的渐近线上,点 关于 轴的对称点为 ,记四边形 的面积为 ,四边形 的外接圆 的面积为 ,则 的最大值为_____,此时双曲线的离心率为_____. 例 5. 如图,过双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点为 ,延长 交双曲线右支于 点, 为线段 的中点, 为坐标原点, 若 ,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. 3 C. D. 例 6. 已知双曲线 的右焦点为 是双曲线 的半焦距,点 是圆 上一点,线段 与双曲线 的右支交于点 . 若 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 三. 习题演练 1. 如图所示,从双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点为 ,延长 交双曲线右支于 点,若 为线段 的中点, 为坐标原点,则 与 的大小关系为( ) A. B. C. D. 不确定 2. 已知双曲线 的右焦点为 ,圆 与 的渐近线在第二象限的交点为 ,若 ,则 的离心率为 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 3. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 且与圆 相切的直线 与 的左支交于点 ,若 ,则 的离心率为 ( ) A. 2 B. C. D. 4. 设 为双曲线 的上、下焦点,点 为 的上顶点,以 为直径的圆交 的一条渐近线于 两点,若 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为原点,若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ,且 ,则 的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双曲线小题中的常用三个圆 一. 基本原理 ①. 圆 ②. 圆 ③. 圆 关于双曲线中的这几个圆, 主要有以下结论需要注意: (1) . 圆 ,渐近线 ,准线 及圆 四者交于点 . (2)关于点 ,有如下的性质:设 为双曲线 的左右焦点, (i) 直线 垂直于渐近线 且 ,又 ,故 是双曲线的特征三角形; (ii) 直线 与圆 切于点 . (3). 过双曲线 的左焦点 ,作圆 的切线, 切点为 ,延长 交双曲线右支于点 . 若线段 的中点为 在线段 上, 为坐标原点,则 . 二. 典例分析 例 1.(2025 年新高考 2 卷)双曲线 的左、右焦点分别是 , 左、右顶点分别为 ,以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 、 两点,且 ,则 ( ) A. B. C. 的离心率为 D. 当 时,四边形 的面积为 解析: 不妨设渐近线为 在第一象限, 在第三象限, 对于 ,由双曲线的对称性可得 为平行四边形,故 , 故 正确; 对于 ,因为 在以 为直径的圆上,故 且 ,设 ,则 ,故 ,故 ,由 得 ,故 即 ,故 错误; 对于 ,因为 ,则 ,则 ,故 正 确; 对于 ,当 时,由 可知 ,故 ,故 ,故四边形 为 ,故 正确,故选: ACD. 例 2. (2022 年全国乙卷) 双曲线 的两个焦点为 ,以 的实轴为直径的圆记为 , 过 作 的切线与 交于 两点,且 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 设双曲线的方程为 ,设过 的切线与圆 相切于 点 ,则 ,又 ,所以 , 过点 作 于点 ,所以 ,又 为 的中点, 所以 , ,因为 , ,所以 ,所以 ,则 , 所以 ,由双曲线的定义可知 , 所以 ,可得 ,即 , 所以 的离心率 . 当直线与双曲线交于一支时,同理可得 正确; 故选: . 例 3. (24 届武汉九月调考) 过双曲线 的左焦点 作 的一条切线,设切点为 ,该切线与双曲线 在第一象限交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 令双曲线 的右焦点为 ,半焦距为 ,取线段 中点 ,连接 , 因为 切圆 于 ,则 ,有 , 因为 ,则有 ,而 为 的中点, 于是 ,即 ,在 Rt 中, , 整理得 ,所以双曲线 的离心率 . 故选: 例 4. 如图,双曲线 的右焦点为 ,点 在 的渐近线上,点 关于 轴的对称点为 ,记四边形 的面积为 ,四边形 的外接圆 的面积为 ,则 的最大值为_____,此时双曲线的离心率为_____. 解析: 由题意可知: ,渐近线 ,即 ,则点 到渐近线 的距离为 ,因为 ,可知 ,则 ,可得 ,则 ,由题意可知: 四边形 OAFB 的外接圆 即为以 为直径的圆,则 ,可得 ,当且仅当 时,等号成立,可知 的最大值为 ,此时双曲线的离心率为 . 故答案为: . 例 5. 如图,过双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点为 ,延长 交双曲线右支于 点, 为线段 的中点, 为坐标原点, 若 ,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. 3 C. D. 解析: 如图,双曲线的右焦点为 ,连结 ,连结 ,则 , 因为点 分别是 的中点,所以 , Rt 中, , ,则 ,所以 ,即 ,又 ,所以 ,即 , ,解得: ,所以双曲线的离心率为 . 故选: A 例 6 已知双曲线 的右焦点为 是双曲线 的半焦距,点 是圆 上一点,线段 与双曲线 的右支交于点 . 若 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 设双曲线左焦点为 ,如图: ,可得 ,由双曲线的定义 字 , 在 中, ,在 中, 即 ,可得 . 故选: . 三. 习题演练 1. 如图所示,从双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切点为 ,延长 交双曲线右支于 点,若 为线段 的中点, 为坐标原点,则 与 的大小关系为( ) A. B. C. D. 不确定 2. 已知双曲线 的右焦点为 ,圆 与 的渐近线在第二象限的交点为 ,若 ,则 的离心率为 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 3. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 且与圆 相切的直线 与 的左支交于点 ,若 ,则 的离心率为 ( ) A. 2 B. C. D. 4. 设 为双曲线 的上、下焦点,点 为 的上顶点,以 为直径的圆交 的一条渐近线于 两点,若 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为原点,若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ,且 ,则 的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 1. 解析: 因为点 分别是 和 的中点,所以 , 连结 ,因为 是圆的切线,则 ,在 中, , . 故选: B 2. 解析: 如图,由题意知,双曲线的渐近线方程为 , 则 ,解得 ,所以 ,由三角函数的定义知 ,又 ,且显然 为锐角, ,又 ,解得 , 则 , 在 中,由正弦定理可得 ,即 ,化简得 , 所以 的离心率为 . 故选: C. 3. 解析: 设 与圆 相切于点 ,则 ,因为 ,所以 ,而 ,在三角形 中运用余弦定理有 ,即 ,所以 , 解得 ,即 ,所以 的离心率为 . 故选: B. 4. 解析: 由题意知以 为直径的圆的方程为 ,根据对称性,不妨设一条渐近线 方程为 , 在第二象限,联立 ,解得 或 , 则 ,又 ,所以 , 则 ,即 ,所以离心率 . 故选:C. 5. 解析: 由以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ,可得 , 又由 ,在 中,由余弦定理 , 所以 ,所以 ,所以 ,离心率 . 故选:B. 学科网（北京）股份有限公司 $$