精品解析：安徽省亳州市蒙城中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

蒙城县2024-2025学年度八年级数学第二学期期中测试试卷 （时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 下列各组数是勾股数的为（　　） A. 2，4，5 B. 8，15，17 C. 11，13，15 D. 4，5，6 5. 方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. 一 B. C. . D. 6. 已知关于的方程的两实数根互为相反数，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 0 7. 在ABC中，三边长分别为a，b，c，且，，则ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 我们约定“&”一个实际意义，规定，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在，，，中，是最简二次根式的是___． 12. 如果，那么的值为___________． 13. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是___________． 14. 在等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，为． （1）的长为___________； （2）点到的距离为___________． 三、（本大题共2）小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）ABC的周长为 ； （2）∠ABC＝　 　度； （3）ABC的面积为　 　． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接． 求证：； 若，，求四边形的面积． 七、（本题满分12分） 22. 已知是方程的两个实数根，且． （1）求及a的值； （2）求的值． 八、（本题满分14分） 23. 某商店在今年2月底以每袋23元的成本价收购一批农产品准备向外销售，当此农产品售价为每袋36元时，3月份销售125袋，4、5月份该农产品十分畅销，销售量持续走高.在售价不变的基础上，5月份的销售量达到180袋.设4、5这两个月销售量的月平均增长率不变. （1）求4、5这两个月销售量的月平均增长率； （2）6月份起，该商店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/袋，销量就增加4袋，当农产品每袋降价多少元时，该商店6月份获利1920元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙城县2024-2025学年度八年级数学第二学期期中测试试卷 （时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 2. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故选：C 3. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 4. 下列各组数是勾股数的为（　　） A. 2，4，5 B. 8，15，17 C. 11，13，15 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数是应该符合a2+b2＝c2的据此作答即可． 【详解】解：A、22+42＝20≠52，故A不是； B、82+152＝289＝172，故B是勾股数； C、112+132＝290≠152，故C不是； D、42+52＝41≠62，故D不是； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股数的特点和判定方法是解题的关键． 5. 方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. 一 B. C. . D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，解不等式即可． 【详解】∵方程（m-1）x2+2x+3=0是关于x的一元二次方程， ∴m-1≠0， ∴m≠1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 6. 已知关于的方程的两实数根互为相反数，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到，解得k的值，然后分别计算△，最后确定k=-1． 【详解】解：设两个根分别为x1，x2，且x2=-x1， 则， 即， 解得， 当k=1，方程变为：x2+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=1舍去； 当k=-1，方程变为：x2-1=0，△=4＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式和根与系数关系．解答本题切记不能疏忽△＞0． 7. 在ABC中，三边长分别为a，b，c，且，，则ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ABC是直角三角形． 故选： A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方是解题的关键． 8. 我们约定“&”一个实际意义，规定，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、二次根式的混合运算等知识点，运用新定义运算将所求转换成二次根式的混合运算成为解题的关键． 先根据新定义运算法则将转换成二次根式混合运算的形式，然后运用二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 10. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在，，，中，是最简二次根式的是___． 【答案】. 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可． 【详解】∵，＝4，＝，＝3， ∴在，，，中是最简二次根式的是， 故答案为. 【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键． 12. 如果，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 13. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该种品牌的手机经过两次降价后的价格，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14. 在等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，为． （1）的长为___________； （2）点到的距离为___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据是等腰直角三角形，，为斜边，勾股定理，即可求解． （2）分类讨论，作出两个图形，由是等腰直角三角形，，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）∵，以为腰作等腰直角三角形，为． ∴, 故答案为：． （2）①如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ， 点到的距离等于点到的距离， 过点作于点， 为等腰直角三角形，， 由勾股定理得：，即， ， ， 点到的距离为； ②如图： 是等腰直角三角形，， ， ， ，， 点到的距离即的长， 由勾股定理得，即， ， ， ，即点到的距离为． 故答案为：或． 三、（本大题共2）小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据乘法分配律进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 本题利用因式分解法，解方程即可． 【详解】解： 或， ，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 【答案】a2+6a，4﹣3． 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而把已知代入求出答案． 【详解】解：原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6 ＝2a2﹣6﹣a2+6a+6 ＝a2+6a 把a＝﹣1代入，得， 原式＝a2+6a＝（﹣1）2+6（﹣1） ＝4﹣3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键． 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）ABC的周长为 ； （2）∠ABC＝　 　度； （3）ABC的面积为　 　． 【答案】（1）3+5；（2）90；（3）5 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出ABC的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°． （3）根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝， ABC的周长＝2+5＝3+5， 故答案为：3+5； （2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°． 故答案为：90； （3）ABC的面积＝ ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ 【答案】当AD=64米时，水渠的造价最低，最低造价是480元． 【解析】 【详解】试题分析：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出． 试题解析：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，∵∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，∴AB===100米，∵CD•AB=AC•BC，即CD•100=80×60，∴CD=48米，∴在Rt△ACD中AC=80，CD=48，∴AD===64米，所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元． 考点：1．勾股定理的应用；2．应用题． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接． 求证：； 若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】 【分析】（1）先求出∠C=135°，再根据，求出∠E=45°，所以，可证且，证明四边形是平行四边形即可； （2）四边形是平行四边形，求出，即可求解． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴且， 四边形是平行四边形， ∴． 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形的面积． 【点睛】本题考查的是四边形的综合运用，熟练掌握平行和平行四边形的性质是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 已知是方程的两个实数根，且． （1）求及a的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义： （1）根据根与系数的关系得到，再由已知条件求出，进而求出，则； （2）根据一元二次方程解的定义得到，由根与系数的关系得到，再把所求式子变形为，进一步化简得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， ． 八、（本题满分14分） 23. 某商店在今年2月底以每袋23元的成本价收购一批农产品准备向外销售，当此农产品售价为每袋36元时，3月份销售125袋，4、5月份该农产品十分畅销，销售量持续走高.在售价不变的基础上，5月份的销售量达到180袋.设4、5这两个月销售量的月平均增长率不变. （1）求4、5这两个月销售量的月平均增长率； （2）6月份起，该商店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/袋，销量就增加4袋，当农产品每袋降价多少元时，该商店6月份获利1920元？ 【答案】（1）4、5两个月销售量的平均增长率为20%；（2）每袋降价3元时，获利1920元. 【解析】 【分析】（1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据3月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每袋降价y元，则6月份的销售量为袋，根据总利润=每袋利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为，则 解得， （不合题意，舍去） 即4、5两个月销售量的平均增长率为20%； （2）设每袋降价元，则 解得，（不合题意，舍去） ∴每袋降价3元时，获利1920元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $