第02讲：集合间的基本关系（8大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第02讲：集合间的基本关系 · 【考点梳理】 · 考点一. 判断集合的子集（真子集）的个数 · 考点二. 求集合的子集（真子集） · 考点三. 判断两个集合的包含关系 · 考点四. 根据集合的包含关系求参数 · 考点五、判断集合相等关系 · 考点六：由集合相等求参数问题 · 考点七、空集 · 考点八：集合间的基本关系综合问题 【知识梳理】 知识点一　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点二　空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例题详解】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 6．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，则集合A的真子集有 个． 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 12．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、判断集合相等关系 13．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D．N不包含M 15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 题型六：由集合相等求参数问题 16．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 17．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 18．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型七、空集 19．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 23．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 24．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【专项训练】 一：单选题 25．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 29．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 30．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   31．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 32．（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 34．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 36．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设，．若，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 38．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 39．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 40．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 41．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 四、解答题 42．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 43．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 45．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 46．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：集合间的基本关系 · 【考点梳理】 · 考点一. 判断集合的子集（真子集）的个数 · 考点二. 求集合的子集（真子集） · 考点三. 判断两个集合的包含关系 · 考点四. 根据集合的包含关系求参数 · 考点五、判断集合相等关系 · 考点六：由集合相等求参数问题 · 考点七、空集 · 考点八：集合间的基本关系综合问题 【知识梳理】 知识点一　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 知识点二　空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例题详解】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 3．（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】先求出集合B，再求真子集个数即可. 【详解】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 【答案】（或或） 【分析】首先求集合，再根据非空子集的定义，即可列举求解. 【详解】，则集合的一个非空子集为，，. 故答案为：（或或） 6．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【分析】利用列举法求出集合A，再利用含有个元素的集合的真子集个数公式计算即可. 【详解】集合，所以集合A的真子集个数是. 故答案为：15 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系以及空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集选择即可. 【详解】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误； 对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确； 对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确； 对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误， 综上，五个式子中错误的个数为3个. 故选：C 9．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④. 【详解】①正确；②空集不含任何元素，故错误；③因为空集是任何集合的子集， 故正确；④因为，为点的集合， 故，故错误. 所以正确的个数为2. 故选：B 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 11．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 12．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 题型五、判断集合相等关系 13．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D．N不包含M 【答案】A 【分析】用列举法，结合包含关系、相等关系进行判断即可. 【详解】因为， ， 所以，即N包含M， 故选：A 15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 题型六：由集合相等求参数问题 16．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 17．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 18．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：B. 题型七、空集 19．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 20．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 21．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 23．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 24．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【专项训练】 一：单选题 25．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】由，让集合与中的元素完全相同，即可列式求解. 【详解】由题意，，， 故选：D. 26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 27．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 28．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 29．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 30．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 31．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，根据求得的可能取值. 【详解】依题意，. 对于集合， 若，则，满足. 若，则， 由于，所以或， 解得或， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 32．（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可. 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 二、多选题 33．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 34．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可. 【详解】， 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：CD 35．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 【答案】BC 【分析】由是无理数可判断A错；根据集合相等的概念知B对；对于C，求得x和y的取值范围均为R，从而可判断C对；对于D，根据集合的包含关系可求，从而可判断. 【详解】因为是无理数，所以，故A错误； 由集合相等的概念知B正确； 因为中的x和y的取值范围均为R，所以，故C正确； 因为，所以或.当时，； 当时，，此时.故或，解得或. 综上所述，a的取值为0，或，故D错误. 故选：BC. 36．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 37．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设，．若，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出集合，再根据集合包含关系求解． 【详解】由题意， 若，则， 若，则，因为，所以或，即或． 故选：BCD． 三、填空题 38．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 39．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 40．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 41．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 四、解答题 42．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）且. 【分析】（1）根据，讨论集合A中元素，列式求解，即得答案； （2）根据集合有四个子集，可得A中有2个元素，结合一元二次方程的判别式求得答案. 【详解】（1）解：由题知因为，故， 又因为，则或， ①当时，即，此时， 集合中的元素不满足互异性，故舍； ②当时，即，解得或（舍）， 此时，集合中的元素满足互异性， 综上所述，； （2）由题因为集合有四个子集， 所以集合中有两个元素， 所以，且，即且， 所以且. 43．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 44．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 45．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 46．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$