专题05 直线与平面间的位置关系（2）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题05 直线与平面间的位置关系（2） 知识点一、直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直； 【说明】1、直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形；2、注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”； 知识点二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 【说明】判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直； 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行； 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 【说明】1、直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． 2、定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据； 4、推论 推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 5、点到平面的距离 过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直； 从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离； 利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离； 6、直线与平面所成的角 （1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足； 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影； 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°（或）；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°. （3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°（或）； 【说明】把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段； 题型1：线面垂直的性质定理 【例1】已知直线a、b和平面，若，，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用反正法，根据线面垂直的性质证明即可. 【解析】假设不平行， 取上不同于垂足B的一点A, 过A作，设，连接BC，如图， 则相交直线可确定一个平面ABC，且， ，，， 又，，在平面ABC内， ，这与矛盾， 故假设错误，所以. 【例2】a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M； ③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b 其中正确命题有_________（填序号） 【答案】④ 【分析】对于①②③：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取特殊的平面和直线否定结论 对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明. 【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 对于①：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b， 满足a∥M，b∥M，但是a、b不平行.故①不正确； 对于②：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b， 满足bM，a∥b，但是aM.故②不正确； 对于③：取直线为直线a，直线为直线c，直线为直线b,满足 a⊥c，b⊥c，但是a、b不平行.故③不正确； 【跟踪训练】 1．已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是________． 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，根据直线和平面的位置关系得到答案. 【解析】因为，， 当时，满足条件； 当时，. 综上所述：或. 故答案为：或 2．已知不重合的直线a，b和平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】通过空间想象，结合图形直观判断可知ABC错误；根据线面垂直性质定理可判断D. 【解析】若，，则有可能平行，有可能异面，A错误； 若，，则有可能相交、异面、平行，B错误； 若，，则有可能在平面内，C错误； 由线面垂直性质定理可知，D正确. 故选：D    对于④：因为a⊥M，b⊥M，由线面垂直的性质定理可得：a∥b. 故④正确. 故答案为：④. 题型2：线面垂直的性质定理应用 【例3】如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 【答案】见解析. 【分析】根据线面垂直的性质可得. 【解析】由长方体可得：, ，平面， 因为平面，故. 【点睛】本题考查线面垂直的性质即垂直于同一平面的两条直线是平行的，属于容易题. 题型3：线面垂直的判定定理 【例4】给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（    ） A．充分条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理即可判定二者间的逻辑关系. 【解析】由直线l与平面内无数条直线垂直，可得l与平面相交或或； 由直线l与平面垂直，可得直线l与平面内任意一条直线垂直. 则“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件. 故选：C 【例5】已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 【例6】给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中正确的命题共有__________个． 【答案】②③ 【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解析】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，所以①不正确； ②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，所以②正确； ③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确； ④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确. 故答案为：②③ 题型4：线面垂直的判定定理应用 【例7】如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由四边形为正方形，可得，结合正方体可得平面，进而得到，进而得证. 【解析】因为四边形为正方形，． 在正方体中，易知平面， 又平面，． 又，平面， 平面． 【例8】如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得、，再由线面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案. 【解析】由且， 可得，所以， 又由为的中点，所以， 因为为的中点，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为分别为的中点，所以，所以平面． 【例9】如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作平面于点I，作于点G，于点K，连接，需证明I在上，再证明，结合，根据线面垂直的判定定理即可证明结论. 【解析】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形， 连接，交于O点，则O为的中点，连接， 因为E为的中点，故, 因为平面，平面， 故平面； （2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K， 连接， 因为，,故≌, 所以, ∵平面，平面，∴, 故≌,故, 又平面，平面,故,又， 平面,故平面， 平面，故,同理可证,结合， 可知I在的平分线上，即I在上，则平面， 而平面，平面,故, 又底面是菱形，则 , 平面，故平面. 题型6：三垂线定理 【例10】已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明． 【答案】答案见解析 【分析】按照定理内容转化成符合语言再证明即可. 【解析】解：已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 如图所示：若，是垂足，斜线，，，证明． 证明：，， ， ， 又，都在平面内， 平面， 平面， ． 【例11】若直线平面，点、和直线在平面内，则命题“，则”的真假性及否命题为（ ） A．真命题，若，则与不垂直 B．假命题，若，则与不垂直 C．真命题，若与不垂直，则与不垂直 D．假命题，若与不垂直，则与不垂直 【答案】C 【分析】根据，可证明面，进而可得，可说明真命题；另外利用否命题的书写规则，将条件和结论均否定来选择答案. 【详解】解：若直线平面，点、和直线在平面内，则命题“，则”为真命题，因为当直线平面，又直线平面，则，又，且，所以面，所以，故为真命题， 其否命题为：若与不垂直，则与不垂直. 故选：C. 【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质，考查否命题的概念，是基础题. 【例12】已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“”等价； 【答案】垂直 【解析】在中，因为，，所以，； 又因为，平面，是斜线在平面上的射影， 所以，, 【说明】本题考查了三垂线定理的直接应用； 【例13】若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. 【提示】注意：首先“平面”，然后“” 先由题意，得到，根据线面垂直的判定定理以及性质，可判断①②④正确；推出与不垂直；假设，根据线面垂直的判定定理与性质推出，得出矛盾，即可得出③错. 【答案】①②④ 【解析】因为为以为直径的圆上异于的一点， 所以， 因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，所以平面， 因此；即①正确； 又，且平面， 所以平面；即②正确； 又平面，所以；即④正确； 因为平面，所以，即是以为直角的直角三角形，所以与不垂直； 若，根据，，平面，可得平面，则，这与“，不垂直”矛盾，故，不垂直；即③错； 故答案为：①②④； 【说明】本题主要考查了三垂线定理，线面垂直，线线垂直的判断，熟记线面垂直的判定定理和性质即可； 【例14】已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【提示】注意：垂线、斜线与射影； 【答案】B； 【解析】如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O， 连接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC， 且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°， 所以△PAO≌△PBO≌△PCO， 所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心． 【例15】等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________． 【提示】注意：通过点C在平面α上的射影，创设三垂线定理的“前提”； 【答案】45°； 【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O， 连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝， 所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°； 【例16】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 【提示】注意：PA⊥平面ABC； 【答案】4； 【解析】由PA⊥平面ABC， 在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD； 则PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离； 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4. 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4； 【跟踪训练】 1、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【解析】由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P， 所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B. 2、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】C； 【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确； ⇒ BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB. 故A正确；同理B正确；C不正确． 3、如图，在中，斜边，平面，， ，求直线与平面 所成角的正弦值。 【提示】先根据题意得是直线与平面所成角， 再根据几何关系求解即可. 【答案】 【解析】根据题意平面，所以是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 在中，，， 所以， 在中，， 在中， . 所以直线与平面 所成角的正弦值为：； 故答案为：； 【说明】本题考查了利用三垂线定理找直线与平面所成的角的几何求法； 题型7：直线与平面所成的角 【说明】求斜线与平面所成角的步骤： （1）作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【例17】在正方体ABCD­A1B1C1D1中， （1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________； （2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； （3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________． 【提示】注意：求直线与平面所成的角，应：找，证，解，答； 【答案】（1）45°；（2）30°；（3）90°； 【解析】（1）由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°； （2）连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1， 所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB， 所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO， 因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°； （3）因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1， 又因为AB1∩B1C1＝B1， 所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°； 【说明】本题考查了如何根据不同的题设“找”直线与平面所成的角； 【例18】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 【解析】取AA1的中点M，连接EM，BM. 因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD. 又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1， 所以EM⊥平面ABB1A1， 从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影， ∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2， 则EM＝AD＝2，BE＝ ＝3. 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝， 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为； 【说明】本题考查了求直线与平面所成的角的步骤；找角：找（或作）出斜线在平面上的射影；将空间角转化为直角三角形中的角；定角：利用线面垂直的判定、性质与三垂线定理，确定角；计算；回答； 【跟踪训练】 1、若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　) A．60°　 B．45° C．30° D．90° 【答案】A； 【解析】斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示， ∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO， 所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°. 2、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________． 【答案】45° 【解析】如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中， B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影， ∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角． 由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°. 3、如图,在四面体SABC中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBC=60°,则BC与平面SAB所成的角为　　　　.  【答案】60°； 【解析】由题意知SC⊥SA,SC⊥SB, 又SA∩SB=S,∴SC⊥平面SAB. ∴∠SBC是BC与平面SAB所成的角. ∵∠SBC=60°,∴BC与平面SAB所成的角为60°. 4、等腰的斜边在平面内，若与所成的角为，则斜边上的中线与所成的角为________.  【答案】 【解析】如图,设在平面内的射影为点, 连接，则,就是与所成的角. 设,则,所以， 所以, 所以 5、如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值． 【解析】由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC， 所以MC在平面CAB内的射影为AC. 所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角． 又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， 所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝. 即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为. 题型8：直线与平面的综合 【例19】正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证: （1）A1C1//平面ACB1； （2）BD1⊥平面AB1C 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理即得证． 【详解】 （1）如图所示： 连接，由正方体的结构特征可知，，且，所以四边形为平行四边形，即有，而平面，平面，故平面． （2）因为平面，平面，所以，由四边形为正方形可知，， 而，所以平面，又平面∴．同理可证，，而，故平面． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及三垂线定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1．如图，在正方体中，、分别为､的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【分析】（1）连结，证出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得. （2）连结，证出，再利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】证明：（1）连结，由正方体得， 平面.又平面， 又四边形是正方形，∴， 而，∴平面， 又平面，∴. （2）连结，由､分别为､ 的中点得，且 ∴四边形是平行四边形，∴ 又平面，平面，∴平面. 2．如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合，由线面垂直的判定定理得到结论； （2）作出辅助线，由三角形的中位线定理得到线线平行，从而证明线面平行； （3）由（1）得到AC和平面ABE所成的角，求出边长，直接解直角三角形可得结论． 【解析】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又由，而，平面， 故⊥平面； （2）连接交于M，连接，由点F为线段的中点， 可得，而平面，平面， 故平面； 3．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD． (1)求证：PA⊥BD； (2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD； (3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）； （2）利用反证法证明，推出CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，可证：； （3）在上l取一点E，使PE＝BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD． 【解析】（1）∵ABCD为直角梯形，过点作，因为， 所以四边形为正方形，则为等腰直角三角形，则， 所以， ∴AB⊥BD，又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB， 所以BD⊥平面PAB，PA⊂面PAB，∴PA⊥BD． （2）假设，如图连接PN， 则PN⊥AD，BN⊥AD， AD⊥平面PNB，得PB⊥AD， 又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，平面ABCD， ∴PB⊥CD又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，平面PBC， ∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾， ∴. （3）在上l取一点E，使PE＝BC， ∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形， ∴PC∥BE，平面EBD，BE⊂平面EBD， ∴PC∥平面EBD． 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， （1）求A1B与平面AA1D1D所成的角； （2）求A1B与平面BB1D1D所成的角. 【解析】（1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. （2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 【说明】求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 一、填空题 1．（2021秋•浦东新区期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 　两条相交　直线都垂直，那么此直线与该平面垂直． 【分析】由直线与平面垂直的判定定理即可得解． 【解答】解：由直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 故答案为：两条相交． 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，属于基础题． 2．下列语句中正确的是________.(填序号) ①l⊥α⇒l与α相交； ②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α； ③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α. 【解析】①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α. 答案：①③ 3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 能判定直线与此平面垂直的有________. 【解析】由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法判定线面垂直． 答案：①③ 4．（2022春•浦东新区校级期末）一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的关系是 　　． 【分析】结合线面垂直的有关知识确定正确答案． 【解答】解：依题意，空间中的△ABC， 若l⊥AB，l⊥AC，由于AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， 所以l⊥平面ABC， 由于BC⊂平面ABC，所以l⊥BC． 故答案为：垂直． 【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，属基础题． 5．（2021秋•浦东新区期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在 　平面上的射影　垂直． 【分析】利用三垂线定理和三垂线定理的逆定理直接求解． 【解答】解：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直； 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直， 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影． ∴平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 故答案为：平面上的射影． 【点评】本题考查平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件的求法，考查三垂线定理和三垂线定理的逆定理等基础知识，是基础题． 6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为________． 【解析】底面积不变，在折叠过程中，高是先增加后减小．设AC的中点为O，当DO⊥平面ABC时，DO即为高，此时高最大．此时△DOB为等腰直角三角形，BD与平面ABC所成角为45°. 答案：45° 7．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则其四个面中直角三角形的个数为　4　 【分析】推导出BC⊥CD，AB⊥CD，AB⊥BD，AB⊥BC，从而CD⊥平面ABC，进而AC⊥CD，由此能求出结果． 【解答】解：在四面体ABCD中， ∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD， ∴AB⊥CD，AB⊥BD，AB⊥BC， ∵AB∩BC＝B，AB、BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC， ∴AC⊥CD， ∴在四面体ABCD中的四个面都是直角三角形． 故答案为：4． 【点评】本题考查四面体四个面中直角三角形的个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、推现论证能力等数学核心素养，是基础题． 8．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，若m与l不重合，则直线l，m的位置关系是 【提示】注意：理解与归纳题设； 【答案】平行 【解析】因为，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，所以，l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，所以，l∥m； 【说明】本题综合考查了直线和平面垂直判定定理与性质定理； 9．已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB；若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝ 【提示】注意：由题设“图示” 【答案】2； 【解析】如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD； 则连接OD，在三角形OBD中，所以＝； 因为OA＝AB，所以＝，因为AC＝1，所以BD＝2； 【说明】本题考查了线面垂直的性质定理与平面几何性质的交汇； 10．如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2， BC＝，ED＝；则点B到平面AED的距离为________， EF到平面ABCD的距离为________． 【提示】注意：理解“点到平面”与等价转化“线到平面”； 【答案】2；； 【解析】由题意知，ED⊥平面ADCB，所以，ED⊥AB. 又因为，AB⊥AD，ED∩AD＝D，所以，AB⊥平面AED，所以，BA即为所求距离， 因此点B到平面AED的距离为2. 因为，ED⊥平面ADCB，所以，E到平面ADCB的距离为. 因为，EF∥平面ABCD，所以，EF到平面ABCD的距离也是. 答案：2；； 【说明】本题考查了求“点到平面的距离”首先得找距离；而求“直线到平面的距离”往往考虑等价转化； 11．下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【提示】注意：理解线面垂直的定义、判定与性质 【答案】④⑤； 【解析】当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确； 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确； 故填④⑤. 【说明】本题综合考查了线面垂直的定义、判定与性质；一般而言： 1、直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2、由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b； 12．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD， 在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时， a的取值范围是________. 【提示】注意：垂直关系的转化与适当引入参变量； 【答案】(6，＋∞) 【解析】由题意知PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P；所以DE⊥平面PAE，则DE⊥AE. 由平面几何，“角的互余”易证△ABE∽△ECD， 设BE＝x，则＝，即＝，即x2－ax＋9＝0，　(*) 由题意方程(*)有两个不相等的实根，故Δ＝a2－4×1×9>0，则a>6； 【说明】本题考查了线线垂直与线面垂直的互相转化与“相似比”、“一元二次方程”的交汇； 二、选择题 13．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【提示】注意：理解线面垂直的性质； 【答案】A； 【解析】由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行； 【说明】本题考查了线面垂直的性质与空间直线的位置关系；借助特殊图形判别； 14．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 【提示】注意：线面垂直的判定定理； 【答案】C； 【解析】因为，OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，所以，OA⊥平面OBC； 【说明】本题考查了线面垂直的判定定理； 15．（2021秋•嘉定区校级月考）已知P是△ABC所在平面外一点，若P到ABC三边距离相等，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【分析】设三棱锥P﹣ABC的顶点P在底面的射影为O，则O到三边的距离相等，可得结论． 【解答】解：设三棱锥P﹣ABC的顶点P在底面的射影为O，∵点P到△ABC的三边距离相等， ∴O到三边的距离相等， ∴P点在平面ABC上的射影是△ABC的内心， 故选：C． 【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题． 16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(　　) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， ∴AH⊥平面EFH，B正确； ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG， ∴EF⊥平面HAG， 又EF⊂平面AEF， ∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确； 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.故选B. 三、解答题 17．（2021秋•金山区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥BD． 【分析】推导出BD⊥AC，BD⊥AA1，从而BD⊥平面ACA1，由此能证明A1C⊥BD． 【解答】证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， BD⊥AC，BD⊥AA1， ∵AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACA1， ∵A1C⊂平面ACA1， ∴A1C⊥BD． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 18．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点． （1）求证：AB⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F∥平面ABE． 【分析】（1）证明AB⊥B1B，结合AB⊥BC，推出AB⊥平面B1BCC1． （2）取AB的中点D，证明四边形DFC1E为平行四边形，推出C1F∥DE，然后证明C1F∥平面ABE． 【解答】（1）证明：因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥底面ABC， 所以AB⊥B1B， 又因为AB⊥BC，BC∩B1B＝B， 所以AB⊥平面B1BCC1． （2）证明：取AB的中点D，因为F为BC的中点， 所以DF∥AC，且， 因为E为A1C1的中点，AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以DF∥EC1，且DF＝EC1，所以四边形DFC1E为平行四边形， 所以C1F∥DE， 又因为C1F⊄平面ABE，DE⊂平面ABE， 所以C1F∥平面ABE． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题． 19．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F； （1）求证：PC⊥平面AEF； （2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD； 【提示】PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC⇒直线与平面垂直的判定定理； 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线； 【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC； 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF； （2）由（1）知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG， 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD； 【说明】本题综合考查了线面垂直的判定与性质；证线面垂直的方法： 1、线线垂直证明线面垂直：（1）定义法（不常用）；（2）判定定理最常用（有时作辅助线）； 2、平行转化法（利用推论）：（1）a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（2）α∥β，a⊥α⇒a⊥β； 20．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E、F分别是线段PA、CD的中点． （1）求EF和平面PAB所成的角α； （2）求证：EF∥平面PBC． 【分析】（1）设G是AB中点，连接EG，FG，利用线面垂直的性质、面面垂直的判定得面ABCD⊥面PAB，由面面垂直的性质有FG⊥面PAB，进而确定线面角的平面角，即可求大小； （2）由线面平行的判定证FG∥面PBC、EG∥面PBC，根据面面平行的判定和性质证结论． 【解答】解：（1）设G是AB中点，连接EG，FG，四边形ABCD为正方形，PA＝PD， 因为PA⊥面ABCD，PA⊂面PAB，则面ABCD⊥面PAB， 由F是线段CD的中点，则FG∥BC，而BC⊥AB，即FG⊥AB， 由面ABCD∩面PAB＝AB，FG⊂面ABCD，故FG⊥面PAB， 所以EF和平面PAB所成角的平面角为α＝∠FEG或补角，由EG⊂面PAB，则FG⊥EG， 在直角△FEG中，， 由E是线段PA的中点，则EG∥BP且，结合AB⊂面ABCD，即PA⊥AB， 所以，AB＝BC＝FG，则，故， 故EF和平面PAB所成角为； （2）证明：由（1）知：FG∥BC，FG⊄面PBC，BC⊂面PBC，则FG∥面PBC， 又EG∥BP，同理可证EG∥面PBC， 因为FG∩EG＝G，FG，EG⊂面FEG，则面FEG∥面PBC， 由EF⊂面FEG，可得EF∥面PBC． 【点评】本题主要考查直线与平面平行，属于中档题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题05 直线与平面间的位置关系（2） 知识点一、直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直； 【说明】1、直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形；2、注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”； 知识点三、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 【说明】判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直； 知识点三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行； 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 【说明】1、直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． 2、定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据； 4、推论 推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 5、点到平面的距离 过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直； 从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离； 利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离； 6、直线与平面所成的角 （1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足； 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影； 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°（或）；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°. （3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°（或）； 【说明】把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段； 题型1：线面垂直的性质定理 【例1】已知直线a、b和平面，若，，求证：． 【例2】a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M； ③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b 其中正确命题有_________（填序号） 【跟踪训练】 1．已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是________． 2．已知不重合的直线a，b和平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型2：线面垂直的性质定理 【例3】如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 题型3：线面垂直的判定定理 【例4】给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（    ） A．充分条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【例5】已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【例6】给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中正确的命题共有__________个． 题型4：线面垂直的判定定理应用 【例7】如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面. 【例8】如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面 【例9】如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，． (1)求证：平面；(2)求证：平面. 题型5：三垂线定理 【例10】已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明． 【例11】若直线平面，点、和直线在平面内，则命题“，则”的真假性及否命题为（ ） A．真命题，若，则与不垂直 B．假命题，若，则与不垂直 C．真命题，若与不垂直，则与不垂直 D．假命题，若与不垂直，则与不垂直 【例12】已知在平面内，，平面，则直线与的位置关系是________. 【例13】若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系： ① ②平面 ③ ④， 其中正确的是___________. 【例14】已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【例15】等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________． 【例16】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 【跟踪训练】 1、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 2、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 3、如图，在中，斜边，平面，， ，求直线与平面 所成角的正弦值。 题型6：直线与平面所成的角 【说明】求斜线与平面所成角的步骤： （1）作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【例17】在正方体ABCD­A1B1C1D1中， （1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________； （2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； （3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________． 【例18】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 【跟踪训练】 1、若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　) A．60°　 B．45° C．30° D．90° 2、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________． 3、如图,在四面体SABC中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBC=60°,则BC与平面SAB所成的角为　　　　.  4、等腰的斜边在平面内，若与所成的角为，则斜边上的中线与所成的角为________.  5、如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值． 题型7：直线与平面的综合 【例19】正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证: （1）A1C1//平面ACB1； （2）BD1⊥平面AB1C 【跟踪训练】 1．如图，在正方体中，、分别为､的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 2．如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面； 3．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD． (1)求证：PA⊥BD； (2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD； (3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD． 一、填空题 1．（2021秋•浦东新区期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 　　直线都垂直，那么此直线与该平面垂直． 2．下列语句中正确的是________.(填序号) ①l⊥α⇒l与α相交； ②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α； ③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α. 3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 能判定直线与此平面垂直的有________. 4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的关系是 　　． 5．（2021秋•浦东新区期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在 　　垂直． 6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为________． 7．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则其四个面中直角三角形的个数为　　 8．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，若m与l不重合，则直线l，m的位置关系是 9．已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB；若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝ 10．如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2， BC＝，ED＝；则点B到平面AED的距离为________， EF到平面ABCD的距离为________． 11．下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 12．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD， 在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时， a的取值范围是________. 二、选择题 13．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 14．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 15．（2021秋•嘉定区校级月考）已知P是△ABC所在平面外一点，若P到ABC三边距离相等，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(　　) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 三、解答题 17．（2021秋•金山区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥BD． 18．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点． （1）求证：AB⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F∥平面ABE． 19．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F； （1）求证：PC⊥平面AEF； （2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD； 20．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E、F分别是线段PA、CD的中点． （1）求EF和平面PAB所成的角α； （2）求证：EF∥平面PBC． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$