第11讲 乘法公式 暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

（人教版）八年级暑假能力强化班 第六讲 乘法公式 课程目标 1．理解平方差公式与完全平方公式的内容. 2．熟练运用平方差公式与完全平方公式化简或求值，并能利用图形面积解释平方差公式与完全平方公式． 3．理解添括号的方法与作用，能利用添括号的方法进行计算或求值． 课程内容 知识点一 乘法公式 名称 平方差公式 完全平方公式 内容 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍 符号表示 （a+b）（a－b）=a2－b2 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a－b）2=a2－2ab+b2 公式特点 公式的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中第一项完全相同，第二项只有符号不同；公式的右边为第一项的平方减去第二项的平方 公式的左边是一个二项式的平方；公式的右边为一个二次三项式 拓展：平方差公式或完全平方公式中的a，b，既可以是一个字母，也可以是一个数或一个整式． 规律总结：利用乘法公式计算的步骤可概括为：一变：把能变形为乘法公式的算式变形为与乘法公式相同的形式、二套：套用乘法公式、三计算：利用相应的乘法公式计算． 题型一 利用平方差公式计算 例1 利用平方差公式计算： （1） ； （2）（4n －3m）（－4n－3m）； （3）（3x+y）（3x －y）（9x2+y2）． 练1 计算下列各题： （1）（x+y）（－y+x）； （2）（－m3－n3）（m3 －n3）； （3）[（2p）3+q5）][ （2p）3－q5]． 题型二 利用完全平方公式计算 例2 计算下列各题：（1）（2m+n）2；（2）（－3x－1）2；（3）． 练2 计算：（1）（－5a－4b）2；（2）（2a＋b－3）2；（3）592． 题型三 利用乘法公式化简求值 例3 先化简，再求值：（x＋y＋2）（x＋y－2）－（x＋2y）2＋3y2，其中． 练3 先化简，再求值：（x+2）（x－2）－（x+1）2，其中x=－3． 题型四 利用图形面积解释乘法公式 例4 小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题： （1）在图2中标明梯形的上底、下底和高的长度； （2）分别计算图1中阴影的面积与图2的面积； （3）根据上述结果可以得出什么结论？ 练4 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程． 题型五 利用乘法公式简便计算 例5 简便计算下列各题： （1）4 998×5 002 ；（2）；（3）1022；（4）0.99×1.01； 练5 计算下列各题： （1）；（2）2 0182－2 017×2 019 ；（3）（2+1）（22+1）（24+1）···（232+1）+1． 题型六 利用完全平方公式求值 例6 已知（m－n）2=8，（m+n）2=2，则 m2+n2=（ ）． A．10 B．6 C．5 D．3 练6 已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a－b)2的值． 题型七 利用乘法公式解决实际问题 例7 王强想把家里装修一下，某设计师为他家改建了餐厅，餐厅原来是边长为a+2b的正方形，改建后是长为a+3b，宽为a－3b的长方形，试问：改建后餐厅的面积是增大了还是减少了？通过计算说明（注：a＞3b＞0）． 练7 如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积． 知识点二 添括号法则 添括号时有两种情况： （1）如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不改变符号； 用字母表示为：a+b+c= a+（b+c） （2）如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都要改变符号； 用字母表示为：a－b+c= a－（b－c） 拓展：添括号的主要作用是通过添括号，得到一个满足乘法公式或某种形式的整式，从而为简化解题过程提供方便． 规律总结：添括号与去括号是两个互逆的变化过程，因此可利用去括号法则检验添括号的正确与否． 题型一 根据要求添括号 例8 不改变多项式－3x5－4x2+3x3－2的值，完成下列问题： （1）把它的后两项放在前面带有“+”号的括号里； （2）把它的后两项放在前面带有“－”号的括号里． （3）说出这个多项式的名称，并按x的降幂排列． 练8 把多项式x4y－4xy3+2x2－xy－1按下列要求添括号： （1）把四次项放在带“+”号的括号里； （2）把二次项相结合，放在带“－”号的括号里． 题型二 综合运用添括号法则与乘法公式 例9 运用乘法公式计算：（a+b+c）（a－b－c）+（a+b+c）2． 练9 计算:（1）（a－m+2n）2；（2）（2x－y－3）（2x－y+3）． 附加题 1．若x满足（9－x）（x－4）=4，求（4－x）2+（x－9）2的值． 解：设9－x=a，x－4=b， 则（9－x）（x－4）=ab=4，a+b=（9－x）+（x－4）=5， ∴（9－x）2+（x－4）2=a2+b2=（a+b）2－2ab=52－2×4=13． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5－x）（x－2）=2，求（5－x）2+（x－2）2的值 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积． 2．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①32－12=8×1；②52－32=8×2；③72－52=8×3． （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式； （2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n－1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数； （3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？ 一课一练 1．计算（2x－1）（1－2x）结果正确的是（　　）． A．4x2－1 B．1－4x2 C．－4x2+4x－1 D．4x2－4x+1 2．计算：（x+3）2－（x－2）（x+2）= ． 3．[－2（a+b）－5][2（a+b）－5]= ． 4．利用乘法公式计算下列各题： （1）（4x－5y）2（4x+5y）2；（2）（x+2y－z）（2y－x－z）． 5．计算：． 6．求（a＋2b－c）（a－2b－c）－（a－b－c）2的值，其中． 家庭作业 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）． A．（－a+b）（a－b） B．（－x+2）（－2+x） C． D．（x－2）（x+1） 2．若等式x2+ax+19=（x－5）2－b成立，则 a+b的值为（　　）． A．16 B．－16 C．4 D．－4 3．运用乘法公式计算（x＋2y－1）（x－2y＋1）时，下列变形正确的是（　　）． A．[x－（2y＋1）]2 B．[x＋（2y－1）][x－（2y－1）] C．[x＋（2y＋1）]2 D．[（x－2y）＋1][（x－2y）－1] 4．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）． A．1 B．13 C．17 D．25 5．计算（a－3）（3－a）= ． 6．从一个边长为2a+b的大正方形中剪出一个边长为b的小正方形，剩余的正好能剪拼成4个宽为a的长方形，那么这个长方形的长为 ． 7．计算： （1）已知求整式（2x+3y）2－（2x－3y）2的值； （2）x2+x－5=0，求x（x－3）－（x－1）2－（x+2）（x－2）的值 8．计算：的值． 9．观察下列各式规律： 12＋（1×2）2＋22＝（1×2＋1）2； 22＋（2×3）2＋32＝（2×3＋1）2； 32＋（3×4）2＋42＝（3×4＋1）2； … 写出第n行的式子，并证明你的结论． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$（人教版）八年级暑假能力强化班 第六讲 乘法公式 课程目标 1．理解平方差公式与完全平方公式的内容. 2．熟练运用平方差公式与完全平方公式化简或求值，并能利用图形面积解释平方差公式与完全平方公式． 3．理解添括号的方法与作用，能利用添括号的方法进行计算或求值． 课程内容 知识点一 乘法公式 名称 平方差公式 完全平方公式 内容 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍 符号表示 （a+b）（a－b）=a2－b2 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a－b）2=a2－2ab+b2 公式特点 公式的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中第一项完全相同，第二项只有符号不同；公式的右边为第一项的平方减去第二项的平方 公式的左边是一个二项式的平方；公式的右边为一个二次三项式 拓展：平方差公式或完全平方公式中的a，b，既可以是一个字母，也可以是一个数或一个整式． 规律总结：利用乘法公式计算的步骤可概括为：一变：把能变形为乘法公式的算式变形为与乘法公式相同的形式、二套：套用乘法公式、三计算：利用相应的乘法公式计算． 题型一 利用平方差公式计算 例1 利用平方差公式计算： （1） ； （2）（4n －3m）（－4n－3m）； （3）（3x+y）（3x －y）（9x2+y2）． 【思路分析】观察看出，各题都可以利用平方差公式进行计算，但要注意（1）、（2）中的a、b由单独的一个字母变为一个单项式，且（2）还需要进行适当的变形；在（3）中可先对前两个因式利用平方差公式计算，再把所得的积与第三个因式相乘． 【解】（1）． （2）（4n －3m）（－4n－3m）=－（4n －3m）（4n+3m） =－[（4n）2－（3m）2]=－（16n2－9m2）=9m2－16n2． （3）（3x+y）（3x －y）（9x2+y2）=[（3x）2－y2] （9x2+y2） =（9x2－y2）（9x2+y2）=（9x2）2－（y2）2=81x4－y4． 【总结提示】以（2）为例，在利用平方差公式计算时容易出现两类错误：一是只对字母进行平方而丢掉对数字因数进行平方，由此得到3m2－4n2的错误结果；二是盲目套用平方差公式计算，由此得到16n2－9m2的错误结果． 练1 计算下列各题： （1）（x+y）（－y+x）； （2）（－m3－n3）（m3 －n3）； （3）[（2p）3+q5）][ （2p）3－q5]． 【思路分析】观察可知，以上各题均可根据平方差公式计算．需要注意的是，（1）中“－”的位置发生了变化，（2）中符号发生了变化，（3）中的次数发生了变化． 【解析】（1）原式=（x+y）（x －y）= x2－y2． （2）原式= [（－n3） －m3）][（－n3）+ m3]=（－n3）2－（m3）2=n6－m6． （3）原式= [（2p）3]2－（q5）2=（2p）6－q10=64p6－q10． 题型二 利用完全平方公式计算 例2 计算下列各题：（1）（2m+n）2；（2）（－3x－1）2；（3）． 【思路分析】在（1）（3）中，可直接利用完全平方公式展开计算；在（2）中，注意先把括号中的 “－”号去掉，然后再利用完全平方公式计算。 【解】（1）（2m+n）2=（2m）2+2·（2m）·n+n2=4m2+4mn+n2； （2）（－3x－1）2=[－（3x+1）]2=（3x+1）2=（3x）2+2·（3x）·1+12=9x2+6x+1． （3）． 【总结提示】利用完全平方公式计算，与利用平方差公式计算的思路基本相同，只要把算式变形为符合完全平方公式后，即可按照公式计算． 练2 计算：（1）（－5a－4b）2；（2）（2a＋b－3）2；（3）592． 【解】（1）(－5a－4b)2＝(5a＋4b)2＝(5a)2＋(4b)2＋2×5a×4b＝25a2＋16b2＋40ab． （2）(2a＋b－3)2＝[2a＋(b－3)]2＝(2a)2＋(b－3)2＋2×2a×(b－3) ＝4a2＋b2＋9－2b×3＋4ab－12a＝4a2＋b2＋9＋4ab－12a－6b． （3）592＝(60－1)2＝602＋12－2×60×1＝3 600＋1－120＝3 481． 题型三 利用乘法公式化简求值 例3 先化简，再求值：（x＋y＋2）（x＋y－2）－（x＋2y）2＋3y2，其中． 【思路分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解】原式＝(x＋y)2－4－(x2＋4xy＋4y2)＋3y2＝x2＋2xy＋y2－4－x2－4xy－4y2＋3y2 ＝－2xy－4． 当时，原式． 【总结提示】此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 练3 先化简，再求值：（x+2）（x－2）－（x+1）2，其中x=－3． 【思路分析】原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解】原式=x2－4－（x2+2x+1）=x2－4－x2－2x－1=－2x－5． 当x=－3时，原式=－2×（－3）－5=6－5=1． 题型四 利用图形面积解释乘法公式 例4 小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题： （1）在图2中标明梯形的上底、下底和高的长度； （2）分别计算图1中阴影的面积与图2的面积； （3）根据上述结果可以得出什么结论？ 【思路分析】（1）根据图形的剪拼方法，即可标出梯形的上底、下底和高的长度；（2）分别按正方形面积公式与梯形面积公式计算即可；（3）利用图1和图2的面积相等，即可验证平方差公式． 【解】（1）标明有关的长度的图形如答图所示． （2）S图1阴影=a2－b2，S图2． （3）根据图形的剪拼方法，可知图1与图2的面积相等， 即（a+b）（a－b）= a2－b2，由此验证了平方差公式的正确性． 【总结提示】本题是利用图形之间的关系验证平方差公式，由于代数式属于“数”，图形属于“形”，因此这种研究问题的方法叫做数形结合法，基本方法是（以本题为例）：利用相关的图形面积公式，可以分别求出图1与图2的面积，由于两个面积相等，则得到一个关于图形面积的等式，化简这个等式，即可得到平方差公式． 练4 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程． 【思路分析】根据图乙可知，阴影正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，然后加上多减去的右上角的小正方形的面积． 【解】根据正方形面积公式，得S阴影=（a－b）2=a2－2ab+b2， 或S阴影= a2－ab－ab +b2= a2－2ab +b2． ∴（a－b）2= a2－2ab +b2，则得到两数差的完全平方公式． 题型五 利用乘法公式简便计算 例5 简便计算下列各题： （1）4 998×5 002 ；（2）；（3）1022；（4）0.99×1.01； 【思路分析】（1）中4 998可写为（5 000－2），5 002可写为（5 000＋2），由此可利用平方差公式简便计算；（2）中的可写为，可写为，由此可以用平方差公式进行简便运算；（3）因为1=2－1，所以原式可添加（2－1），由此可连续应用平方差公式简便计算． 【解】（1）原式=（5 000－2）（5 000＋2）＝5 0002－22＝25 000 000－4＝249 999 996． （2）原式． （3）原式=（100－2）2=1002+22－400=9 604． （4）原式=（1－0.01）×（1+0.01）=1－0.012=1－0.000 1=0.999 9． 【总结提示】在利用乘法公式简便计算时，利用平方差公式的较多，当两个乘数之和的一半是一个整十、整百的数或一个比较便于计算的数时，均可考虑利用平方差公式简便计算． 练5 计算下列各题： （1）；（2）2 0182－2 017×2 019 ；（3）（2+1）（22+1）（24+1）···（232+1）+1． 【思路分析】（1）因为102=100+2，所以根据完全平方公式进行简便计算；（2）因为0.99= 1－0.01，1.01=1+0.01，所以根据平方差公式进行简便计算；（3）因为，所以根据完全平方公式进行简便计算；（4）可综合运用平方差公式与完全平方公式简便计算． 【解】（1）原式． （2）原式=20182－（2018－1）×（2018+1）=20182－20182+1=1． （3）原式=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）···（232+1）+1=264－1+1=264． 题型六 利用完全平方公式求值 例6 已知（m－n）2=8，（m+n）2=2，则 m2+n2=（ ）． A．10 B．6 C．5 D．3 【思路分析】根据完全平方公式由（m－n）2=8得到m2－2mn+n2=8①,由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②,然后由①+②得,2m2+2n2=10,变形即可得到m2+n2的值． 【解】∵（m－n）2=8， ∴m2－2mn+n2=8①． ∵（m+n）2=2， ∴m2+2mn+n2=2②． 由①+②得,2m2+2n2=10, ∴m2+n2=5． 故选C． 练6 已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a－b)2的值． 【思路分析】利用完全平方公式展开，得到含两数的平方和与这两数积的两倍的式子，再将条件代入求解． 【解】因为a2+b2=13，ab=6， 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25，(a－b)2=a2+b2－2ab=13－2×6=1． 【总结提示】在利用完全平方公式进行计算时,经常会遇到这个公式的如下变形:①(a+b)2－2ab=a2+b2；②(a－b)2+2ab=a2+b2;③(a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2);④(a+b)2－(a－b)2=4ab，灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力． 题型七 利用乘法公式解决实际问题 例7 王强想把家里装修一下，某设计师为他家改建了餐厅，餐厅原来是边长为a+2b的正方形，改建后是长为a+3b，宽为a－3b的长方形，试问：改建后餐厅的面积是增大了还是减少了？通过计算说明（注：a＞3b＞0）． 【思路分析】分别计算改建前正方形的面积以及改建后长方形的面积，然后计算他们的面积之差即可判断面积增大还是减少． 【解】（a+2b）2－（a－3b）（a+3b）=a2+4ab+4b2－（a2－9b2）=4ab+13b2， ∵a＞3b＞0，∴4ab+13b2＞0， ∴所以改建后餐厅的面积减少了． 【总结提示】本题求解关键环节有两个，一是利用“作差法”确定餐厅面积的变化情况；二是说明4ab+13b2的符号．由于餐厅各边的长度都是正值，所以ab与b2都是正数，则4ab+ 13b2＞0． 练7 如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积． 【思路分析】根据长方形面积公式，即可求出阴影部分的面积，把a=3，b=2代入计算，即可求得具体的数值． 【解】绿化部分的面积=（3a+b）（2a+b）－（a+b）2=6a2+5ab+b2－a2－2ab－b2=5a2+3ab， 当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63（m2）． 答：当a=3，b=2时的绿化面积为63m2． 知识点二 添括号法则 添括号时有两种情况： （1）如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不改变符号； 用字母表示为：a+b+c= a+（b+c） （2）如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都要改变符号； 用字母表示为：a－b+c= a－（b－c） 拓展：添括号的主要作用是通过添括号，得到一个满足乘法公式或某种形式的整式，从而为简化解题过程提供方便． 规律总结：添括号与去括号是两个互逆的变化过程，因此可利用去括号法则检验添括号的正确与否． 题型一 根据要求添括号 例8 不改变多项式－3x5－4x2+3x3－2的值，完成下列问题： （1）把它的后两项放在前面带有“+”号的括号里； （2）把它的后两项放在前面带有“－”号的括号里． （3）说出这个多项式的名称，并按x的降幂排列． 【思路分析】（1）（2）均可利用添括号法则求解；（3）根据多项式的项数、次数的定义，以及降幂排列的顺序求解即可． 【解】（1）－3x5－4x2+3x3－2=－3x3－4x2+（3x3－2）； （2）－3x5－4x2+3x3－2=－3x3－4x2－（－3x3+2）； （3）这个多项式是五次四项式，按x的降幂排列是：－3x5+3x3－4x2－2． 【总结提示】（1）添括号是添上括号和括号前面的符号．也就是说，添括号时，括号前面的+或－也是新添的不是原来多项式的某一项的符号移出来的；（2）添括号与去括号互为逆变形，添括号是否正确，可以用去括号进行检验． 练8 把多项式x4y－4xy3+2x2－xy－1按下列要求添括号： （1）把四次项放在带“+”号的括号里； （2）把二次项相结合，放在带“－”号的括号里． 【思路分析】（1）根据添括号法则，把四次项－4xy3放在前面带有“﹢”号的括号里时，本身的符号不变；（2）根据添括号法则，把二次项2x2，－xy放在前面带有“－”号的括号里，其符号都要改变． 【解】（1）x4y－4xy3+2x2－xy－1=x4y+（－4xy3）+2x2－xy－1． （2）x4y－4xy3+2x2－xy－1=x4y－4xy3－（－2x2+xy）－1． 题型二 综合运用添括号法则与乘法公式 例9 运用乘法公式计算：（a+b+c）（a－b－c）+（a+b+c）2． 【思路分析】利用乘法公式化简即可，其中注意到第一个因式可利用平方差公式简便计算，第二个因式可分解为（a+b+c）2=[a+（b+c）]2，这样可使计算简单些． 【解】原式=[a+（b+c）][a－（b+c）]+[a+（b+c）]2 =a2－（b+c）2+a2+2a（b+c）+（b+c）2 =a2+a2+2a（b+c） =2a2+2ab+2ac． 【总结提示】在利用乘法公式进行比较复杂的计算时，应注意两点：一是静下心来耐心应对，因为计算能力是初中数学的基本能力之一；二是积极寻找题目中隐含的规律、方法等，尽最大努力找到比较简单的求解方法． 练9 计算:（1）（a－m+2n）2；（2）（2x－y－3）（2x－y+3）． 【思路分析】对于（1），括号内有三项,可将其中的两项添括号视为一个整体，再运用完全平方公式求解；对于（2），是两个三项式相乘，可将符号相同的项添括号当作平方差公式中的a，符号相反的项当作平方差公式中的b，运用平方差公式计算后再利用完全平方公式计算可获解． 【解】（1）原式=[（a－m）+2n]2 =（a－m）2+4n（a－m）+4n2 =a2－2am +m2+4an －4mn +4n2． （2）原式=[（2x－y） －3][（2x－y）+3] =（2x－y）2－32 =4 x－4xy+y2－9． 【总结提示】本题运用了整体思想求解．对于平方式中底数是三项的,可通过添括号将其中任意两项视为一个整体,就符合完全平方公式特点;对于两个多项式的乘积中各项均为三项或四项的,可将符号相同的项及符号相反的项分别添括号视为一个整体,化成符合平方差公式的形式,通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开,最后合并同类项可得结果． 附加题 1．若x满足（9－x）（x－4）=4，求（4－x）2+（x－9）2的值． 解：设9－x=a，x－4=b， 则（9－x）（x－4）=ab=4，a+b=（9－x）+（x－4）=5， ∴（9－x）2+（x－4）2=a2+b2=（a+b）2－2ab=52－2×4=13． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5－x）（x－2）=2，求（5－x）2+（x－2）2的值 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积． 【思路分析】（1）设（5－x）=a，（x－2）=b，仿照题例即可求解；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，即可求出阴影部分面积． 【解】（1）设（5－x）=a，（x－2）=b， 则（5－x）（x－2）=ab=2，a+b=（5－x）+（x－2）=3， ∴（5－x）2+（x－2）2=（a+b）2－2ab=32－2×2=5． （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3， ∴MF=DE=x－1，DF=x－3． ∵长方形EMFD的面积是48，∴（x－1）•（x－3）=48． ∴阴影部分的面积=MF2－DF2=（x－1）2－（x－3）2． 设（x－1）=c，（x－3）=d， 则cd=48，c－d=（x－1）－（x－3）=2， ∴（c+d）2=（c－d）2+4cd=4+4×48=196． ∵c+d＞0，∴c+d =14． ∴（x－1）2－（x－3）2=c2－d2=（c+d）（c－d）=14×2=28．即阴影部分的面积是28． 【总结提示】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要借助于图形面积进行分析． 2．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①32－12=8×1；②52－32=8×2；③72－52=8×3． （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式； （2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n－1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数； （3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？ 【思路分析】（1）类比已知算式即可写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算即可验证；（3）利用平方差公式即可说明这个结论不正确． 【解】（1）92－72=8×4112－92=8×5； （2）两个连续奇数的平方差为： （2n+1）2－（2n－1）2=（2n+1－2n+1）（2n+1+2n－1）=2×4n=8n． ∵n为正整数， ∴8n一定是8的倍数． ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数． （3）结论：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”不正确． 理由如下： 设这两个偶数分别为2n和2n+2（其中n为正整数）， 则两个偶数的平方差为：（2n+2）2－（2n）2=（2n+2－2n）（2n+2+2n）=8n+4． ∵n为正整数， ∴8n一定是8的倍数，则8n+4一定不是8的倍数． ∴这个结论不正确． 【总结提示】本题中，在解决某数是8的倍数或被8整除时，基本方法是把原式变形，使之变形为8与一个整数乘积的形式，如果这个变形能够实现，则该数是8的倍数；否则，不是． 一课一练 1．计算（2x－1）（1－2x）结果正确的是（　　）． A．4x2－1 B．1－4x2 C．－4x2+4x－1 D．4x2－4x+1 【解】原式=（2x－1）[－（2x－1）]= －（2x－1）2=－4x2+4x－1． 故选C． 2．计算：（x+3）2－（x－2）（x+2）= ． 【解】原式=x2+9x+9－（x2－4）=x2+9x+9－x2+4=9x+13． 故填9x+13． 3．[－2（a+b）－5][2（a+b）－5]= ． 【解】原式=[－5－2（a+b）] [－5+2（a+b）] =（－5）2－[2（a+b）]2 =25－4（a+b）2 =25－4a2－8ab－4b2． 故填25－4a2－8ab－4b2． 4．利用乘法公式计算下列各题： （1）（4x－5y）2（4x+5y）2；（2）（x+2y－z）（2y－x－z）． 【解】（1）（4x－5y）2（4x+5y）2=[（4x－5y）（4x+5y）]2=（16x2－25y2）2=256x4－800x2y2+625y4． （2）（x+2y－z）（2y－x－z）=－[x+（2y－z）][x－(2y－z)]=－[ x2－(2y－z)2] = －[x2－4y2+4yz－z2]= 4y2－4yz+z2－x2． 5．计算：． 【解】设a=20182017，则20182016=a－1，20182018=a+1． 原式=． ∴． 6．求（a＋2b－c）（a－2b－c）－（a－b－c）2的值，其中． 【解】原式＝[(a－c)＋2b][(a－c)－2b]－[(a－b)－c]2＝(a－c)2－4b2－[(a－b)2－2c(a－b)＋c2]＝a2－2ac＋c2－4b2－(a2－2ab＋b2－2ac＋2bc＋c2) ＝a2－2ac＋c2－4b2－a2＋2ab－b2＋2ac－2bc－c2 ＝－5b2＋2ab－2bc． 当时，原式． 家庭作业 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）． A．（－a+b）（a－b） B．（－x+2）（－2+x） C． D．（x－2）（x+1） 【解】A、原式=－（a－b）（a－b）=－（a－b）2，故A不能用平方差公式； B、原式=－（x－2）2，故B不能用平方差公式； D、原式=x2－x+1，故D不能用平方差公式． 故选C． 2．若等式x2+ax+19=（x－5）2－b成立，则 a+b的值为（　　）． A．16 B．－16 C．4 D．－4 【解】已知等式整理得：x2+ax+19=（x－5）2－b=x2－10x+25－b，可得a=－10，b=6，则a+b=－10+6=－4． 故选D． 3．运用乘法公式计算（x＋2y－1）（x－2y＋1）时，下列变形正确的是（　　）． A．[x－（2y＋1）]2 B．[x＋（2y－1）][x－（2y－1）] C．[x＋（2y＋1）]2 D．[（x－2y）＋1][（x－2y）－1] 【解】运用平方差公式计算(x+2y－1)(x－2y+1), 应变形为[x+(2y－1)][x－(2y－1)] ． 故选B． 4．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）． A．1 B．13 C．17 D．25 【解】将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13． 故选B． 5．计算（a－3）（3－a）= ． 【解】（a－3）（3－a）=－（a－3）（a－3）=－（a2－6a+9）=－a2+6a－9． 故填－a2+6a－9． 6．从一个边长为2a+b的大正方形中剪出一个边长为b的小正方形，剩余的正好能剪拼成4个宽为a的长方形，那么这个长方形的长为 ． 【解】[（2a+b）2－b2]÷4÷a=（2a+b+b）（2a+b－b）÷4÷a =4a（a+b）÷4÷a=a（a+b）÷a=a+b， 即这个长方形的长为a+b． 故填a+b． 7．计算： （1）已知求整式（2x+3y）2－（2x－3y）2的值； （2）x2+x－5=0，求x（x－3）－（x－1）2－（x+2）（x－2）的值 【解】（1）（2x+3y）2－（2x－3y）2=（4x2+12xy+9y2）－（4x2－12xy+9y2） =4x2+12xy+9y2－4x2+12xy－9y2=24xy． 当时，原式． （2）原式=x2－3x－x2+2x－1－x2+4=－x2－x+3， ∵x2+x－5=0，∴x2+x=5，∴原式=－x2－x+3=－（x2+x）+3=－5+3=－2． 8．计算：的值． 【解】原式 ． 9．观察下列各式规律： 12＋（1×2）2＋22＝（1×2＋1）2； 22＋（2×3）2＋32＝（2×3＋1）2； 32＋（3×4）2＋42＝（3×4＋1）2； … 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【解】n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2 证明：∵左边＝n2＋(n4＋2n3＋n2)＋(n2＋2n＋1)＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1， 右边＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1， ∴左边＝右边，∴结论得证． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$