第09讲 幂的运算 暑假讲义 2025—2026学年人教版数学八年级上册

（人教版）八年级暑假能力强化班 第四讲 幂的运算 课程目标 1．理解同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，知道它们之间的区别与联系； 2．熟练运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则进行计算； 3．利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则解决一些简单的实际问题． 课程内容 知识点一 同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 用符号可表示为：am·an＝am＋n（m、n都是正整数）． 拓展：同底数幂的乘法法则可以向三个方向推广：①可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p；②同底数幂乘法法则中的 a可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个单项式或多项式；③同底数幂的乘法法则不仅可以正用，也可以逆用，即am＋n ＝am·an． 题型一 利用同底数幂的乘法法则计算 例1 阅读理解：根据乘方的定义可知：an＝a·a·a·…·a（n个a相乘）． 32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘）； 42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘）； 52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘）． （1）上述算式验证了一个法则，这个法则是 ； （2）利用（1）中的法则计算： ①20172×20175＝ ； m2·（－m）5＝ ； ②（－2）6×22016×（－2）2017＝ ． 练1 下列运算中，正确的是（　　）． A．a3•（－a）2＝a6 B．b3•（－b）3＝－2b3 C．x4＋x4＝x8 D．y•y5＝y6 题型二 逆用同底数幂的乘法法则计算 例2 已知2m＝5，2n＝3，求2m＋n＋2的值． 练2 已知xm＝5，xn＝7，求x2m＋n的值． 题型三 有关同底数幂乘法的新定义题型 例3 定义：a★b＝10a×10b，例如3★4＝103×104＝107． （1）试求2★5和3★17的值； （2）猜想：a★b与b★a的运算结果是否相等？说明理由． 练3 我们规定：a※b＝5a×5b，例如3※4＝53×54＝57． （1）试求12※3和2※5的值； （2）想一想（a※b）※c与a※（b※c）相等吗？如果相等，请验证你的结论． 知识点二 幂的乘方法则与积的乘方法则 （1）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用符号可表示为：（am）n＝amn （m、n都是正整数）． （2）积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积．用符号可表示为：（ab）n＝an·bn （n为正整数）． 拓展：①幂的乘方法则与积的乘方法则中的a、b，既可以是一个数字或一个字母，也可以是一个单项式或多项式； ②积的乘方法则中，不仅限于a、b两个数，也可以是三个数或三个数以上． 规律总结：确定幂的乘方符号的方法，与确定有理数乘方符号的方法相同，即：正数的任何次幂都是正数；负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 题型一 利用幂的乘方法则与积的乘方法则计算 例4 计算：2（－a2b3）3－（－a3 b2）2• b5． 练4 计算（ab2）3的结果是（ ）． A．3ab2 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6 题型二 利用幂的运算法则求某个字母的值 例5 已知3x＋1•2x－3x•2x＋1＝（63）x－4，求x． 练5 若9×3m＝81，则m＝ ． 题型三 利用幂的运算法则求整式的值 例6 （1）若2x＋5y－3＝0，求2x－2•2x＋2·32y的值； （2）若26＝a2＝4b，求a＋b值． 练6 已知3x＋2•5x＋2＝153x－4，求（x－1）2－3x（x－2）－4的值． 题型四 利用幂的运算法则简便计算 例7 计算：（1）0.252017×161014－2300×0.125100；（2）（）11×（－）13×（）6． 练7 计算（）2017×32018×（－）1008的结果是（　　）． A．－ B．6 C．－6 D． 题型五 幂的运算在实际中的应用 例8 某球状物体在某种物质的催化作用下，每经过1秒其体积就膨胀为原来的倍．若这个球状物体半径为3×103cm，求10秒钟后该物体的体积是多少？（球的体积为V＝R3，其中R为球的半径．最后结果保留π） 练8 宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒3×107千米，一年约为3.2×107秒，那么1光年约为多少千米？ 【思路分析】根据“路程＝速度×时间”，即可列出算式计算． 【解】3×107×3.2×107＝9.6×1014． 答：1光年约为9.6×1014千米． 附加题 1．设A＝22012×32015，B＝22014×32013，请你比较A，B的大小． 2．记M（1）＝－2，M（2）＝（－2）×（－2），M（3）＝（－2）×（－2）×（－2），…． （1）计算：M（5）＋M（6）； （2）求2M（2015）＋M（2016）的值； （3）说明2M（n）与M（n＋1）互为相反数． 3．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． 根据以上材料，解决下列问题： （1）计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ； （2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式； （3）根据（2）中的关系式，猜想一般性结论：logaM＋logaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 一课一练 1．下列各式计算结果为a7的是（　　）． A．（－a）2•（－a）5 B．（－a）2•（－a5） C．（－a2）•（－a）5 D．（－a）•（－a）6 2．计算（－3a2b3）3的结果是（ ）． A．－6a6b9 B．－9a2b3 C．－9a6b9 D．－27a6b9 3．计算a5•（－a）3－a8的结果等于（ ）． A．0 B．－2a8 C．－a16 D．－2a16 4．计算：（－2xy3z2）2＝ ． 5．阅读理解题． 计算：（－0.125）12×813． 解：原式＝． 请根据上面的解题规律计算下列各题： （1）（－3）2017·； （2）0.2599×4100－9100×． 6．比较20172018与20182017的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法： （1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”） ①12 21，②23 32，③34 43，④45 54，⑤56 65，…； （2）由（1）可以猜测nn＋1与（n＋1）n （n为正整数）的大小关系： 当n 时，nn＋1＜（n＋1）n；当n 时，nn＋1＞（n＋1）n； （3）根据上面的猜想则有：20162017 20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）． 家庭作业 1．化简a2•（－a）4的结果是（ ）． A．－a6 B．a6 C．a8 D．－a8 2．计算a•a5－（2a3）2的结果为（ ）． A．a6－2a5 B．－a6 C．a6－4a5 D．－3a6 3．星期天，小明和爸爸一起修建了一个棱长为2×103 cm的正方体水槽，现在用它来装水，则这个水槽最多能装　　　　cm3的水．（用科学记数法表示） 4．已知32m＝8n，则m、n满足的关系正确的是（　　）． A．4m＝n B．5m＝3n C．3m＝5n D．m＝4n 5．计算：（－2）2n＋1＋2•（－2）2n＝ ． 6．若2m＝3，2n＝5，则23m＋2n＋2的值为 ． 7．若（am＋1bn＋2）（a2n－1b2n）＝a5b3，则求m＋n的值． 8．阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22018的值． 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22017＋22018，① 将等式两边同时乘2，得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22018＋22019，② ②－①，得2S－S＝22019－1， 则S＝22019－1． ∴1＋2＋22＋23＋24＋…＋22018＝22019－1． 请你仿照此法计算： （1）1＋5＋55＋53＋54＋…＋510； （2）1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n（其中n为正整数）． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$（人教版）八年级暑假能力强化班 第四讲 幂的运算 课程目标 1．理解同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，知道它们之间的区别与联系； 2．熟练运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则进行计算； 3．利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则解决一些简单的实际问题． 课程内容 知识点一 同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 用符号可表示为：am·an＝am＋n（m、n都是正整数）． 拓展：同底数幂的乘法法则可以向三个方向推广：①可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p；②同底数幂乘法法则中的 a可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个单项式或多项式；③同底数幂的乘法法则不仅可以正用，也可以逆用，即am＋n ＝am·an． 题型一 利用同底数幂的乘法法则计算 例1 阅读理解：根据乘方的定义可知：an＝a·a·a·…·a（n个a相乘）． 32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘）； 42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘）； 52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘）． （1）上述算式验证了一个法则，这个法则是 ； （2）利用（1）中的法则计算： ①20172×20175＝ ； m2·（－m）5＝ ； ②（－2）6×22016×（－2）2017＝ ． 【思路分析】（1）根据同底数幂的乘法法则分析；（2）均可根据同底数幂的乘法法则计算，但要把不是同底数的幂先化为同底数幂．． 【解】（1）同底数幂的乘法法则． （2）①20172×20175＝20172＋5＝20177； m2·（－m）5＝－m2·m5＝－m2＋5＝－m7． 故答案为：20177，－m7． ②原式＝－26×22016×22017＝－26＋2016＋2017＝－24039． 故填（1）同底数幂的乘法法则；（2）20177，－m7；－24039． 【总结提示】在利用同底数幂的乘法法则计算时，一定要看清楚每个乘数是否为同底数幂，如本题（2），当不是同底数幂时，应首先化为同底数幂，然后再按同底数幂的乘法法则计算． 练1 下列运算中，正确的是（　　）． A．a3•（－a）2＝a6 B．b3•（－b）3＝－2b3 C．x4＋x4＝x8 D．y•y5＝y6 【思路分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案． 【解】A、a3•（－a）2＝a3•a2＝a5，不正确；B、b3•（－b）3＝－b3•b3＝－b6，不正确；C、x4＋x4＝2x4，不正确；D、y•y5＝ y1＋5＝y6，正确．故选D． 题型二 逆用同底数幂的乘法法则计算 例2 已知2m＝5，2n＝3，求2m＋n＋2的值． 【思路分析】逆用同底数幂的乘法运算法则，然后把2m＝5，2n＝3代入，即可得出答案． 【解】∵2m＝5，2n＝3， ∴原式＝2m•2n•22＝5×3×4＝60． 【总结提示】同底数幂的乘法法则既可以正用也可以逆用，但它们有着不同的适用范围，望解题时灵活选用． 练2 已知xm＝5，xn＝7，求x2m＋n的值． 【思路分析】逆用同底数幂的乘法法则，即可解答． 【解】∵xm＝5，xn＝7， ∴x2m＋n＝xm•xm•xn＝5×5×7＝175． 题型三 有关同底数幂乘法的新定义题型 例3 定义：a★b＝10a×10b，例如3★4＝103×104＝107． （1）试求2★5和3★17的值； （2）猜想：a★b与b★a的运算结果是否相等？说明理由． 【思路分析】根据题目中的定义，把算式转化为同底数幂的乘法运算，然后求解． 【解】（1）2★5＝102×105＝107，3★17＝103×1017＝1020． （2）a★b与b★a的运算结果相等，理由如下： ∵a★b＝10a×10b＝10a＋b，b★a＝10b×10a＝10b＋a， ∴a★b＝b★a． 【总结提示】解决新定义题型有两个关键环节：一是认真理解新定义的法则，然后“按葫芦画瓢”根据新定义计算；二是根据新定义把题目中的算式转化为普通算式． 练3 我们规定：a※b＝5a×5b，例如3※4＝53×54＝57． （1）试求12※3和2※5的值； （2）想一想（a※b）※c与a※（b※c）相等吗？如果相等，请验证你的结论． 【思路分析】（1）根据“※”代表的运算法则进行运算即可；（2）分别计算出（a※b）※c与a※（b※c），然后即可作出判断． 【解】（1）12※3＝512×53＝515，2※5＝52×55＝57． （2）不相等． ∵（a※b）※c＝（5a×5b）※c＝5a＋b※c＝×5c＝， a※（b※c）＝a※（5b×5c）＝a※5b＋c＝5a×＝， ∴（a※b）※c≠a※（b※c）． 知识点二 幂的乘方法则与积的乘方法则 （1）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用符号可表示为：（am）n＝amn （m、n都是正整数）． （2）积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积．用符号可表示为：（ab）n＝an·bn （n为正整数）． 拓展：①幂的乘方法则与积的乘方法则中的a、b，既可以是一个数字或一个字母，也可以是一个单项式或多项式； ②积的乘方法则中，不仅限于a、b两个数，也可以是三个数或三个数以上． 规律总结：确定幂的乘方符号的方法，与确定有理数乘方符号的方法相同，即：正数的任何次幂都是正数；负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 题型一 利用幂的乘方法则与积的乘方法则计算 例4 计算：2（－a2b3）3－（－a3 b2）2• b5． 【思路分析】先算积的乘方，再算幂的乘方，最后计算同底数幂的乘法与合并同类项． 【解】原式＝－2（a2）3·（b3）3－（a3）2·（b2）2• b5＝－2a6·b9－a6 b4• b5＝－2a6 b9－a6 b9＝－3a6 b9． 【总结提示】在综合运用幂的乘方法则与积的乘方法则计算时，应按照先计算积的乘方、再计算幂的乘方的顺序进行，急于求成或运算步骤跳跃较大，容易出现顾此失彼的错误． 练4 计算（ab2）3的结果是（ ）． A．3ab2 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6 【思路分析】根据幂的乘方法则与积的乘方法则运算即可求出答案． 【解】原式＝（a）3·（b2）3＝a3b6，故选D． 题型二 利用幂的运算法则求某个字母的值 例5 已知3x＋1•2x－3x•2x＋1＝（63）x－4，求x． 【思路分析】利用幂的乘方法则与积的乘方法则化简等式两边，使之都变形为一个以6为底数的幂，根据其指数相等，即可求得x的值． 【解】化简等式的左边，得： 3x＋1•2x－3x•2x＋1＝3×3x•2x－2×3x•2x＝3×6x－2×6x＝6x， ∴6x＝（63）x－4＝63x－12． ∴x＝3x－12，解得：x＝6． 【总结提示】本题的求解具有代表性，即逆用幂的乘方法则与积的乘方法则，把已知等式转化为两个同底数幂相等的等式，然后利用指数相等得到关于x的方程．需要注意的是，本题的求解方法，代表了这类题目的求解方法． 练5 若9×3m＝81，则m＝ ． 【思路分析】根据同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【解】∵9×3m＝81，∴32×3m＝34，∴32＋m＝34，得2＋m＝4，解得m＝2．故填2． 题型三 利用幂的运算法则求整式的值 例6 （1）若2x＋5y－3＝0，求2x－2•2x＋2·32y的值； （2）若26＝a2＝4b，求a＋b值． 【思路分析】（1）利用幂的运算法则变形求值式，使其指数能用2x＋5y表示，然后把2x＋5y－3＝0整体代入求值；（2）根据26＝a2＝4b，可分别求得a，b的值，进而求得a＋b的值． 【解】（1）∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3． ∴2x－2•2x＋2·32y＝2x－2＋x＋2•（25）y＝22x•25y＝22x＋5y＝23＝8． （2）由26＝a2＝4b，得（23）2＝a2，解得a＝±8； 由26＝a2＝4b，得26＝（22）b＝22b，则2b＝6，解得b＝3． 当a＝8，b＝3时，得a＋b＝8＋3＝11； 当a＝－8，b＝3时，得a＋b＝－8＋3＝－5． 【总结提示】本题两问的求解方法，可谓“一常规”、“一特殊”，其中（2）是常规解法，即：欲求a＋b的值，先分别求得a，b的值；（1）是特殊解法，由于常规方法无法解得x，y的值，于是把2x＋3y看做一个整体求解．这也提醒我们，应根据具体的题目特点，灵活选用简便的解题方法． 练6 已知3x＋2•5x＋2＝153x－4，求（x－1）2－3x（x－2）－4的值． 【思路分析】由3x＋2•5x＋2＝153x－4得（15）x＋2＝153x－4，即可得方程x＋2＝3x－4，解此方程即可求得x的值，然后化简（x－1）2－3x（x－2）－4，再将x＝3代入，即可求得答案． 【解】∵3x＋2•5x＋2＝（15）x＋2，∴（15）x＋2＝153x－4， 得x＋2＝3x－4，解得：x＝3． ∴（x－1）2－3x（x－2）－4＝（3－1）2－3×3×（3－2）－4＝4－9－4＝－9． 题型四 利用幂的运算法则简便计算 例7 计算：（1）0.252017×161014－2300×0.125100；（2）（）11×（－）13×（）6． 【思路分析】因为16＝42，0.25与4互为倒数；23＝8，8与0.125相乘可以凑成整数，所以可先把它们利用幂的乘方与积的乘方变形，然后再计算；（2）因为＝（）2，且××＝1，所以可先利用幂的乘方与积的乘方变形，然后再计算． 【解】（1）原式＝0.252017×42018－8100×0.125100＝0.252017×42017×4－（8×0.125）100＝（0.25×4）2017×4－（8×0.125）100＝4－1＝3． （2）原式＝（）11×（－）11×（）11×（－）2× ＝（－××）11××（－）2＝－×＝－． 【总结提示】本题的求解技巧是“凑整”，而“凑整”的依据是逆用积的乘方法则，为此，当几个幂相乘时，如果其底数能“凑整”且它们的指数相等或相差不大，即可考虑逆用积的乘方法则 “凑整”，如此，可收到事半功倍的效果． 练7 计算（）2017×32018×（－）1008的结果是（　　）． A．－ B．6 C．－6 D． 【思路分析】观察算式的特点，即可发现（－）1008＝（－）2016，而××3可以凑整，所以可逆用积的乘方法则计算． 【解】原式＝（）2016×32016×（－）2016×32×＝[×3×（－）]2016×32×＝32×＝6，故选B． 题型五 幂的运算在实际中的应用 例8 某球状物体在某种物质的催化作用下，每经过1秒其体积就膨胀为原来的倍．若这个球状物体半径为3×103cm，求10秒钟后该物体的体积是多少？（球的体积为V＝R3，其中R为球的半径．最后结果保留π） 【思路分析】根据 “10秒钟后该物体的体积＝物体原来的体积×（102）10”，结合球的体积公式即可求得10秒钟后该物体的体积． 【解】根据题意，10秒钟后该物体的体积为：V＝（3×103）3×（102）10＝×27×109×1020＝36×1029π（cm3）． 答：10秒钟后该物体的体积是36×1029πcm3．． 【总结提示】本题的一个易错点是对“每经过1秒其体积就膨胀为原来的倍”的理解，由此可知10秒后球的体积是原来的102×102×102×102×102×102×102×102×102×102＝（102）10倍，而不是102×10倍． 练8 宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒3×107千米，一年约为3.2×107秒，那么1光年约为多少千米？ 【思路分析】根据“路程＝速度×时间”，即可列出算式计算． 【解】3×107×3.2×107＝9.6×1014． 答：1光年约为9.6×1014千米． 附加题 1．设A＝22012×32015，B＝22014×32013，请你比较A，B的大小． 【思路分析】由于A＝22012×32015＝22012×32013×32，B＝22014×32013＝22012×22×32013，因此可用作差法比较A、B的大小． 【解】∵A－B＝（22012×32015） －（22014×32013）＝（22012×32013＋2 ）－（22012＋2×32013） ＝（22012×32013×32）－（22012×22×32013）＝22012×32013×（32－22）＝22012×32013×5＞0， ∴A＞B． 【总结提示】本题的巧解之处有两点：①逆用同底数幂的乘法把A、B都转化为含有22012×32013的形式；②在直接比较A、B的大小比较困难时，转化为判断A－B的符号，即：若A－B＞0，则A＞B；若A－B＝0，则A＝B；若A－B＜0，则A＜B． 2．记M（1）＝－2，M（2）＝（－2）×（－2），M（3）＝（－2）×（－2）×（－2），…． （1）计算：M（5）＋M（6）； （2）求2M（2015）＋M（2016）的值； （3）说明2M（n）与M（n＋1）互为相反数． 【思路分析】（1）根据，可得M（5），M（6）；（2）根据乘方的意义，可得M（2015），M（2016），根据有理数的加法，可得答案；（3）根据乘方的意义，分别计算M（n），M（n＋1），然后根据相反数的定义判断． 【解】（1）M（5）＋M（6）＝（－2）5＋（－2）6＝－32＋64＝32． （2）2M（2015）＋M（2016）＝2×（－2）2015＋（－2）2016＝－（－2）×（－2）2015＋（－2）2016＝－（－2）2016＋（－2）2016＝0． （3）∵2M（n）＋M（n＋1）＝－（－2）×（－2）n＋（－2）n＋1＝－（－2）n＋1＋（－2）n＋1＝0， ∴2M（n）与M（n＋1）互为相反数． 【总结提示】本题由于M（1）、M（2）等记号的出现，为题目的求解增加了难度，因此解题的切入点是理解上述记号的意义，从而把问题转化为普通的幂的运算． 3．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． 根据以上材料，解决下列问题： （1）计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ； （2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式； （3）根据（2）中的关系式，猜想一般性结论：logaM＋logaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 【思路分析】（1）根据新定义的运算法则与乘方运算，即可得出答案；（2）利用（1）中的结果，即可得出答案；（3）利用新定义的运算法则与（2）中的规律，即可得出答案；（4）利用新定义的运算法则进行验证． 【解】（1）∵22＝4，∴log24＝2；∵24＝16，∴log216＝4；∵26＝64，∴log264＝6． 故填2，4，6． （2）∵2＋4＝6，∴log24＋log216＝log264． （3）∵log24＋log216＝log264＝log24×16， ∴logaM＋logaN＝logaMN． 故填logaMN． （4）记logaM＝m，logaN＝n， 则M＝am，N＝an． ∴MN＝am•an＝am＋n． ∴根据新定义的运算法则，得logaMN＝m＋n． ∴logaM＋logaN＝m＋n＝logaMN． 一课一练 1．下列各式计算结果为a7的是（　　）． A．（－a）2•（－a）5 B．（－a）2•（－a5） C．（－a2）•（－a）5 D．（－a）•（－a）6 【解】A、（－a）2•（－a）5＝－a7，错误；B、（－a）2•（－a5）＝－a7，错误；C、（－a2）•（－a）5＝a7，正确；D、（－a）•（－a）6＝－a7，错误．故选C． 2．计算（－3a2b3）3的结果是（ ）． A．－6a6b9 B．－9a2b3 C．－9a6b9 D．－27a6b9 【解】（－3a2b3）3＝－33（a2）3（b3）3＝－27a6b9．故选D． 3．计算a5•（－a）3－a8的结果等于（ ）． A．0 B．－2a8 C．－a16 D．－2a16 【解】a5•（－a）3－a8＝－a8－a8＝－2a8．故选B． 4．计算：（－2xy3z2）2＝ ． 【解】（－2xy3z2）2＝（－2）2·x2·（y3）2·（z2）2＝4x2y6z4．故填4x2y6z4． 5．阅读理解题． 计算：（－0.125）12×813． 解：原式＝． 请根据上面的解题规律计算下列各题： （1）（－3）2017·； （2）0.2599×4100－9100×． 【解】（1）原式＝（－3）2·（－3）2015· ＝9×＝9×12015＝9． （2）原式＝0.2599×499×4－9100× ＝1×4－＝4－1＝3． 6．比较20172018与20182017的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法： （1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”） ①12 21，②23 32，③34 43，④45 54，⑤56 65，…； （2）由（1）可以猜测nn＋1与（n＋1）n （n为正整数）的大小关系： 当n 时，nn＋1＜（n＋1）n；当n 时，nn＋1＞（n＋1）n； （3）根据上面的猜想则有：20162017 20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【思路分析】（1）通过具体计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号，归纳nn＋1与 （n＋1）n （n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案． 【解】（1）①∵12＝1，21＝2，∴12＜21； ②∵23＝8，32＝9，∴23＜32； ③∵34＝81，43＝64，∴34＞43； ④∵45＝1024，54＝625，∴45＞54； ⑤∵56＝15625，65＝7776，∴56＞65； 故填＜，＜，＞，＞，＞． （2）通过观察可以看出：当n≤2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2时，nn＋1＞（n＋1）n． 故填≤2，n＞2． （3）由（2）得到的结论，且2017＞2， ∴20172018＞20182017． 故填＞． 家庭作业 1．化简a2•（－a）4的结果是（ ）． A．－a6 B．a6 C．a8 D．－a8 【解】a2•（－a）4＝a2•a4＝a2＋4＝a6．故选B． 2．计算a•a5－（2a3）2的结果为（ ）． A．a6－2a5 B．－a6 C．a6－4a5 D．－3a6 【解】a•a5－（2a3）2＝a6－4a6＝－3a6．故选D． 3．星期天，小明和爸爸一起修建了一个棱长为2×103 cm的正方体水槽，现在用它来装水，则这个水槽最多能装　　　　cm3的水．（用科学记数法表示） 【解】2×103×2×103×2×103＝23×103+3+3＝8×109．故填8×109． 4．已知32m＝8n，则m、n满足的关系正确的是（　　）． A．4m＝n B．5m＝3n C．3m＝5n D．m＝4n 【解】∵32m＝8n，∴（25）m＝（23）n，∴25m＝23n，∴5m＝3n．故选B． 5．计算：（－2）2n＋1＋2•（－2）2n＝ ． 【解】（－2）2n＋1＋2•（－2）2n＝－22n＋1＋2•22n＝－22n＋1＋22n＋1＝0．故填0． 6．若2m＝3，2n＝5，则23m＋2n＋2的值为 ． 【解】∵2m＝3，2n＝5，∴23m＋2n＋2＝23m×22n×22＝（2m）3×（2n）2×4＝27×25×4＝2700．故填2700． 7．若（am＋1bn＋2）（a2n－1b2n）＝a5b3，则求m＋n的值． 【解】（am＋1bn＋2）（a2n－1b2n）＝am＋1×a2n－1×bn＋2×b2n＝am＋1＋2n－1×bn＋2＋2n＝am＋2nb3n＋2＝a5b3． ∴，解得． m＋n＝＋＝． 8．阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22018的值． 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22017＋22018，① 将等式两边同时乘2，得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22018＋22019，② ②－①，得2S－S＝22019－1， 则S＝22019－1． ∴1＋2＋22＋23＋24＋…＋22018＝22019－1． 请你仿照此法计算： （1）1＋5＋55＋53＋54＋…＋510； （2）1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n（其中n为正整数）． 【思路分析】（1）设S＝1＋5＋55＋53＋54＋…＋510，把两边乘以5后得到式子与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；（5）同理即可得到所求式子的值． 【解】（1）设S＝1＋5＋55＋53＋54＋…＋510，① 将等式两边同时乘5得：5S＝5＋55＋53＋54＋…＋510＋511，② ②－①，得：5S－S＝511－1，即S＝（511－1）． ∴1＋5＋55＋53＋54＋…＋510＝（511－1）． （2）设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，① 两边同时乘3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，② ②－①，得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝（3n＋1－1）， ∴1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝（3n＋1－1）． 【总结提示】本题的求解方法具有代表性，习惯上称为错位相减法，即利用同底数幂的乘法构造一个与原式类似的式子，通过错位相减则得到原式的值，由于这类题目经常出现，望认真理解． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$