专题04 直线与平面间的位置关系（1）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题04 直线与平面间的位置关系（1） 知识点一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 知识点二：直线与平面平行的判定定理 　文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 【说明】用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： 1、直线a在平面α外，即a⊄α；2、直线b在平面α内，即b⊂α；3、两直线a，b平行，即a∥b； 知识点三：直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 【说明】 1、线面平行的性质定理成立的条件有三个： ①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β；以上三个条件缺一不可． 2、定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行． 3、定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想； 4、应用判定定理证明线面平行的步骤：找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；证：证明已知直线平行于找到（作出）的直线；结论：由判定定理得出结论；以上的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．　 [提醒]线面平行判定定理应用的误区：1、条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；2、不能利用题目条件顺利地找到两平行直线； 题型1：判断直线与平面平行 【例1】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；（ ） ②若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；（ ） ③若a∥b，a∥平面α，则b∥α；（ ） ④平行于同一平面的两条直线平行；（ ）； 【例2】在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【例3】在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面是______． 【例4】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面. 【例5】设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】设a，b，c为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的个数为（    ） ①若，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1．下列三个说法：其中正确的有 __． ①若直线a在平面α外，则a∥α； ②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α； ③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行． 2．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（ ） A．存在一条直线，//且 B．存在一条直线，//且 C．存在一个平面，且// D．存在一个平面，//且// 3．在正方体中，O是的中点，则与平面的关系是______． 4．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（    ） A． B． C．D． 题型2：证明线面平行 【说明】1、判断或证明线面平行的常用方法有：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)． (2)判定定理法(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． 2、证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质； (3)利用平行线分线段成比例定理． 【例7】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点． 若，求证：平面． 【例8】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G. 【跟踪训练】 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面； 2．已知正方体， （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角． 3．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． 求证：平面； 题型3：线面平行的性质 【例9】在中，，，，是重心，过的平面与BC平行，，，则_________． 【例10】正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，四边形ABCD是梯形，，且平面，AD，BC与平面分别交于点M，N，且点M是AD的中点，，，则______． 2．长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________. 3．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________． 4．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________. 题型4：利用线面平行的性质证明线线平行 【例11】如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：； 【例12】如图，己知三棱锥中，为正三角形，，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且．求证：四边形是平行四边形； 题型5：直线与平面平行的综合 【例13】空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH. (1)求； (2)求证：EH，FG，BD三线共点． 【例14】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. (1)当为的中点时，求证：平面. (2)当平面，求出点的位置，说明理由. 【例15】如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 一、填空题 1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系 是 2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________． 3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断： ①m∥n；②m∥α；③n∥α. 以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示) 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD在平面α外，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________. 5．在长方体所有的棱所在的直线中，与平面平行的直线有______． 6．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面 的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝， 过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 8．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点， 给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA； ④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC； 其中正确的命题的序号为 9．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是_______________． 10．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β. 命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)． 11．设表示平面，m，n是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 12．在正方体中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，以下结论： ①直线直线；②直线平面，；③. 其中正确的是_________. 二、选择题 13．能保证直线与平面平行的条件是（ ） A．直线与平面内的一条直线平行 B．直线与平面内的某条直线不相交 C．直线与平面内的无数条直线平行 D．直线与平面内的所有直线不相交 14．直线a∥平面α，点P∈α，过点P平行于a的直线（ ） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内 15．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 16．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心， 点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B， 则线段PQ的长为（ ） A． B． C．1 D． 三、解答题 17．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. 求证：（1）l∥BC；（2）MN∥平面PAD. 18．如图所示，四边形EFGH为空间四边形A­BCD的一个截面， 四边形EFGH为平行四边形． （1）求证：AB∥平面EFGH； （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围； 19．如图，已知点P是平面四边形ABCD外一点，底面ABCD是平行四边形， 且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上； 若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值． 20．如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点． 当为多少时，直线平面？ 21．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第10章空间直线与平面（预修课程） 专题04 直线与平面间的位置关系（1） 知识点一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 知识点二：直线与平面平行的判定定理 　文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 【说明】用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： 1、直线a在平面α外，即a⊄α；2、直线b在平面α内，即b⊂α；3、两直线a，b平行，即a∥b； 知识点三：直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 【说明】 1、线面平行的性质定理成立的条件有三个： ①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β；以上三个条件缺一不可． 2、定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行． 3、定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想； 4、应用判定定理证明线面平行的步骤：找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；证：证明已知直线平行于找到（作出）的直线；结论：由判定定理得出结论；以上的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．　 [提醒]线面平行判定定理应用的误区：1、条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；2、不能利用题目条件顺利地找到两平行直线； 题型1：判断直线与平面平行 【例1】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；（ ） ②若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；（ ） ③若a∥b，a∥平面α，则b∥α；（ ） ④平行于同一平面的两条直线平行；（ ）； 【提示】注意：从集合视角理解线面位置关系的定义； 【答案】①×；②√；③×；④×； 【解析】对于①，由位置关系，得：l∥α或直线l与平面α相交，所以，①是假命题； 对于②，由l与平面α平行的定义，从集合观点理解，所以，②是真命题； 对于③，由题意，可推得b∥α或直线b⊂平面α，所以，③是假命题； 对于④，可推得两条直线a与b可能平行、相交或异面；所以，④是假命题； 【说明】本题考查了线面平行的定义与线面、线线位置关系； 【例2】在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据线面平行的定义及判定定理可判断. 【详解】定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行. 可知①②正确； 线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 可知④正确； 当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确. 故选：D. 【例3】在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面是______． 【答案】平面和平面 【分析】直接观察长方体即可得出. 【解析】如图长方体中，与直线平行的平面是平面和平面. 故答案为：平面和平面. 【例4】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【解析】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 【例5】设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】从充分性及必要性两个角度分析. 【解析】由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件； 可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的 必要条件； 综上， “”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例6】设a，b，c为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的个数为（    ） ①若，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由平行的传递性、线面关系及线面平行的性质依次判断各命题即可. 【解析】对于命题①，线线平行具有传递性，故①正确； 对于命题②，平行于同一个平面的两条直线也可以相交或异面，故命题②不正确； 对于命题③，由线面平行的性质定理知命题③正确； 对于命题④，b还可以在平面内，故命题④不正确. 所以正确的命题有2个， 故选：B. 【跟踪训练】 1．下列三个说法： ①若直线a在平面α外，则a∥α； ②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α； ③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行． 其中正确的有 __． 【答案】② 【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可求解． 【解析】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确； 对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确； 对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误． 故答案为：②． 2．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（ ） A．存在一条直线，//且 B．存在一条直线，//且 C．存在一个平面，且// D．存在一个平面，//且// 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理，可得结果. 【详解】在选项A，B，D中， 均有可能在平面内，错误； 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线 都平行于另一个平面，故C正确 故选：C 【点睛】本题考查线面平行的判定，属基础题. 3．在正方体中，O是的中点，则与平面的关系是______． 【答案】平面 【分析】根据线面平行的判定定理即得. 【解析】连接， 由正方体的性质可知，平面，平面， 所以平面. 故答案为：平面. 4．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项. 【解析】对于A，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC， 所以直线平面ABC，能满足；    对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；    对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC， 所以直线平面ABC，能满足；    对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.    故选：D. 题型2：证明线面平行 【说明】1、判断或证明线面平行的常用方法有：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)． (2)判定定理法(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． 2、证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质； (3)利用平行线分线段成比例定理． 【例7】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点． 若，求证：平面． 【解析】连接，记与的交点为，连接． 由，得，，又，则， ∴，又平面，平面， ∴平面． 【例8】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G. 【提示】注意利用正方体一题设条件“推导”线面平行的“三个”条件； 【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1. 又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1【①】. 又EF⊄平面AD1G【②】，AD1⊂平面AD1G【③】， 所以EF∥平面AD1G. 【跟踪训练】 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面； 【解析】（1）证明：连接， 因为四边形为正方形，且为的中点，所以，为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，平面． 2．已知正方体， （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）即为异面直线与所成的角，求出即可． 【详解】（1）证：在正方体中， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面； ∴平面； （2）解：∵， ∴即为异面直线与所成的角， 设正方体的边长为， 则易得， ∴为等边三角形， ∴， 故异面直线与所成的角为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题． 3．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． 求证：平面； 【解析】证明：取的中点，连接，， 又是的中点，所以，且． 因为四边形是矩形，所以且，所以，且． 因为是的中点，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为平面，平面， 所以平面． 题型3：线面平行的性质 【例9】在中，，，，是重心，过的平面与BC平行，，，则_________． 【答案】/ 【分析】若为中点，由重心的性质得，根据线面平行的性质得，等比例关系、余弦定理求即可. 【解析】如下图示，若为中点，又是重心，则，    由题意，面，面，故， 所以，而， 综上，. 故答案为： 【例10】正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作交于，再根据几何关系即可得答案. 【解析】解：如图，连接，过点作交于， 因为是的中点，所以是的中点， 由正方体的性质易得， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，此时是的中点，故. 故选：B 【跟踪训练】 1．如图，四边形ABCD是梯形，，且平面，AD，BC与平面分别交于点M，N，且点M是AD的中点，，，则______． 【答案】5 【分析】根据线面平行的性质定理说明，即可说明MN是梯形ABCD的中位线，可得答案. 【解析】因为平面, 平面ABCD, 平面ABCD平面, 故, 而点M是AD的中点，故点N是BC的中点， 即MN是梯形ABCD的中位线，故， 故答案为：5 2．长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________. 【答案】2 【分析】连接，交于点，连接，过点作，交于点，则结合已知可得四边形为平行四边形，则，四边形是正方形结合三角形中位线定理可得，再根据可求得结果. 【解析】连接，交于点，连接，过点作，交于点. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵， ∴，又， ∴四边形为平行四边形， ∴. ∵四边形是正方形， ∴是的中点， 又，∴. ∵， ∴. 故答案为：2 3．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________． 【答案】1 【分析】利用线面平行证明出，再通过中位线的性质证明出点为的中点，即可得出结论. 【解析】，且平面平面， ， 四边形是菱形， 为的中点， 为的中点， 即. 4．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________. 【答案】3 【分析】根据三角形相似可推得，再根据线面平行的性质定理推出，即可得，从而求得λ的值. 【解析】设AC交BE于G点，连接FG,如图： 由于E为AD的中点，故 , 因为底面ABCD是平行四边形，故 ,则 , 故，所以， 又因为PC//平面BEF，平面PAC，平面PAC平面BEF=FG, 故,所以 ,即有 ， 故答案为：3 题型4：利用线面平行的性质证明线线平行 【例11】如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：； 【解析】证明：在梯形中，，平面，平面， 平面． 又平面，平面平面， 所以． 【例12】如图，己知三棱锥中，为正三角形，，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且．求证：四边形是平行四边形； 【解析】证明：平面，平面PAC，平面，平面， ，， D，E分别为，的中点，， 又平面，平面，平面， ，平面，， 四边形是平行四边形． 题型5：直线与平面平行的综合 【例13】空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH. (1)求； (2)求证：EH，FG，BD三线共点． 【答案】(1)AH∶HD＝3∶1. (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面ACD，再由可得答案： （2）先证明四边形EFGH为梯形，设，则根据平面的性质可得答案． 【解析】（1）∵，， 又平面ACD，平面ACD，平面ACD， ∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，， 又，， ∴，即： （2）∵，且，， ∴，∴四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，，平面BCD， 平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，FG，BD三线共点． 【例14】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. (1)当为的中点时，求证：平面. (2)当平面，求出点的位置，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析. 【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【解析】（1）取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【例15】如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【解析】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 一、填空题 1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系 是 【提示】注意：阅读理解与寻找特殊图形分析； 【答案】平行、相交或异面 【解析】画图可知两直线可平行、相交或异面 【说明】本题考查了空间的分类讨论与利用特殊图形判断位置关系； 2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________． 【答案】CD∥α； 【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理，得CD∥α； 3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断： ①m∥n；②m∥α；③n∥α. 以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示) 【答案】①②⇒③(或①③⇒②) 【解析】设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α. 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD在平面α外，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________. 【提示】注意：线面平行的判定与定义； 【答案】平行或异面； 【解析】由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α， 所以，直线CD与平面α内的直线的位置关系是：平行或异面； 【说明】本题主要考查了线面平行的判定与线面平行的定义； 5．在长方体所有的棱所在的直线中，与平面平行的直线有______． 【答案】AB、、、 【分析】根据正方体的图象与性质，可得答案. 【解析】由题意，作图如下： 则与平面平行的直线有AB、、、， 故答案为：AB、、、 6．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 【答案】5 【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5. 7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面 的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝， 过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 【提示】注意：由题意分析交线“PQ”的几何性质； 【答案】a 【解析】因为MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN， 所以，MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝a； 【说明】本题综合考查了公理2、3与线面平行的性质定理与解直角三角形的交汇； 8．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点， 给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA； ④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC； 其中正确的命题的序号为 【提示】注意：用好平面几何性质、线面平行的判定与性质； 【答案】①②③； 【解析】由题意知，在三角形PBD中，由M为PB的中点，O为BD的中点，OM∥PD，所以，①正确； 又由OM在平面PCD外，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，所以，②正确；同理OM∥平面PDA； 【说明】本题考查了三角形的中位线、矩形对角线互相平分与线面平行的判定的交汇； 9．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是_______________． 【答案】①④ 试题分析：如图1，是所在棱中点，，则是中点，，因此有，如图2，是底面中心，可知，而，，因此与平面不平行，如图3，平面就是平面，显然与平面不平行，如图4，，则有，故填①④． 考点：直线与平面平行的判断． 【名师点睛】直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行），性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 10．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β. 命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)． 【提示】注意：理解命题的构成与线面平行的判定、性质； 【答案】①或③； 【解析】①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b； 【说明】本题考查了线面平行的判定与性质； 11．设表示平面，m，n是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 【答案】②③ 【分析】对四个选项，根据空间线面之间的关系逐个分析判断即可得解. 【详解】对①，没有交代，故①错误； 对②，平行于平面的垂线，则，②正确； 对③，垂直于平面，则垂直于平行于该平面的直线，所以③正确； 对④，平行于同一平面的直线，这两条直线并不一定平行，故④错误. 故答案为：②③ 12．在正方体中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，以下结论： ①直线直线；②直线平面，；③. 其中正确的是_________. 【答案】①②③ 【分析】分别过点作交于点，连接，证得 四边形为矩形，得到①②正确；在结合中位线定理，得到③正确. 【详解】过点作交于点，过点作交于点， 连接， 由于分别为的中点，故， 故四边形为矩形，所以直线直线；直线平面， 故①②是正确； 对于③由中位线定理得且，所以， 故③正确， 故答案为：①②③. 二、选择题 13．能保证直线与平面平行的条件是（ ） A．直线与平面内的一条直线平行 B．直线与平面内的某条直线不相交 C．直线与平面内的无数条直线平行 D．直线与平面内的所有直线不相交 【提示】注意：理解判断直线与平面平行的依据； 【答案】D； 【解析】根据线面平行的判定与定义，知D满足； 【说明】本题考查了判断直线与平面平行的方法；当然，若能用好正方体、长方体等特殊图形，则更直观； 14．直线a∥平面α，点P∈α，过点P平行于a的直线（ ） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内 【提示】注意：阅读理解与图示； 【答案】C 【解析】由公理3与线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C； 【说明】本题综合考查了线面平行性质定理与公理3的交汇； 15．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 【提示】注意：理解线面平行性质定理； 【答案】B； 【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B； 【说明】本题综合考查了线面平行性质定理与公理3的交汇；简单的逻辑推理； 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 16．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心， 点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B， 则线段PQ的长为（ ） A． B． C．1 D． 【提示】注意：题设中线面平行进行转化； 【答案】A； 【解析】如图，连接AD1，AB1， 因为，PQ∥平面AA1B1B， 平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1， 所以，PQ∥AB1， 所以，PQ＝AB1＝ ＝；故选A； 【说明】本题考查了线面平行的性质，以此转化为三角形的中位线与求正方形的对角线的长； 三、解答题 17．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. 求证：（1）l∥BC；（2）MN∥平面PAD. 【提示】注意：理解线面平行的判定与性质； 【证明】（1）因为，BC∥AD，BC⊄平面PAD， 所以，BC∥平面PAD. 又平面PBC∩平面PAD＝l， 所以，l∥BC； （2）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，则NE∥CD，且NE＝CD， 又AM∥CD，且AM＝CD， 所以，NE∥AM，且NE＝AM. 所以，四边形AMNE是平行四边形，则MN∥AE； 又因为，AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以，MN∥平面PAD； 【说明】本题考查了线面平行的判定与性质； 18．如图所示，四边形EFGH为空间四边形A­BCD的一个截面， 四边形EFGH为平行四边形． （1）求证：AB∥平面EFGH； （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围； 【提示】注意：理解线面平行的判定与性质； 【解析】（1）证明：因为，四边形EFGH为平行四边形，所以，EF∥GH. 又因为，GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以，EF∥平面ABD； 因为，EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， 所以，EF∥AB. 又因为，EF⊂平面EFGH，AB在平面EFGH外， 所以，所以，AB∥平面EFGH； （2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y， 因为，EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝， 所以，＋＝＋＝＝1， 又AB＝4，CD＝6，则＋＝1，即y＝6，且0<x<4， 所以，四边形EFGH的周长为l＝2(x＋y)＝2＝12－x， 因为，8<12－x<12， 所以，四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)； 19．如图，已知点P是平面四边形ABCD外一点，底面ABCD是平行四边形， 且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上； 若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值． 【解析】过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O， 连接FO. 因为EG∥FD，EG⊄平面BDF， FD⊂平面BDF， 所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF， EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE， 所以平面CGE∥平面BDF， 又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF， 又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC， 所以FO∥CG.又O为AC的中点， 所以F为AG的中点， 所以FG＝GP＝1， 即G是PF的中点，又EG∥FD， 所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1. 20．如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点． 当为多少时，直线平面？ 【解析】当点是线段上靠近点的三等分点时，平面 过点作交于点，过点作交于点，连接 平面 平面 ，面 平面 又，则平面平面 平面 平面．     当时，平面． 21．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD? 【解析】（1）证明　取PD的中点E，连接NE，AE，如图． ∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE＝DC，又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB， ∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)解　当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下． ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE， ∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$