第10讲 整式乘法 暑假预习讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

（人教版)八年级暑假能力强化班 第五讲 整式的乘法 课程目标 1．理解整式的乘法法则，并能熟练利用该法则计算． 2．理解同底数幂的除法法则与0指数幂的意义，并能熟练利用该法则计算． 3．理解整式的除法法则，并能熟练利用该法则计算． 课程内容 知识点一 单项式与单项式相乘的法则 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的一个因式． 具体方法：单项式与单项式相乘可分为三步：①把系数与系数相乘作为积的系数，其依据是有理数的乘法法则；②把相同字母的幂分别相乘作为积的因式，依据是同底数幂的乘法法则；③其余字母连同其指数不变作为积的一个因式． 规律总结：当算式中既有乘法运算也有乘方运算时，一般先进行乘方运算，然后进行乘法 运算． 题型 利用单项式与单项式相乘的法则计算 例1计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 练1下列运算正确的是(　　)． A．(－2ab)·(－3ab)3=－54a4b3 B．(－2x2)2·(－3x)3=108x C．(－0.1b)·(－10b2)3=－b7 D． 知识点二 单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则 单项式乘多项式 多项式乘多项式 法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 符号表示 a(b+c)=ab+ac (a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn 特点 单项式乘多项式的结果仍是多项式，并且其项数与该多项式的项数相同 两个多项式相乘，结果仍是一个多项式，并且在没合并同类项之前，其项数为这两个多项式的项数之积 规律总结：(1)单项式乘多项式与多项式乘多项式，都可以转化为单项式乘单项式，因此单项式乘单项式是整式乘法的基础，必须牢固掌握． (2)单项式乘多项式或多项式乘多项式的结果中若有同类项，应合并同类项，然后把所得结果按某个字母的次数降(升)幂排列． 易错点津：单项式乘多项式或多项式乘多项式，易错点是“漏乘”，即在相乘的过程中漏掉与某一项相乘，特别是某个多项式的常数项为1或－1时，“漏乘”的错误更容易出现． 题型一 利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则计算 例2计算下列各题： (1)； (2)(x+7)(x－6)－(x－2)(x+1)； (3)； (4)． 练2计算下列各题： (1)； (2)(x+5)(2x－3)－2x(x2－2x+3)． 题型二 整式的乘法在实际中的应用 例3小王刚买到一套新房，其平面图如图所示，他计划卧室铺木地板，其余部分铺地板砖，已知各室的地面都是长方形． (1)至少需要多少平方米的地板砖？ (2)当x=3 m， m时，所铺的地板砖的价格为80 元/m2，至少需要多少元钱？ 练3已知三角形的底边长为(2x+1)cm，高是(x－2)cm，若把这个三角形的底边和高各增加5 cm，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积． 题型三 根据整式乘积的特征求值 例4已知(x2+mx+n)(x+1)的结果中不含x2项和x项，求m，n的值． 练4若关于x的多项式(x2+x－n)(mx－3)的展开式中不含x2和常数项，求m，n 的值． 题型四 利用整式的乘法求值 例5已知等式(x+a)(x+b)=x2+mx+28，其中a、b、m均为正整数，你认为m可取哪些值？请你写出所有满足题意的m的值． 练5若(x+a)(x+2)=x2－5x+b，则a+b的值是多少？ 知识点三 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用符号可表示为am÷an＝am－n(a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n)． 零指数幂的运算法则：任意一个不等于0的数的0次幂等于1 ．用符号表示为a0=1(a≠0)． 拓展：零指数幂可以看做同底数幂除法的一种特殊情况，即m=n，因此同底数幂的除法法则可以扩充到am÷an＝am－n(a≠0，m、n都是正整数，并且m≥n)． 易错警示：在理解零指数幂的意义时，一定要注意a≠0这个前提条件． 题型 利用同底数幂的除法法则计算 例6计算下列各题：(1)(m2)n·(mn)3÷mn－2·m0；(2)[(－x4)2]3÷[(－x)3]3·x3． 练6已知 10m=20，10n=4，求： (1)2m－n的值； (2)的值． 知识点四 整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 法则 单项式与单项式相出，把它们的系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，用字母可表示为 (a+b)÷c=a÷c+b÷c 特点 单项式除以单项式，所得的结果仍是单项式，并且商的次数一般小于被除单项式的次数 多项式除以单项式，所得的结果仍是多项式，并且其项数与该多项式的项数相同 规律总结：因为整式的除法与整式的乘法互为逆运算，因此可利用整式的乘法检验整式的除法的运算结果正确与否． 题型一 利用整式的除法计算或化简 例7计算 (1)(3x3y－18x2y2+x2y)÷(－6x2y); (2)． (3)(a－b)3÷(b－a)2+(－a－b)5÷(a+b)4． 练7计算： (1)(3x2y－6xy)÷6xy； (2)(2a4b2c3)2÷(a2b)3； (3)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y． 例8先化简，再求值：[(2x+y)(2x+y)－y(y+4x)－8xy]÷(2x)，其中x=2，y=－1． 练8先化简，后求值．[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2019，y=2018． 题型二 利用整式的除法求某个字母的值 例9已知，那么(　　)． A．a=2，b=3 B．a=6，b=3 C．a=3，b=6 D．a=7，b=6 练9已知4am+1b·7ab n+1÷(2anb)2=7a2b2，那么m、n的值为(　　)． A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2 题型三 整式的除法实际应用 例10如图所示的是一个长方体，已知长方体的体积V=dm)3，长方体的长AD =3a2b3c(dm)3，长方体的宽DE=9(a2bc)3 (dm)3， 求长方体的高AB． 练10红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这件陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a=4时，求出具体的扣板数． 附加题 1．课堂上老师出了这么一道题：(2x－3)x+3－1=0，求x的值． 小明同学解答如下：∵(2x－3)x+3－1=0，∴(2x－3)x+3=1． ∵(2x－3)0=1，∴x+3=0， 解得x=－3． 请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值． 2．四个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，这个记号就叫做2阶行列式．例如：．若 ，求x的值． 一课一练 1．下列计算正确的是(　　)． A．(xy)3=xy3 B．x5÷x5=x C．3x2•5x3=15x5 D．5x2y3+2x2y3=10x4y9 2．单项式A与－3x2y的乘积是6x6y2，则单项式A是(　　)． A．2x3y B．－2x3y C．－2x4y D．2x4y 3．如果(x2+px+q)(x2－5x+7)的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是( )． A．p=5，q=18 B．p=－5，q=18 C．p=－5，q=－18 D．p=5，q=－18 4．一个长方形的面积为(6ab2＋4a2b)cm2，一边长为2ab cm，则它的周长为　　　　cm． 5．在长为(3a＋2)、宽为(2b＋3)的长方形铁片的四角，剪去边长为a的正方形铁片，做成一个无盖的长方体铁盒，求这个长方体铁盒的体积(其中2b＋3＞2a)． 6．已知有理数a、b、c满足|a－b－3|+(b+1)2+|c－1|=0，求(－3ab)•(a2c－6b2c)的值． 家庭作业 1．若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝2x5y4，则(　　)． A．a＝6，m＝5，n＝0 B．a＝18，m＝3，n＝0 C．a＝18，m＝3，n＝1 D．a＝18，m＝3，n＝4 2．若(x－5)(2x－n)=2x2+mx－15，则m、n的值分别是(　　)． A．m=－7，n=3 B．m=7，n=－3 C．m=－7，n=－3 D．m=7，n=3 3．若x+y=3且xy=1，则代数式(1+x)(1+y)的值等于(　　)． A．5 B．－5 C．3 D．－3 4．计算：(－3x2y2)2•2xy+(xy)3= ． 5．一个长方体的长、宽、高分别是3x－4、2x2+1、3－2x，它的体积等于 ． 6．三角表示3abc，方框 表示－4xywz，则×．=________． 7．计算： (1)(－2x2y)3•3(xy2)2； (2)； (3)(3m2n)2•(－2m2)3÷(－m2n)2； (4)． 8．欢欢与乐乐两人共同计算(2x+a)(3x+b)，欢欢抄错为(2x－a)(3x+b)，得到的结果为6x2－13x+6；乐乐抄错为(2x+a)(x+b)，得到的结果为2x2－x－6． (1)式子中的a、b的值各是多少？ (2)请计算出原题的正确答案． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$(人教版)八年级暑假能力强化班 第五讲 整式的乘法 课程目标 1．理解整式的乘法法则，并能熟练利用该法则计算． 2．理解同底数幂的除法法则与0指数幂的意义，并能熟练利用该法则计算． 3．理解整式的除法法则，并能熟练利用该法则计算． 课程内容 知识点一 单项式与单项式相乘的法则 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的一个因式． 具体方法：单项式与单项式相乘可分为三步：①把系数与系数相乘作为积的系数，其依据是有理数的乘法法则；②把相同字母的幂分别相乘作为积的因式，依据是同底数幂的乘法法则；③其余字母连同其指数不变作为积的一个因式． 规律总结：当算式中既有乘法运算也有乘方运算时，一般先进行乘方运算，然后进行乘法 运算． 题型 利用单项式与单项式相乘的法则计算 例1计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路分析】各题均可按照单项式乘单项式的法则计算，但要注意在(2)(3)(4)中要先进行乘方运算再相乘． 【解】(1)原式． (2)原式． (3)原式． (4)原式 ． 【总结提示】单项式与单项式相乘的方法，可类比于有理数的乘法，它们不仅确定乘积符号的方法相同，而且运算顺序也相同． 练1下列运算正确的是(　　)． A．(－2ab)·(－3ab)3=－54a4b3 B．(－2x2)2·(－3x)3=108x C．(－0.1b)·(－10b2)3=－b7 D． 【思路分析】利用单项式乘单项式法则计算各选项，根据计算结果，即可做出判断． 【解】A、(－2ab)·(－3ab)3=(－2ab)·(－27a3b3)=54a4b4，错误； B、原式=4x4·(－27x3)=－108x7，错误；C、(－0.1b)·(－10b2)3=100b7，错误； D、，正确．故选D． 知识点二 单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则 单项式乘多项式 多项式乘多项式 法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 符号表示 a(b+c)=ab+ac (a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn 特点 单项式乘多项式的结果仍是多项式，并且其项数与该多项式的项数相同 两个多项式相乘，结果仍是一个多项式，并且在没合并同类项之前，其项数为这两个多项式的项数之积 规律总结：(1)单项式乘多项式与多项式乘多项式，都可以转化为单项式乘单项式，因此单项式乘单项式是整式乘法的基础，必须牢固掌握． (2)单项式乘多项式或多项式乘多项式的结果中若有同类项，应合并同类项，然后把所得结果按某个字母的次数降(升)幂排列． 易错点津：单项式乘多项式或多项式乘多项式，易错点是“漏乘”，即在相乘的过程中漏掉与某一项相乘，特别是某个多项式的常数项为1或－1时，“漏乘”的错误更容易出现． 题型一 利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则计算 例2计算下列各题： (1)； (2)(x+7)(x－6)－(x－2)(x+1)； (3)； (4)． 【思路分析】(1)(4)直接按照单项式乘单项式的法则计算；(2)(3)先计算多项式乘多项式，然后合并同类项，即可得出答案． 【解】(1)原式． (2)原式=(x2－6x+7x－42)－(x2+x+2x+2)=x2－6x+7x－42－x2－x+2x+2=2x－40． (3)原式． (4)原式=(x3－x2－x)+(3x2+3x)－(x3+2x2)=x3－x2－x+3x2+3x－x3－2x2=2x． 【总结提示】计算整式的乘法的题目，难度都不算大，只要按照相应的运算法则，仔细计算即可得出正确结论． 练2计算下列各题： (1)； (2)(x+5)(2x－3)－2x(x2－2x+3)． 【思路分析】(1)先计算乘方，然后按照单项式乘单项式的法则计算；(2)先分别计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，然后合并同类项，即可得出答案． 【解】(1)原式． (2)原式=2x2－3x+10x－15－2x3+4x2－6x=－2x3+6x2+x－15． 题型二 整式的乘法在实际中的应用 例3小王刚买到一套新房，其平面图如图所示，他计划卧室铺木地板，其余部分铺地板砖，已知各室的地面都是长方形． (1)至少需要多少平方米的地板砖？ (2)当x=3 m， m时，所铺的地板砖的价格为80 元/m2，至少需要多少元钱？ 【思路分析】根据“新房的面积=各室面积之和”，即可解得本题，为此先求各室的长与宽． 【解】(1)S客厅+S厨房+S卫生间=2x·4y+y·(4y－2x)+y·(4x－2x－y) =8xy+4y2－2xy+2xy－y2=8xy+3y2． 答：至少需要多少11xy m2的地板砖． (2)当x=3 m， m时，至少需要的钱数为：元)． 【总结提示】本题的解题技巧是运用转化的方法，先是把新房面积转化为各室面积之和，进而利用长方形面积公式，把问题进一步转化为整式的乘法． 练3已知三角形的底边长为(2x+1)cm，高是(x－2)cm，若把这个三角形的底边和高各增加5 cm，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积． 【思路分析】根据三角形面积公式，分别计算底边和高变化前后的三角形面积，两者相减即可求得增加的面积． 【解】根据题意，面积增加： ． 当x =3时，面积增加：cm2)． 题型三 根据整式乘积的特征求值 例4已知(x2+mx+n)(x+1)的结果中不含x2项和x项，求m，n的值． 【思路分析】先利用多项式乘多项式的法则把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值． 【解】(x2+mx+n)(x+1)=x3+(m+1)x2+(n+m)x+n． 又∵结果中不含x2的项和x项， ∴m+1=0且n+m=0． 解得m=－1，n=1． 【总结提示】本题求解的关键是挖掘题目中“不含x2项和x项”的含义，由此得到关于m，n的方程，解方程则求得m和n的值． 练4若关于x的多项式(x2+x－n)(mx－3)的展开式中不含x2和常数项，求m，n 的值． 【思路分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据展开式中不含x2和常数项，即可求得m与n的值． 【解】原式=mx3+(m－3)x2－(3+mn)x+3n， 由展开式中不含x2和常数项，得到3－m=0，3n=0， 解得：m=3，n=0． 题型四 利用整式的乘法求值 例5已知等式(x+a)(x+b)=x2+mx+28，其中a、b、m均为正整数，你认为m可取哪些值？请你写出所有满足题意的m的值． 【思路分析】先整理变形已知等式，然后根据等式确定出m的值． 【解】原式整理，得：x2+(a+b)x+ab=x2+mx+28， ∴a+b=m，ab=28． ∵a、b、m均为正整数，且ab=28， ∴a、b所有可能的值为：，，，，，． 当a=－1，b=－28时，m=a+b=－1－28=－29； 当a=－2，b=－14时，m=a+b=－2－14=－16； 当a=－4，b=－7时，m=a+b=－4－7=－11． 当a=1，b=28时，m=a+b=1+28=29； 当a=2，b=14时，m=a+b=2+14=16； 当a=4，b=7时，m=a+b=4+7=11． 【总结提示】本题的求解有两个关键环节，一是利用整式的乘法变形原式，从而根据多项式相等的条件得到a+b=m，ab=28；二是充分挖掘题目中“a、b、m均为正整数”的已知条件，由此即可求得m的值． 练5若(x+a)(x+2)=x2－5x+b，则a+b的值是多少？ 【思路分析】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据等式即可列出关于a，b的方程，解方程即可求出a、b的值，计算即可． 【解】(x+a)(x+2)=x2+(a+2)x+2a， ∴x2+(a+2)x+2a= x2－5x+b． 得，解得． ∴a+b=－21． 知识点三 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用符号可表示为am÷an＝am－n(a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n)． 零指数幂的运算法则：任意一个不等于0的数的0次幂等于1 ．用符号表示为a0=1(a≠0)． 拓展：零指数幂可以看做同底数幂除法的一种特殊情况，即m=n，因此同底数幂的除法法则可以扩充到am÷an＝am－n(a≠0，m、n都是正整数，并且m≥n)． 易错警示：在理解零指数幂的意义时，一定要注意a≠0这个前提条件． 题型 利用同底数幂的除法法则计算 例6计算下列各题：(1)(m2)n·(mn)3÷mn－2·m0；(2)[(－x4)2]3÷[(－x)3]3·x3． 【思路分析】(1)先计算幂的乘方与积的乘方，然后按照同底数幂的乘法法则与除法法则计算即可；(2)先计算幂的乘方，然后综合运用同底数幂的乘法法则与除法法则计算． 【解】(1)原式=m2n·m3n3÷mn－2 m0=m2n+3÷mn－2·n3=m2n+3－n+2mn－2·n3 =mn+5n3． (2)原式=x24÷(－x9)·x3=－x24÷x9·x3=－x24－9+3=－x18． 【总结提示】利用同底数幂的除法法则计算时，如果算式中还含有幂的乘方或积的乘方时，应先计算幂的乘方或积的乘方，然后再计算同底数幂的除法． 练6已知 10m=20，10n=4，求： (1)2m－n的值； (2)的值． 【思路分析】(1)根据同底数幂的除法法则求出102m－n的值，进而即可求出2m－n的值；(2)先将变形为32m的形式，将(1)中求得值代入即可求解． 【解】(1)102m－n=102m÷10n=(10m)2÷10n =202÷4=100． ∵102=100， ∴2m－n=2． (2)． 知识点四 整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 法则 单项式与单项式相出，把它们的系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，用字母可表示为 (a+b)÷c=a÷c+b÷c 特点 单项式除以单项式，所得的结果仍是单项式，并且商的次数一般小于被除单项式的次数 多项式除以单项式，所得的结果仍是多项式，并且其项数与该多项式的项数相同 规律总结：因为整式的除法与整式的乘法互为逆运算，因此可利用整式的乘法检验整式的除法的运算结果正确与否． 题型一 利用整式的除法计算或化简 例7计算 (1)(3x3y－18x2y2+x2y)÷(－6x2y); (2)． (3)(a－b)3÷(b－a)2+(－a－b)5÷(a+b)4． 【思路分析】(1)直接利用整式的除法计算即可； (2)先计算幂的乘方与积的乘方，再利用整式的除法计算即可； (3)先利用整式的乘法计算括号里的，然后再利用整式的除法计算． 【解】(1) ． (2)原式 ． (3)(a－b)3÷(b－a)2+(－a－b)5÷(a+b)4 =(a－b)3÷(a－b)2－(a+b)5÷(a+b)4 =(a－b)－(a+b) = a－b－a－b =－2b． 【总结提示】注意奇次幂和偶次幂的时候,括号里面的负号的处理方式,有本质的区别． 练7计算： (1)(3x2y－6xy)÷6xy； (2)(2a4b2c3)2÷(a2b)3； (3)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y． 【解】(1)原式． (2)(2 a4b2c3)2÷(a2b)3=22a8b4c6÷(a6b3)=4a2bc6． (3)原式． 【例8先化简，再求值：[(2x+y)(2x+y)－y(y+4x)－8xy]÷(2x)，其中x=2，y=－1． 【思路分析】先利用整式的乘法计算括号里的，然后再利用整式的除法计算，则原式得到化简，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解】原式=[4x2+4xy+y2－y2－4xy－8xy]÷(2x)=(4x2－8xy)÷(2x)=2x－4y． 当x=2，y=－1时，原式=2×2－4×(－1)=4+4=8． 【总结提示】当被除式以括号的形式出现时，是先计算括号内的呢？还是分别相除呢？这个问题不一而论，一般来说，当括号内的各项都能被除式整除时，可把各项分别相除；当括号内的各项不能都被除式整除时，可先计算括号内的．如本题，由于中括号内的各项不能都被2x整除，因此应先计算中括号内的，化简后再分别除以2x． 练8先化简，后求值．[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2019，y=2018． 【思路分析】利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x与y的值代入计算，即可求出答案． 【解】[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y =[2x3y－2x2y2+x2y2－x3y]÷x2y =x－y， 把x=2019，y=2018代入上式得： 原式=x－y=2019－2018=1． 【总结提示】此题考查了整式的除法，用到的知识点是去括号，合并同类项，整式的除法，熟练掌握法则是解本题的关键． 题型二 利用整式的除法求某个字母的值 例9已知，那么(　　)． A．a=2，b=3 B．a=6，b=3 C．a=3，b=6 D．a=7，b=6 【思路分析】先根据整式的除法化简等式的左边，然后利用同类项 “两个相等”的条件，即可求得a，b的值． 【解】∵， ∴，得，解得．故选B． 【总结提示】利用整式的除法求某个字母的值，与利用整式的乘法求某个字母的值的方法基本相同，都是利用整式的运算得到两个同类项，根据“相同字母的指数相等”得到关于某个字母的方程，解方程即可得到问题的解． 练9已知4am+1b·7ab n+1÷(2anb)2=7a2b2，那么m、n的值为(　　)． A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2 【思路分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m，n的方程，解方程即可求出m，n的值． 【解】∵原式=28am+2bn+2÷4a2nb2=7am+2－2nbn， ∴7am+2－2nbn =7 a2b2，∴，解得．故选A． 题型三 整式的除法实际应用 例10如图所示的是一个长方体，已知长方体的体积V=dm)3，长方体的长AD =3a2b3c(dm)3，长方体的宽DE=9(a2bc)3 (dm)3， 求长方体的高AB． 【思路分析】根据长方体的体积=长×宽×高，即可利用单项式除以单项式求出长方体的高． 【解】根据长方体的体积公式， dm)． 【总结提示】由于单项式除以单项式也属于除法运算，因此单项式除以单项式的意义与以前学过的除法的意义相同，由此根据长方体体积公式求得长方体的高．但在具体计算过程中，要注意正确运用单项式除以单项式的运算法则． 练10红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板，已知这件陈列室的长为5ax m、宽为3ax m，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a=4时，求出具体的扣板数． 【思路分析】根据“陈列室的顶棚面积÷塑料扣板的面积=塑料扣板的个数”列式计算，即可得到结果，把a的值代入计算即可得到塑料扣板的具体数量． 【解】根据题意得：． 则应该至少购买块这样的塑料扣板． 当a=4时，原式=． 答：需要的扣板数为8张． 附加题 1．课堂上老师出了这么一道题：(2x－3)x+3－1=0，求x的值． 小明同学解答如下：∵(2x－3)x+3－1=0，∴(2x－3)x+3=1． ∵(2x－3)0=1，∴x+3=0， 解得x=－3． 请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值． 【思路分析】直接利用零指数幂的性质、有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案． 【解】不正确，因为(2x－3)x+3=1时，x+3可以为0但并不一定为0，因此小明的解法出现了丢解的错误． 正确解法为： ∵(2x－3)x+3－1=0，∴(2x－3)x+3=1． 分三种情况讨论： 当2x－3≠0且x+3=0时，解得x=－3； 当2x－3=1时，解得x=2； 当2x－3=－1且x+3为偶数时，解得x=1． 综上所述，x=－3或x=2、x=1． 【总结提示】本题是一道综合性较强的题目，其易错点是注重了0指数幂的运算法则，而忽略了有理数的运算法则，体现了所学知识的融会贯通在解题中的重要作用． 2．四个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，这个记号就叫做2阶行列式．例如：．若 ，求x的值． 【思路分析】把已知等式利用题中的新定义整理变形，得到普通算式后利用整式的乘法计算，即可求出x的值． 【解】根据新定义整理，得：， 得：2x2+3x+2x+3－(2x2－x+8x－4)=10， 2x2+3x+2x+3－2x2+x－8x+4=10， －2x+7=10， 解得：． 【总结提示】解答本题之类的新定义题型时，解题的切入点是深刻理解新定义的运算法则，并利用这个新定义法则把算式转化为我们所熟悉的整式的乘法，然后利用整式的乘法法则计算，即可解得本题． 一课一练 1．下列计算正确的是(　　)． A．(xy)3=xy3 B．x5÷x5=x C．3x2•5x3=15x5 D．5x2y3+2x2y3=10x4y9 【解】A、原式=x3y3，错误；B、原式=1，错误；C、原式=15x5，正确；D、原式=7x2y3，错误．故选C． 2．单项式A与－3x2y的乘积是6x6y2，则单项式A是(　　)． A．2x3y B．－2x3y C．－2x4y D．2x4y 【解】C． 3．如果(x2+px+q)(x2－5x+7)的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是( )． A．p=5，q=18 B．p=－5，q=18 C．p=－5，q=－18 D．p=5，q=－18 【解】∵(x2+px+q)(x2－5x+7)=x4+(p－5)x3+(7－5p+q)x2+(7p－5q)x+7q， 又∵展开式中不含x2与x3项，∴p－5=0，7－5p+q=0，解得p=5，q=18． 故选A． 4．一个长方形的面积为(6ab2＋4a2b)cm2，一边长为2ab cm，则它的周长为　　　　cm． 【解】由题意，得另一边长为(6ab2＋4a2b)÷2ab＝3b＋2a，则该长方形的周长为2×(2ab＋3b＋2a)＝4ab＋4a＋6b．故填4ab＋4a＋6b． 5．在长为(3a＋2)、宽为(2b＋3)的长方形铁片的四角，剪去边长为a的正方形铁片，做成一个无盖的长方体铁盒，求这个长方体铁盒的体积(其中2b＋3＞2a)． 【解】根据题意得这个长方体铁盒的体积为 a(3a＋2－2a)(2b＋3－2a)＝a(a＋2)(2b＋3－2a) ＝a(－2a2＋2ab＋3a－4a＋4b＋6) ＝－2a3＋2a2b－a2＋4ab＋6a． 6．已知有理数a、b、c满足|a－b－3|+(b+1)2+|c－1|=0，求(－3ab)•(a2c－6b2c)的值． 【解】由|a－b－3|+(b+1)2+|c－1|=0， 得．解得． ∵(－3ab)•(a2c－6b2c)=－3a3bc+18ab3c． ∴当a=2、b=－1、c=1时，原式=－3×23×(－1)×1+18×2×(－1)3×1=24－36=－12． 家庭作业 1．若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝2x5y4，则(　　)． A．a＝6，m＝5，n＝0 B．a＝18，m＝3，n＝0 C．a＝18，m＝3，n＝1 D．a＝18，m＝3，n＝4 【解】a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝2x5y4， 即ax3my12÷(9x4y2n)＝2x5y4， ， ∴，3m－4＝5，12－2n＝4， 解得a＝18，m＝3，n＝4． 故选D． 2．若(x－5)(2x－n)=2x2+mx－15，则m、n的值分别是(　　)． A．m=－7，n=3 B．m=7，n=－3 C．m=－7，n=－3 D．m=7，n=3 【解】∵(x－5)(2x－n)=2x2+mx－15，∴2x2－(10+n)x+5n=2x2+mx－15，故，解得． 故选C． 3．若x+y=3且xy=1，则代数式(1+x)(1+y)的值等于(　　)． A．5 B．－5 C．3 D．－3 【解】当x+y=3、xy=1时，原式=1+y+x+xy=1+3+1=5．故选A 4．计算：(－3x2y2)2•2xy+(xy)3= ． 【解】原式=9x4y4•2xy+x3y3=18x5y5+x3y3．故填18x5y5+x3y3． 5．一个长方体的长、宽、高分别是3x－4、2x2+1、3－2x，它的体积等于 ． 【解】这个长方体的体积为：(3x－4)(2x2+1)(3－2x)=(18x3－24x2+9x+12)(3－2x)=－12x4+34x3－30x2+x+12．故填－12x4+34x3－30x2+x+12． 6．三角表示3abc，方框 表示－4xywz，则×．=________． 【解】× ＝9mn×(－4n2m5)＝－36m6n3．故填－36m6n3． 7．计算： (1)(－2x2y)3•3(xy2)2； (2)； (3)(3m2n)2•(－2m2)3÷(－m2n)2； (4)． 【解】(1)原式=－8x6y3•3x2y4=－24x8y7． (2)原式=2a2－2a+a－1－2a2－2a=－3a－1． (3)原式=(9m4n2)•(－8m6)÷(m4n2)=(－72m10n2)÷(m4n2)=－72m6． (4)原式． 8．欢欢与乐乐两人共同计算(2x+a)(3x+b)，欢欢抄错为(2x－a)(3x+b)，得到的结果为6x2－13x+6；乐乐抄错为(2x+a)(x+b)，得到的结果为2x2－x－6． (1)式子中的a、b的值各是多少？ (2)请计算出原题的正确答案． 【解】(1)根据题意，得：(2x－a)(3x+b)=6x2+(2b－3a)x－ab=6x2－13x+6， 化简，得2b－3a=－13 ① 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2－x－6， ∴(2x+a)(x+b)=2x2－x－6． 化简，得2b+a=－1 ②， 解关于①②的方程组，可得a=3，b=－2． (2)正确答案为： (2x+3)(3x－2)=6x2－4x+9x－6=6x2+5x－6． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$