第15讲 分式的运算 暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

八年级暑假能力强化班（人教版） 第十讲：分式的运算 1、 课程目标 1.掌握分式的乘法、除法运算. 3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 4.能利用分式的基本性质通分及进行加减法. 二、课程内容 知识点一 分式的乘除 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 题型一 分式中单项式的乘除法 例1 计算： （1）； (2). 配套练习 1-1 （1）； （2）. 题型二 分式中多项式的乘除法 例1-2 化简求值：（1） ； （2） . 配套练习 1-2 计算： (1) ； (2) . 知识点二 分式的乘除混合运算 题型一 分式中乘除混合运算 例2-1 计算： (1) ; （2） . 配套练习2-1 计算： （1） ； （2） . 题型二 分式中化简求值 例2-2 先化简，后计算：，其中. 配套练习2-2已知，其中不为0，求的值. 知识点三 分式的乘方 乘方法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）. 注：1.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. 2.在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除；有多项式时应先分解因式，再约分. 题型一 分式中乘方运算 例3-1 （1） =_______；（2）=______. 配套练习3-1 计算： （1）； （2）. 题型二 分式乘除、乘方混合运算 例3-2 （1）;（2）. 配套练习3-2 计算： （1） ； （2） . 知识点四 分式的加减法——同分母分式 1.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号括起来，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 例4-1 化简：（1） ； （2）. 配套练习4-1 计算：（1） ；（2） . 知识点五 分式的通分 最简公分母：计算分式的加减时，若分母不同，需要通分，找到两个分母的最简公分母. 上述法则可用式子表示为：. 例5-1 通分： 与. 配套练习5-1 分式通分： 和 . 知识点六 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减运算变成同分母分式的加减运算. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型一 异分母分式的加减运算 例6-1 化简的结果为（ ）. A. B. C. D. 　　 配套练习6-1 计算： (1)； (2) . 题型二 分式的加减求值 例6-2 先化简，再求值：，其中.A 配套练习6-2 已知，求 的值 知识点七 分式的混合运算 1.分式的混合运算： 分式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，再加减；若有括号，先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行计算. 注：1.进行分式混合运算时，可将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法； 2.用乘法运算律、加法运算律简化运算； 3.运算结果是最简分式或整式. 例7-1 计算： . 配套练习6-2 计算： (1) ; (2) . 三、课程总结 学霸秘籍： 四、家庭作业 作业1：定制个性化习题15道 作业2：李老师发布的自定义习题 附加题 1.已知＝＋，求A、B的值． 2.先化简：÷﹣； 再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值． 一课一练 1．若分式的值为0，则x的值是（ ） 2. 计算-的正确结果为（ ） A． B． C．1 D．﹣1 3.已知=（a≠0），则代数式的值为　 　． 4.有一大捆粗细均匀的钢筋，现在确定其长度，首先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为　 　米． 5.（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． 6.先化简，÷（x＋3）·，然后再在1≤x≤3范围内选择一个你喜欢的x值代入求值. 家庭作业 1. 下列各式正确的是（　　） A．x6·x-2=x-12= B．x6÷x-2=x-3= C．（xy-2）3=x3y-2= D．（）-1= 2.把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变原来的 D．不改变 3. 化简（+）÷的结果为（　　） A． B． C． D． 4. 计算-的正确结果为（ ） A． B． C．1 D．﹣1 5.计算÷8x2y的结果是 ，（）2= . 6.计算：•÷=　 　． 7.先化简，再求值： ⑴÷÷（a+b），其中a=18，b=2； （2）已知∣x-3∣+（y-4）2=0，求÷的值. （3）·÷，其中a满足a2-a=0． 8.定义新运算：x※y=，计算a※b×[b※（﹣a）]． 学科网（北京）股份有限公司 $$八年级暑假能力强化班（人教版） 第十讲：分式的运算 1、 课程目标 1.掌握分式的乘法、除法运算. 3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 4.能利用分式的基本性质通分及进行加减法. 二、课程内容 知识点一 分式的乘除 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 题型一 分式中单项式的乘除法 例1 计算： （1）； (2). 【思路分析】本题考查分式的乘除法运算.除法转换为乘以其倒数，注意约去分子与分母的公因式. 【解】(1) ； (2) . 【总结提示】1.分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. 2.整式与分式相乘，可以直接把整式和分式的分子相乘作为分子，分母不变（整式可以看作分母是1的代数式）.当整式或分式的分子、分母是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. 配套练习 1-1 （1）； （2）. 【思路分析】(1)根据分式乘法法则，可得答案； (2)根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案. 【解】（1）原式； (2)原式. 题型二 分式中多项式的乘除法 例1-2 化简求值：（1） ； （2） . 【解】（1）原式； （2）原式=. 【总结提示】1.分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. 2.分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 配套练习 1-2 计算： (1) ； (2) . 【思路分析】(1)根据分式的乘法法则计算，要约去公因式； (2)除以一个分式等于乘以这个分式的倒数. 【解】(1)原式. (2)原式 . 知识点二 分式的乘除混合运算 题型一 分式中乘除混合运算 例2-1 计算： (1) ; （2） . 【思路分析】本题考查了分式的乘除混合运算：先把分子或分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分得到最简分式或整式. 【解】(1)原式 . （2）原式 . 【总结提示】1.分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. 2.分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 配套练习2-1 计算： （1） ； （2） . 【思路分析】本题主要是分式的乘除法问题，思考一下，分式的乘除法怎么运算； 【解】（1）原式 . （2）原式. 题型二 分式中化简求值 例2-2 先化简，后计算：，其中. 【思路分析】本题主要考查求代数式的值.利用完全平方公式和平方差公式化简得最简式，代入 的值即可. 【解】原式， 将 代入得：原式 . 配套练习2-2已知，其中不为0，求的值. 【解】原式. ∵ ， ∴ ， ∴ 原式＝， ∵ 不为0， ∴ 原式＝. 知识点三 分式的乘方 乘方法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）. 注：1.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. 2.在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除；有多项式时应先分解因式，再约分. 题型一 分式中乘方运算 例3-1 （1） =_______；（2）=______. 【思路分析】根据分式的乘方运算法则计算即可. 【解】：（1） . （2） . 故本题答案为： ；． 【总结提示】分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成. 配套练习3-1 计算： （1）； （2）. 【思路分析】对于本题，分式乘方时分子、分母要加上括号，分式本身的符号也要乘方. 【解】（1）原式 ；(2)原式 题型二 分式乘除、乘方混合运算 例3-2 （1）;（2）. 【解】（1）原式=. （2）原式= . 【总结提示】分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如 . 配套练习3-2 计算： （1） ； （2） . 【思路分析】根据分式的乘方法则，可得分式的乘方，根据分式乘除法的法则，可统一成乘法，根据分式的乘法法则，可得答案. 【解】（1）原式 . （2）原式                    . 知识点四 分式的加减法——同分母分式 1.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号括起来，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 例4-1 化简：（1） ； （2）. 【思路分析】 本题是同分母分式加减法运算，分母不变，分子相加减，然后若分子分母能分解因式，先分解因式，最后约分. 【解】（1）原式 . （2）原式 . 配套练习4-1 计算：（1） ；（2） . 【解】（1）原式 ． （2） 知识点五 分式的通分 最简公分母：计算分式的加减时，若分母不同，需要通分，找到两个分母的最简公分母. 上述法则可用式子表示为：. 例5-1 通分： 与. 【思路分析】1、分析题意，找出两个分式的最简公分母. 2、利用平方差公式、提取公因式法对两个分式的分母分解因式，就可找出分母的最小公倍数，即最简公分母； 3、接下来利用公式的基本性质，将分母化为最简公分母即可将分式通分. 【解】利用平方差公式、提取公因式的方法将两个分式变形为： 与 ， 根据最简公分母的概念，可知两个分式的最简公分母为， 利用分式的基本性质，将分母化为2(x+2)(x-2)，可得 与 . 配套练习5-1 分式通分： 和 . 【思路分析】先因式分解找出最简公分母，再根据分式的基本性质进行变形即可. 【解】. . 知识点六 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减运算变成同分母分式的加减运算. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型一 异分母分式的加减运算 例6-1 化简的结果为（ ）. A. B. C. D. 【思路分析】先通分再相减，注意约分化简. 【解】原式=  ． 故选C．  【总结提示】同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式的加减法法则进行运算，通分时要注意最简公分母的确定，分式加减运算的结果要化为最简分式或整式. 　　 配套练习6-1 计算： (1)； (2) . 【思路分析】(1)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； (2)原式各项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果. 【解】(1)原式； (2)原式=. 题型二 分式的加减求值 例6-2 先化简，再求值：，其中.A 【思路分析】先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算.  【解】原式.  当时，原式. 【总结提示】先化简再求值，一定要先计算且化为最简形式，再代入. 配套练习6-2 已知，求 的值 【思路分析】先进行通分，然后利用平方差公式进行因式分解，再约分化简.最后将 代入即可得到结果 【解】原式 . 知识点七 分式的混合运算 1.分式的混合运算： 分式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，再加减；若有括号，先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行计算. 注：1.进行分式混合运算时，可将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法； 2.用乘法运算律、加法运算律简化运算； 3.运算结果是最简分式或整式. 例7-1 计算： . 【解】原式= = = = =. 配套练习6-2 计算： (1) ; (2) . 【解】(1)原式 . (2)原式 . 三、课程总结 学霸秘籍： 四、家庭作业 作业1：定制个性化习题15道 作业2：李老师发布的自定义习题 附加题 1.已知＝＋，求A、B的值． 【思路分析】先把等式右边的两个分式相加，再与左边的分式相比较即可得出A、B的值． 【解】∵＋＝+=＝， 且＋＝， ∴= ∴，解得.. 【总结提示】①要想求得A，B的值，需要构造关于A，B的方程（组），在本题之类的问题中，通过分式的运算，得到两个相等的分式，根据其分子相等则得到关于A，B的二元一次方程组，解方程组则求得A、B的值.. ②容易因麻痹大意而不“都乘（或除以）”，因此在此类问题中要警钟长鸣. 2.先化简：÷﹣； 再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值． 【思路分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可． 【解】解：原式=·﹣=1﹣=﹣==-. 解不等式①，得：a＜2； 解不等式②，得：a≥﹣1. ∴不等式组的解集为﹣1≤a＜2，其整数解有﹣1、0、1. ∵a≠±1，∴a=0. 当a=0时，原式=-=1． 【总结提示】本题的化简具有一般性，但代入求值具有特殊性，从表面上看，a可在不等式组的整数解集内任意取值，实则暗布机关，先是为了使原式中的各分式有意义，需满足a≠1；二是为了满足除数不能为0的条件，需要≠0，则a≠-1，由此可知a的值只能为0. 一课一练 1．若分式的值为0，则x的值是（ ） A.x=3 B.x=0 C.-3 D.-4 【解】根据分式的值为0的条件是分子等于0，而分母不等于0，可以得到关于x的不等式组，解不等式组，得x=3.故答案为：A 2. 计算-的正确结果为（ ） A． B． C．1 D．﹣1 【解】原式=+===﹣1，故选：D． 3.已知=（a≠0），则代数式的值为　 　． 【解】设==k，则a=3k，b=2k，故原式===5．故答案为：5 4.有一大捆粗细均匀的钢筋，现在确定其长度，首先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为　 　米． 【解】先求出1千克钢筋的长度为米，因此m千克钢筋的长度为m•=（米），故这捆钢筋的总长度为米．故答案为：. 5.（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． 【解】（1）原式===. （2）原式==-. 6.先化简，÷（x＋3）·，然后再在1≤x≤3范围内选择一个你喜欢的x值代入求值. 【解】原式=··==. 根据分式有意义的条件，可知x的值不能等于2或-3，. 取x=，则原式==. 家庭作业 1. 下列各式正确的是（　　） A．x6·x-2=x-12= B．x6÷x-2=x-3= C．（xy-2）3=x3y-2= D．（）-1= 【解】解：A、x6•x﹣2=x4，错误；B、x6÷x﹣2=x8，错误；C、（xy﹣2）3=x3y﹣6=，错误；D、（）-1==，正确，故选：D． 2.把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变原来的 D．不改变 【解】分子、分母的x、y同时扩大2倍，则原式变为=，根据分式的基本性质，分式的值不变．故答案为：D 3. 化简（+）÷的结果为（　　） A． B． C． D． 【解】原式=（+）÷=•=，故选C． 4. 计算-的正确结果为（ ） A． B． C．1 D．﹣1 【解】原式=+===﹣1，故选：D． 5.计算÷8x2y的结果是 ，（）2= . 【解】÷8x2y =•=，（）2=·=，故答案为：， 6.计算：•÷=　 　． 【解】原式=••a2=.故答案为： 7.先化简，再求值： ⑴÷÷（a+b），其中a=18，b=2； （2）已知∣x-3∣+（y-4）2=0，求÷的值. （3）·÷，其中a满足a2-a=0． 【解】⑴原式=·÷（a+2b）·=． 当a=18，b=2时，原式==． （2）由∣x-3∣=0，得x=3；由（y-4）2=0，得y=4. 且÷=·==. 当x=3，y=4时，原式==. （3）原式=（a-2）（a+1）=a2-a-2， ∵a2-a=0，∴原式=0-2=-2. 8.定义新运算：x※y=，计算a※b×[b※（﹣a）]． 【解】∵x※y=， ∴a※b×[b※（﹣a）]=·=·（-）=-=-． 学科网（北京）股份有限公司 $$