安徽省2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（北师大版）

高一7月1一2日期末考试 数学（北师大版）答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查向量共线与向量的模 解析依题意知，b=-2a,故A错误；因为a,c不其线，所以c=3a不成立，故B错误；因为小方格的边长为1， 所以|d=√10，Iel=√13，故C正确，D错误 2.答案D 命题透析木题考查复数的四则运算。 解折由2-加=1+31，得：-告侣骨了+子 3.答案C 命题透析本题考查空间线而位置关系的判断. 解析A中n与a任意关系都冇可能，故A错误；B中可能n∥a或nCa,故B错误；对于C,因为m∥&，所以存 在直线1Ca使得m∥亿，又n⊥a,所以n⊥l,所以n⊥m,故C正确：D中m与n平行、相交或异面都有可能，故D 错误， 4.答案B 命题透析 本题考查同角三角函数的基本关系和正切的差角公式 解析因为m+cs≤n+1=2,所以ana=2-1,所以amc-年）=0n。=2行=1-5. COs 5.答案B 命题透析本题考查棱柱的体积 解析依题意可知四边形ABCD为菱形，BD=2√AB-A)=2×√(2√5)2-32=25，菱形ABCD的面积为 分4C·Bm=6,5.义4"01平面ABCD,所以A0=VA-A0=(BP-子=2.所以该平行六面体的体 积为63×2=123. 6.答案A 命题透析本题考查三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性， 解析函数f(x)=c(2x+）的图象向右平移p(p>0)个单位长度后所得图象对应的函数为y= 2(-p)+】=(2-2e+）因为此函数为奇函数.所以写-2p=受+6m(keZ),得0=吕-受 (keZ),当=0时，p取得最小值，为7 7.答案A 命题透析本题考查解三角形的实际应用 解析在△ABP中，∠ABP=180°-y+B=180°-60°+15°=135°，∠BPA=180°-(-B)-∠ABP=180°- 30°-135°=15，根据正弦定理可得，4B 100x2 2 sin15osin135o,则PA in2BPA-in∠ABp即1O0=PA○ -=100(3+1).在 6-2 △P01中，P0=PAi45=10(5+1)x号=50(5+2)（米）. 8.答案C 命题透析本题考查平面向量与解三角形的综合应用 解析在△ABC中，因为BC=2AB=6,AC=3万，所以出余弦定理可得csB=+BC_AC_9+36-63 2AB·BC 2×3×6 -,由脉.应=（市-·（硒+）=[(A-1)+A成]·(+2武)=(A-1)亦+ (2+入小店·庇+分胶=0，解得A=子 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AB 命题透析本题考查复数的概念、几何意义以及基本运算. 解析对于A,i·,=i(2+i)=-1+2i=2,故A正确： 对于B,因为|=2-i=√5,11=1-1-2i=5,所以1,1=21，故B正确； 对于C,2=(2+i)(-1+2i)=-4+3i,虚部为3，故C错误： 对于D,4=2+i=(2+i)(-1-2i) 名=2名=-受在复平面内对应的点在虚轴上，放D错误 10.答案BCD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 解析对于Ax)=V+1si血(2x+p),其中amp=不，由图阿知代x)的最大值为2，所以V+F=2,得k= 5,故A错误； 对于B,x)=3sim2x+cos2x=2sin(2x+石）由“五点法”，知点P对应y=simx图象上的点(m,0),所以令 2+石=，得x设所以P(侣0），故B正确： 对于C,当xe(受，）时，2x+石∈(m+石，5m+石），正弦画线y=mx在区间π+石，5m+君)内有4条 -2- 对称轴，对应地，)的图象在区间（受，）内也有4条对称轴，故C正确： 对于D,由题意知m(2+君)m2,+君）=受，由图可知2+石e(,）2+石∈（受，2）所以 m(2+）-√牙m(2+君)=牙所以m(2,-2)=[(2+君）-(2+月 (2+看(2+君）+sim(2,+石(2+君）=-(1-四)+-受-1，故D正确 11.答案ACD 命题透析本题考查立体几何综合问题 解析对于A,三棱锥D'-DEF,即为三棱锥F-D'DE,因为CC'∥DD',CCd平面D'DE,DD'C平面D'DE,所 以CC'∥平面D'DE,因为F为棱CC上的动点，所以点F到平面D'DE的距离为定值，义△D'DE的面积为定 值，所以三棱锥F-D'DE的体积为定值，则三棱锥D'-DEF的体积为定值，故A正确： 对于B,依题意可知，CD⊥DE,又四棱柱ABCD-A'B'C'D'为直棱柱，所以D)⊥CD,又DD'∩DE=D,所以 CD1平面DDB,又C'∥平面D'DB,所以点F到平面D'DE的距离即为CD的长度，则s血0-，因为CD的 长度为定值，EF的长度在点F与点C重合时取得最小值，所以点F与点C重合时，EF与平面D'DE所成的角 0最大.此时血0-是又底面CD为菱形，LC=等c=2则cE=E+c心2=7，CE=万，所以血0= 2识故B错误： 万 对于C,连接AD',则AD'∥BC,AD'=25,所以∠AD'F(或其补角)即为异面直线DF与BC所成的角，连接 AF,则AF=√AC+CF=√2+4=4，为CF=FC,即F为棱CC的中点，所以DF=22,在△ADF中，由余 弦定理可得oL0F:2253细拉C正确： 对于D,如图，延长DE交CB的延长线于点M,则B为CM的中点，连接FM,交B'于点N,则BN=CF,连接 EN,则四边形DENF即为所求载面，H四边形DENF为直角梯形，DF∥EN,DE⊥EN,DF=2EN=22,DE= 5,所以四边形DEP的面积为2巨x厅-3石，故D正确， 2 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案-3 命题透析本题考查平面向量基本定理、向量的基本运算 解折如图，依题意得正=动=号而-号配=石-衣则A:-子4=石所以止-3 1B.答案 命题透析本题考查圆锥的侧面展开图、三角形的面积公式。 的母线长为，则3m·1=2π·号解得1=1，依题意可知该圆饿的轴截 三角形，过该圆锥顶点的平面截圆锥所得裁面是等腰三角形，设等腰三角形的顶角为9，则0<0≤，所以 当0=受时，截面面积取得最大值，最大值为子×1×1= 1 14答案号（或60）：号 命题透析本题考查新情境背景下的解三角形问题。 解析因为△ABC的外接圆的面积为4m,所以外接周的半径为2，则根据正弦定理可得nAC4,又BC 25,∠B4C为纯角，所以L8MC=,由△ABC为等腰三角形，可得AB=AC=2因为∠APC=T-(∠PAC+ ∠PC),又LPB=LPC1,所以∠PAC+∠PCA=∠BMC-,所以LAPC=号，同理∠BPC-爱在△PBC 中，由正弦定理可得BC=PC,所以PC=45sina,在△PAC中，由正弦定理可得AC PC sin∠BPC-sina sin∠APC sin∠PAC' 2 cos a+ 所以pc=45m(-a）,即n(得-)=3na,所以s。 2ine=3sina,放ana=5 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查平面向量的坐标运算，向量共线与垂直， 解析由题意知c=a+2b=(3,4).… (I)由题意得入a+b=(入+1,2)， (2分】 因为(Aa+b)∥c,所以3×2-4（入+1）=0，……(4分） 一4 解得A= 4…44……4…444……444…4………44… 2” (6分) (Ⅱ)由题意得b+C=(以+3,24+4)，a+b=(2,2),…(8分) 因为(a+b)⊥(b+c),所以(4+3)×2+(2μ+4)×2=0，…(11分) 7 解得μ=一 (13分) 16.命题透析本题考查空间平行与垂直关系的证明. 解析(I)因为棱PB,PA,AC,BC的中点分别为D,E,F,O, 所以EF∥PC,D0∥PC,所以EF∥D0,…(2分)） 又因为D0C平面AD0,EF丈平面AD0,所以EF∥平面AD0.…(4分) (Ⅱ)因为PB=PC=2,BC=22,0是BC的中点， 所以P0⊥BC,且P0=2.… ……(5分) 因为AB⊥BC,所以AO=AB+BO=6, 所以P02+A0=PA2,所以P0⊥A0,…(7分) 又AO∩BC=O,所以PO⊥平面ABC. 又BFC平面ABC,所以P0LBF.… (9分) 如图，连接0P,则0P/AB,从而0F1BC,且0F=7AB=1, 0 所以-5-得t么AB0H△B0呢，……………………d (11分) 所以∠FBO+∠AOB=90°，所以AO⊥BF. (12分) 由PO⊥BF,AO⊥BF,AO∩P0=O,得BF⊥平面POA, (14分) 又BFC平面BEF,所以平面BEF⊥平面POA.…(15分) 17.命题透析本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形 解析（I）由已知得sin Acos C+3 sin Asin C=sin(A+C)+sinC,…(2分) sin Acos C+3sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 又血C0,整理得5inA-mA=1,即m(4-石）=分 …(4分)》 -5 又A-石∈(-)所以4-=4= 31 …(6分） (Ⅱ)因为A=号，a=25,所以根据正弦定理可得 b 23 sin A"sin B=sin C3 =4 2 则b=4sinB,c=4sinC, (8分) 因为B+C=要，所以C=号-B, 3 则△Ac的面积S=子cimA=c=45nBsn(号-B =4n(停m+n =6sin Bcos B+23sin'B =3sin2B+3(1-C0%2B)…(10分) =252B-2m2B+万 =2,5im(2B-君）+5， (12分) 因为△AC为锐角三角形，所以Be(石，受)，2B-石=（石，）， 所以im(2B-石)=(2，故△ABC的面积s的取值范回是(2,3,351.… (15分) 18.命题透析本题考查棱柱的体积及外接球，线面角，二面角， 解析(1)因为三陵维A-A'3C的体积k=子×2万×=手，…《(1分) 所以直三棱柱ABC-A'B"C'的体积V=3-A=3× 34 …(3分) (Ⅱ)直线A'B与平面A'BC'所成的角为45°，即直线AB与平面ABG所成的角为45°， 依题意可知∠A'BA即为直线A'B与平面ABC所成的角，所以∠A'BA=45°，…（4分) 又AA'⊥AB,所以△A'AB为等腰直角三角形， 因为E为线段A'B的中点，所以AE⊥A'B, 因为AE⊥DE,DE∩A'B=E, 所以AE⊥平面A'BC,则AE=2, 由△AAB为等腰直角三角形，易得A'A=AB=2.…(6分) 因为BCC平面A'BC,所以AE⊥BC,又AM'⊥BC,AM'∩AE=A, 所以BC⊥平面AA'B'B,所以AB⊥BC, 由直三棱柱ABC-ABC的体积V=4=号×AB×BC×M,可得BC=2, —6 所以底面△ABC为等腰直角三角形，则AC=22,A'C=√A'A2+AC=25.…(8分) (i)因为D为A'C的中点，所以D为直三棱柱ABC-A'B'C外接球的球心， A'D=DC=3,即直三棱柱ABC-A'B'C外接球的半径为√3， 所以直三棱柱ABC-A'B'C'外接球的表面积为4π(3)2=12π. …(10分) (ⅱ)如图，过点E作EF⊥BD,交BD于点F,连接AF 因为AE⊥平面A'BC,BDC平面A'BC,所以AE⊥BD,又AE∩EF=E,所以BD⊥平面AEF,所以BD⊥AF, 所以∠EFA为二面角A-BD-A'的平面角.…(12分) 因为DE/BC,DE=之8c=1,BE=A'B=E,D=之A'C=瓦， 所以EF=Ix2- 3 40....... (14分) 在△EFA中，BF-AB=E, 所以LEFA=祭-=5，所以∠EA=号 即二面角A-BD-A'的大小为于 (17分) C 19.命题透析本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质。 解析(I)cos30=c0s(20+8)=cos2ac0s0-sin2sin0 =(2cos20-1)cos 0-2sin'0cos 0 =2c0s30-c0s0-2(1-c0s20)c0s0=4c0s30-3c0s日.…(4分) (Ⅱ)设0=18°，则20=90°-30，… (5分) 所以sin20=sin(90°-30)=c0s30=4cos30-3c0s0. 2sin 0cos 0=4cos 0-3cos 8................................ (7分) 因为cos0≠0，所以2sin0=4cos20-3=4(1-sin20)-3. 整理得4sin20+2sin0-1=0, 解得加9=1生5（负值合去）.即如18：1+5 …(10分)） 4 一7 (mI)f(x)=cos 3x cos 2x+1 =4cos'x -3cos x+2cos'x cos x(4cos'x +2cos x-3). 令f八x)=0,得c0sx=0或4C0s2x+2c0sx-3=0,…(12分) 若c0sx=0,则在[0,2T]内x三牙或元三3行，心 (13分) 若4s2x+2sx-3=0,则sx=1土B,其中-1：B<-1,舍去， 4 4 所以cs=-1+压，该方程在[0,2m]内有2个实根， 4 因为y=c0sx在[0,2π]内的图象关于直线x=π对称，所以这两根之和为2π，…(15分) 所以)在[0,2]内有4个零点，记为离，其中(0，受)西=受6受（受2）这4个 零点之和，即写+名+书+=受+受+2m=4m 所以nr=2r×5=10m,n=10,… (16分)】 这20个零点之和为4r+12π+20r+28石+36开=100π.…(17分) 一8绝密★启用前 试卷类亚：北师大版 高一7月1一2日期末考试 数学 考生注意： ,答超前，考生务必务自己的林名，专生学氧写在试表和多想十上，并将考生号条对局帖 慧在答勇卡上的指定位置 2回答选择题时，选出吾小题答家后，用铅笔把参题卡叶应题自的参囊标号涂某.如霄改 诗，用惊发擦干净后，再选涂其艳答案标号，阳答非选择想时将等常写在客避卡上，写 在本试喜上无此： 3.考认站来后，将本认喜和答题卡一并交回 一，单项选择题：本驱共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选顾中，只有一项 是符合题日要求的 1已知向量a.b.c,d,e如图所示.图中小方格的边长为1，则 4 A.b=24 B.e=3a C.ldt /1o D.lel =3 损 2.已知复数：渊足(2-》：=l+3i,期：= 取-骨 D.-5431 3.已知w,是两条不重合的线，a是一个平面：测下列命题正骑的是 A若m∥a,m上n.划知⊥a 且.若m上a,m⊥n,馬是往 C若标∥红，N⊥在，期m⊥n 队若器∥a,e,期国n 4已ma:五，喇ana-} L2-1 B.1-v2 cf-1 1-9 5,已起在平行六面体AD-AG中，A=AD=2,万，AC=6,A=/15,4CnD=0,且 A'0⊥平面AD.则该平行六面体的体积为 L.12,6 .123 C.46 D.43 数学（北印大版）试题第1页（共4真） △将雨数司一a…2:+写的图象向右平移华>0》个单位长度后，所得图象对应的函数 为奇两数，谢华的最小值为 人8 c等 得 7,如图.在脚A处测得山顶P的物角a为45”，沿衡斜角B为5的斜敲向上走1D米到达B 处，在显处测得山顶P的郎角y为阳，附山的高度？为 附如15°=6-2 4 A.50(6+2)米 B.50(,3+1)米 C.100(,3+1)米 D.120米 &已知t△4BC中C-26,C37,.元，-A花，ae(0,1).若丽.证-0，则2= g 二，多项选释题：本额共3小题，每小领6分，共18分，在每小丽给出的远项中，有多项特合题 目要求，全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知复数4-2+{.5-1+24.期 A与=· B.l五1=5 C,复数南的部为-4 业复数号在复平面内对位的点位于第三象限 1山.已知函数月x》im24+2(k>)的部分图象如图所示，则 A.k=I 良点户的生标列侣列 C心=)的图象在区问受贸内有4条对称结 om2-24,=号- 数学（北师大版）试题第2页（共4页） 11.知图，在直四棱柱ACD-AB'CDY中，联而CD为菱形，且”=2AB=4,∠AC-红 若B为棱AB的中点，F为校CG上的动点（含端点），下列说法王确的是 A三棱锥D一5F的体机为定值 品记直线F与平面少优所减的角为A,则血？的最大值为号 C若F=C.测#面直线P与C所成角的余惑值为3而 20 卫若下=汇，期过D.E,F三点的平向成该装柱所得成商的向肌为 三，填空增：本题共3小题，每小聪5分，共15分 2在△c中，而-号丽，正-可，若证.AC以AeR,则2 1以.已知一个辉维的底面半径为，测而既开图是一个心角为，5和的响形，用过减圆锥夏点 的平面截该阅策所得截面面积的最大值为 14已知P为△A内一点，若∠PAB=∠PC=∠A=a.则称点P为△AG的布洛卡 点”.若P为等腰△AC的布洛卡点”，且C-2G,LBC为饨角，△A的外接图的面 积为4=，用∠AP℃= (本题第一空2分.第二空3分) 四、解署露：本题共5小题，共7分.解客应写出文字说阴，证明过程或演算步骤 5.13分) 已知向量a=《1,0),b=(1,2).c=a+2b 《1)若Aa+b)∥c,求实数A的值： 《Ⅱ)若{a+)⊥(h+c),求实数：的值 数学（北师大版）试题第3真（共4页） 16(15分》 如图，在三棱EP-AG中，AB⊥C.AB=PB=%=2,PA=C= 2正，棱g,P1.AC,的中点分别为D,E,F, (I)证明：EF平面0： (I》证明：平而EF⊥平面P40. 17.(15分) 在△C中.内角4，B,C的对边分烟为a,,已知a-23.且aC洛nC.mB+血C n (I求A: (D》若△AG为锐角三角形，求△AC面积的取值范围. 18.(17分) 如图.在直三校柱AC-ABC"中，友A到平雀A'C的南为，2，△A'BG的面积为2,2 (】》米直三控桂AC-A'BG的体倪 (Ⅱ)若直线A'B与平面C所成的角为45，D,E分别为A'G.B 的中点.且AE⊥E (i}求直三棱柱A-A'C的并接球的表面积： (i》求二而角A=D=A'的大小. 19.(17分》 （1）证明：w36=4e8-3eaW: (1利用(1)中的结论求im18的值： (亚}若函登代)=m3:+m2红+1在区同[0，π].eN”内恰有20个零点，求u的值 及这如个零点之和 数学《北师大板)试题第4真（共4真）