4.5 整式的加减导学案2025-2026学年浙教版七年级数学上册

4.5 整式的加减导学案 一、学习目标 1. 理解整式加减的实质是合并同类项掌握整式加减的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算。 1. 能运用整式的加减解决简单的实际问题，体会整式加减的实际意义。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 整式加减的一般步骤（去括号、合并同类项）。 1. 熟练进行整式的加减运算。 （二）学习难点 1. 整式加减运算中，多括号的去括号顺序及符号处理。 1. 运用整式加减解决实际问题时，准确列出代数式并化简。 三、知识点自主预习填空 1. 整式的加减运算实质上就是______和______，运算结果仍是整式。 1. 整式加减的一般步骤：先______，再______。 1. 计算，先去括号得______，再合并同类项得______。 1. 已知A = 2x + 1，B = x - 3，则A + B=______。 1. 一个多项式减去，则这个多项式是______。 四、知识点讲解 知识点 整式的加减 整式加减的运算法则:几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后在 合并同类项 。 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”。在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做。例如，-2(x-3x+5x-7x+6)= -2(-4x+6)=8x-12。 注意：整式加减的结果要最简 (1)不能有同类项 (2)含字母的项的系数不能出现带分数，如果有带分数，必须将其化成假分数； (3)一般不含括号。 注意： (1)几个多项式相减，减式一定要先用括号括起来。 (2)去括号时要格外注意符号问题，尤其是有多重括号时。 考点1 整式的加减的概念 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，只需要求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个多项式是， 故选：C． 【变式3】若多项式与多项式的和是一个单项式，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减运算，单项式的概念，解题的关键是掌握整式加减运算法则以及单项式的概念． 根据题意进行整式的加法即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ∵多项式与多项式的和是一个单项式， ∴， 故选：A． 【变式4】化简多项式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 考点2 整式的加减计算题 【例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6)； (7)． (8)； (9) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)； 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． （8）解： ； （9）解： ． 考点3 整式的加减的运用 【例1】如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重叠的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键．设乙的长度为a公尺，根据题意得甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺，根据甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为a公尺， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺， ∴甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺， ∴甲与乙重叠的部分长度为：公尺；乙与丙重叠的部分长度为：公尺， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：公尺， 故选：A． 【变式1】将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 【变式2】如图所示，某公司有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（、、三点共线），已知米，米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点 B．点 C．、之间 D．、之间 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，不等式的性质．由题意设一个停靠点，求出总路程再比较大小即可． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ④当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是，则（），所有人的路程的和是：， ⑤当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为，则（），则总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点； 故选：A． 【变式3】图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 【变式4】飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得顺风飞行的速度为，根据路程等于速度乘以时间，分别计算出顺风飞行的路程和无风飞行的路程，二者相减即可得到答案． 【详解】解：， ∴飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为， 故选：A． 考点4 求整式的值 【例1】当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的化简求值，熟练掌握整式加减的化简求值是解题的关键； 根据整式的加减化简为，再将，代入求解即可； 【详解】解： ， 当，时， ． 故选：B． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把代入进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 【变式2】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 【变式4】已知，则代数式的值是（   ） A．25 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答的关键．将所求代数式变形，再代入数值计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 考点1 整式的加减的概念 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，只需要求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个多项式是， 故选：C． 【变式3】若多项式与多项式的和是一个单项式，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减运算，单项式的概念，解题的关键是掌握整式加减运算法则以及单项式的概念． 根据题意进行整式的加法即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ∵多项式与多项式的和是一个单项式， ∴， 故选：A． 【变式4】化简多项式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 考点2 整式的加减计算题 【例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6)； (7)． (8)； (9) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)； 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． （8）解： ； （9）解： ． 考点3 整式的加减的运用 【例1】如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重叠的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键．设乙的长度为a公尺，根据题意得甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺，根据甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为a公尺， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺， ∴甲的长度为：公尺；丙的长度为：公尺， ∴甲与乙重叠的部分长度为：公尺；乙与丙重叠的部分长度为：公尺， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度乙与丙重叠的部分长度乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：公尺， 故选：A． 【变式1】将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 【变式2】如图所示，某公司有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（、、三点共线），已知米，米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点 B．点 C．、之间 D．、之间 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，不等式的性质．由题意设一个停靠点，求出总路程再比较大小即可． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ④当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是，则（），所有人的路程的和是：， ⑤当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为，则（），则总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点； 故选：A． 【变式3】图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 【变式4】飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得顺风飞行的速度为，根据路程等于速度乘以时间，分别计算出顺风飞行的路程和无风飞行的路程，二者相减即可得到答案． 【详解】解：， ∴飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为， 故选：A． 考点4 求整式的值 【例1】当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的化简求值，熟练掌握整式加减的化简求值是解题的关键； 根据整式的加减化简为，再将，代入求解即可； 【详解】解： ， 当，时， ． 故选：B． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把代入进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D． 【变式2】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 【变式4】已知，则代数式的值是（   ） A．25 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答的关键．将所求代数式变形，再代入数值计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 五、效果检测 1. 整式的加减就是合并同类项。（ ） 1. 计。（ ） 1. 若。（ ） 1. 两个整式的和一定是整式，两个整式的差不一定是整式。（ ） 1. 化简3(a + b) - 2(a - b)的结果是a + b。（ ） 六、归纳总结 1. 整式加减的实质：去括号和合并同类项，最终结果是一个整式（可能是单项式或多项式）。 1. 整式加减的步骤：先去括号（遵循去括号法则，注意符号变化），再合并同类项（系数相加，字母和指数不变）。 1. 注意事项：多括号去括号时按从内到外的顺序；系数计算时关注负数的加减；运用整式加减解决问题时，先列代数式再化简。 7、 课后作业 1．力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（　　） A．166块 B．164块 C．165块 D．160块 2．已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 3．一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为 ． 4．探索规律：，，．请运用你发现的规律解决问题：若，则 ． 5．有A，B，C三根绳子，A，C的长度之和是B的2倍．如果把C剪去66分米，那么A的长度就是B，C长度之和的一半．A与B相比， 比 长 分米． 6．如果，那么 ． 7．一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 8．已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是 ； 三、解答题 9．（1） 化简：； （2）先化简，再求值： ，其中． 10．计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 去括号；合并同类项 1. 去括号；合并同类项 1. 1. 1. （二）效果检测答案及解析 1. ×。整式的加减不仅是合并同类项，还包括去括号，去括号是合并同类项的前提，该说法错误。 1. √。去括号正确，该说法正确。 1. √。A - B=，该说法正确。 1. ×。两个整式的和与差都是整式，因为整式加减的结果仍是整式，该说法错误。 1. ×。化简得3a + 3b - 2a + 2b = a + 5b，该说法错误。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 答案 A C 1．A 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且第一个图案中所含六边形的个数为1， 又因为这条小路共用去33块六边形地砖， 所以这条小路由33个图案组成． 因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且第一个图案中所含的正方形个数为6， 所以33个图案中所含正方形的个数为块， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，发现数列每3项为一个周期循环，利用周期性求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， 故选：C． 3．/ 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，先表示出这个两位数的个位数字，再把十位数字乘以10后加上个位数字即可得到答案． 【详解】解：∵一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2， ∴这个两位数的个位数字为， ∴这个两位数为， 故答案为：． 4． 【分析】本题考查了数字类规律探究．根据题目中式子的特点，总结出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 5． B A 22 【分析】本题主要考查列代数式，先根据已知条件列出等式，代入消元，即可求得A，B的大小关系． 【详解】解： 将②代入①，得， 整理：， 得：， 将代入①， 得，整理：， 即B比A长22分米． 故答案为：B，A，22． 6．/ 【分析】本题考查了整式的化简，先去括号，再移项合并同类项，得，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7．/ 【分析】本题考查了位值原则的应用，原三位数可表示为，交换后的新三位数为，作差即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，原三位数可表示为， 交换后的新三位数为， ∴新数减原数的差是， 故答案为：． 8．/ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（1）；（2）；7 【分析】此题主要考查了整式的加减及化简求值，正确合并同类项是解题关键． （1）直接合并同类项得出答案 （2）将原式合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）原式                              ；       （2）原式 当时， 原式 ． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据数轴可得，则，据此去绝对值后，根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$