河南省2024-2025学年高一下学期期末考试数学(北师大版)试题

2024一2025学年（下）高一年级期末考试 数学（北师大版）答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查平面向量的线性运算 解析店-心=访-d=0成 2.答案D 命题透析本题考查三角函数图象的平移变换 解析因为g(x)=(2x-石），所以gx+B)=os2x=x). 3.答案A 命题透析本题考查复数的运算， 解析因为z=5-i,所以+1z2=(5-i)(-i)+4=3-√5i 4.答案C 命题透析本题考查正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算 解析由题意知，过点A,B,C的平面为平面A,BCD,所以这两个儿何体的表面积之和等于正方体的表面积加 上长方形A,BCD,的面积的2倍，正方体的表面积为22×6=24，长方形A,BCD,的面积为2×22=42，所以 这两个几何体的表面积之和为24+82. 5.答案D 命题透析本题考查向量相等。 解析由题意得a=(1,0)+m(-1,2)=(1-m,2m),b=(2,1)+n(0,1)=(2,1+n),由a=b,得 1-m=2, m=-1, 解得 故m+n=-4. 2m=1+n, ln=-3 6.答案C 命题透析本题考查正切的和角公式. 解析因为am0,am(号-）是方程-a-5=0的两个根，所以am0+am(牙-0)=a,aman(号-） tam0+iam号-0 -5,所以an号=tam[0+(号-g]= 1-tan tan(牙-0） 1+5=5,所以a=63 7.答案A 命题透析本题考查常见几何体的结构特征及体积计算。 解析如图，取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥BC,DE⊥BC,且AE=DE=3,所以BC⊥平面ADE,∠AED= 孚分别取A正，DE靠近点E的三等分点F,G,再过点P,G分别作平面MBC与平面DC的垂线，则两垂线的交 sin3 以球0的半径R=V0E+E-√合+1：写所以球0的体积r号×（ 2821m 27 8.答案B 命题透析本题考查三角函数的图象和性质。 解析由题可知(x+2m)=x),所以(x)是周期函数，故①正确：当xe[2km+牙，2km+keZ)时. smx≥msxx)=2inxe[-万，21，-2<-1，放2错误)在[受，]上单调递减，当xe(任，）时。 如<m)在（停2a上单调递减.但2n要。-2<号=- 5π，故③错误. 41 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BD 命题透析本题考查象限角： 解析对于A,m<<2m,0不是第二象限角，故A错误： 对于B,-920°=-3×360°+160°，160°是第二象限角，所以0是第二象限角，故B正确： 对于C,20是第四象限角，则0是第二或第四象限角，故C错误； 对于D,由所给条件可得sin0>0,cos6<0,所以日是第二象限角，故D正确. 10.答案AD 命题透析本题考查圆锥的体积、表面积和二面角，异面直线所成角的求解。 解析对于A,因为圆锥O,O2的轴截面O,AB是边长为4的正三角形，所以O,O2=23,所以该圆锥的体积为 子×m×2×2万8，故A正确； 3 对于B,圆维0,0，的侧面积为×4×2云×2=8，故B错误： 对于C.连接BC,由题知∠B0,C就是要求二面角的平面角，由Qs∠B0,C=名，可得BC=4+-2×4×4× 各=12，所以mLm,G=-2×}-分，即二而角B-00-C的余弦值为-号故C错误： 2×2×2 一2— 对于D,分别取O,O2,OB,O,B,O,C的中点D,E,F,G,如图.则∠EDG或其补角就是异面直线AB与O,C所成 的角，DB=1,DG=2,c=VR+PE:V不5+5=6，所以s∠DG=EE。- 2DE·DG 故D正确。 0 11.答案ACD 命题透析本题考查平面向量运算的综合应用， 解析对于A,因为O亦+B心=O亦+A心，所以O-O亦+B心-A衣=B·(O+O+B·(B武+A心)= B.(O+O成+B元+A心)=2B.O心=0，所以AB⊥0C,故A正确： 对于B,若30+50元=40成立，则30-40=-50元，两边平方得0·0=0，所以010成，这是可能 的，故B错误： 对于C,设0(x,y),A(x1y,),B(2y2),C(xy),则0亦+0亦+0心=3x2-2(x1+2+)x+号+号++ 3y-2(+为+⅓y++分+分，由二次函数的性质知，当x=++名，y=++时.0亦+亦+ 3 3 0心的值最小，此时0为△4BC的重心，Ad=20品，故C正确： 对于D,由题意得，BC=·武 IABIcos∠ABC IACIcos∠ACB =-1BC+1BC=0,所以办.(0元-0)=0，即 A市.O形=A亦.0心，故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案5 命题透析本题考查复数相等. 解析+=1+i,得a-i=（1+)2+=2-b+(2+6)i,所以 2-b=a, 解得a=5.b=-3. 2+b=-1, 13.答案√2+25 命题透析本题考查空间线面位置关系. 解析如图，取A1D,的中点G,连接EG,GD,过点F作GD的垂线，与DD,相交于点M,则FM⊥平面EGCD,所 以FPW⊥ED,且MD=子D,=1,所以FM=5.连接C,D,过点M作C,D的垂线，交CD于点，则MI⊥平面 EC,D,所以MM⊥ED,所以ED1平面FMm,平面FMH就是平面a,且DM=子CD=1,所以MM=2,FM=5, 故所得截面的周长为2+25. —3— A 14.答案5 命题透析本题考查向量的数量积运算 解析由题知B=2,AD=1,∠B1D=号，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐 标系.则2.0.4(3》（行}设5(-2）.)其中2≤≤号≤≤多由 =2成，可得6=-4所以店.亦=+5（出-2）·号=（份-4）+2-2)=-4城+ 12x-3=-4(名-)广+6，所以当=2时证.取得最大值，为5。 ) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查向量的数量积运算 解析(I)因为1a=3, 所以a·(a-b)=a2-a·b=9-a·b=5, 所以a…乃=4，…(4分) 4 所以a1lh1cs(a,b=4,可得b1a1sa.三千 8 3 …(7分)》 3 (Ⅱ)因为12a-b1=213, 所以(2a-tb)2=4a2-4ta·b+2b2=36-16t+ 42=52,… (11分) 即42-91-9=0. 解得1=3或-子 (13分) 16.命题透析本题考查三角恒等变换及三角函数的性质. 解析(）因为m(云-0)=号且m(云-0)=如0， 4 所以sin0= 2 …（(2分)》 因为角0的终边经过点P(3,y%), 所以sin0= Yo 9+后 2, (5分) 解得y。=33. (7分) I)由()得am0=分=5、…- (8分) 所以f八x）=3sin2x+6cos2x=3sin2x+3cos2x+3 =25sim(2x+5）+3 …(10分） 令-号+26m≤2x+号≤受+2m,keZ, 得-晋+6m≤x≤晋+mk后乙， 所以x)的单调递增区间为[一晋+m,音+k],e乙 (13分) 因为-1≤im(2x+号）≤1， 所以3-25≤25im2x+号）+3≤3+25， 即f(x)的值域为[3-23,3+25].… (15分) 17.命题透析本题考查解三角形， 解析(1)由cc0sB=a+sinC及正弦定理得 3 sin Ccos Bsin A+sin Bsin C=sin(BC)in Bin C=sin Beos C+sin Ceos Bsin Bin C 5 5 5 所以sin BeosC+sin Bain C=0, (4分) 5 因为0<B<T,所以si血B≠0，所以csC+i血C=0, (6分) 3 所以anC=-5,C=2 (8分) (Ⅱ)因为C= 4B边上的高为么， 由三角形的面积公式得bsn于：了h, 所以上=3ab (11分) 由余弦定理得c2=a2+2-2 abeos C=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,当且仅当a=b时取“=”， 所以上.3abs3c-区 6 (14分) 5 即么的最大值为 …(15分) 18.命题透析本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质. I cos 30=cos(20+0)cos 20cos 0-sin 20sin 0 =(2cos'0-1)cos 0-2sin20cos 0 =2c0s30-c0s0-2(1-c0s20)c0s0=4c0s30-3c0s8.…(4分） (Ⅱ）设0=18°，则20=90°-30，…(5分) 所以sin20=sin(90°-39)=cos30=4cos30-3cos0, 即2sin0050=4c0s230-3c0s0.…(7分） 因为cos0≠0，所以2sin0=4cos20-3=4(1-sin'0)-3, 整理得4sin28+2sin0-1=0, 解得血0=1生5（负值会去）.即血18°=15 4 …(10分） mI )f(x)cos 3x +cos 2x +1=4cos'x-3cos x +2cos'x cos x(4cosx+2cos x -3). 令f(x)=0,得cosx=0或4c0s2x+2c0sx-3=0,…(12分》 若m=0,则在[0,2m]内=受或x=受， 21 …(13分） 若42x+2sx-3=0,则0sx=-1去压，其中-1压<-l,舍去， 4 4 所以s=1+压，该方程在[0,2m]内有2个实根。 4 因为y=c0sx在[0,2π]内的图象关于直线x=π对称，所以这两根之和为2π，…(15分) 所以)在[0,2m]内有4个零点记为西其中e(0)=号受e(受2)这4个 零点之和，即+书+场+=受+受+2m=4m 2 所以nT=2T×5=10π，n=10,……(16分）》 这20个零点之和为4T+12m+20m+28m+36π=100m.…(17分) 19.命题透析本题考查空间点线面的位置关系。 解析(I)(1)如图，连接AC,与A,C相交于点D,则D为AC,的中点，连接DP, 因为P为BC的中点，所以DP∥AB,…(2分) 因为DPC平面A,CP,ABd平面A,CP, 所以AB∥平面ACP.…(4分) 6 (ⅱ)因为P为BC,的中点，所以点B到平面A,CP的距离与点C,到平面A,CP的距离相等，设为h. 因为三棱柱ABC-A,B,C,为直三棱柱，所以CC,⊥BC, 又AC⊥BC,ACnCC,=C,所以CB⊥平面ACC,A1, 所以点P到平面4，CC的距离为时BC=子 又Ac=7=5,n=m=4c=0m=号a=9 所以等腰△cP的面积为7×P×√m-(宁m=寸×受×√（受-（图=名 所以△A,CP的面积为， (9分) 由%0=4西得时×h×子=石解得么=子 (10分) (I)如图，易得CC,⊥A,C,A,C1⊥BC, 因为CC,∩CB=C,CC,CBC平面CBB,C,所以A,C,⊥平面CBB,C, 因为CPC平面CBBC,,所以AC⊥CP, 因为CP⊥BC,且BC,∩A,C,=C,BC,A,C,C平面A,C,P, 所以CP⊥平面A,C,P. 因为CPC平面A,CP,所以平面A,CP⊥平面A,C,P. …(12分) 因为CP⊥BC,所以∠PCB+∠PBC=90°， 因为∠CC,B+∠PBC=90°，所以∠CC,B=∠PCB, 又∠C,CB=∠CBE=90°，所以△C,CB∽△CBE, 所u品子底得 (15分) 所以4，E=A6+B,E=√()+(2-) 17 21 …(16分） 又点E到平面ACC,A,的距离为BC=1, 所以直线4，E与平面ACC,A所成角的正弦值为上=2页 17 17· …(17分） 2 B 7绝密★启用前 试卷类亚：北师大版 2024一2025学年（下）高一年级期末考试 数学 考生注意： 【,答想前，考生务必务自己的林名专生学氧写在试表和客想十上，并将考生号条对局帖 慧在答勇卡上的指定位置 2,回答选择题时，选出吾小题签家后，用铅笔把签题卡叶应题自的家策标号涂某如霄改 动，用惊发擦干净后，再选涂易艳答案标号，阳答非选择想时将等常写在客避卡上，耳 在素试喜上无处 3,考认站来后，非衣试喜和答趋卡一并文回 一，单豪选择题：本驱共8小题，每小题5分，共40分在每小驱给出的四个选项中，只有一项 梨 是符合题日要求的 1.在平行四边形中，4C与D相交于点0，期丽-记 A B0丽 c元 D.0 2要得到闲数代)=2：的閩象，可把函数)=一2一引的图象 A向右平移若个单位长度 且向右平移晋个单位长度 G向左平移个单位长度 队向左平移壳个单位长皮 3.若x=3-i.则+= A3-3i B.1-3用 C.3+.3i D.5+3 4,已知正方体ACD-A,B,G,)的棱长为2，过点A,形.C的平面把该正方体分热成两个几句 体，则这两个儿何体的表面积之和为 1.24+42 H24+43 C24+82 .24+83 5,已知向量a=(10)+m(-12),meR,b=《2,1)+n(0,1),neR,若a=b.则m+划= L4 B.2 C.-2 .=4 6若一，a叫得-是方程子-u-5=0的两个机则：的值为 L4,3 B.-4万 .63 D.-6v3 数学（北师大版）试题第1页（共4真） 7,已知在三棱能A-D中，△AC与△D都是边长为2的正三角形，AD=3,若点A,B,C D都在球0的表面上，则球)的体积为 A282红行 B.28/2T C 1/2In D.2/2Tn 27 27 8.已知数凡》= 户加1，血m上给出下列结论①风x)是媾期函数：2)的最小整 -6sx,smE《cmI, 是-1：③歌在区间（受，2上单调遥减其中正确结论的个板为 A.D B1 C2 03 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的进项中，有多项行合题 目要求，全郎迹对的得6分，朝分遗对的得部分分，有选错的得0分. 9.满足下列各条件的？是第二象限角的有 A09 B.0=-920 C.20品第四象悬角 D空，leZ,且lmla-lol8-l 0.知图，在圆靠0，)中，轴截而0，AB是边长为4的正三角形，点C在底面阅周上，且 人风医B%的体积为3 B,国锥)0的侧血积为4： C二面角B-0%-C的条弦镇为-号 取异面线裙与0，C所藏角的余独值为好 1.已知在△A中.B.C≠，D,E分别是边C.AC上的点（不包新点），且AD,E交于点 .划下列结论正确的是 A.若+配心=D丽+心.测10C B.若0是△C的外心，测3+50元=40丽不可能成立 .确定的△4C.背+0店，0心的值最时，A0=20历 D若点P满足证= A AC 则亦.丽-正.元 AB1nm∠A8C1ACm∠B 数学（北年大质）试题第2页（共4页） 三，填空置：本题共3小驱，每小题5分，共15分 2若aeR且1+i则a 3.如图，在校长为4的正方体ABD-A,,C,D,中，点E,F分划为棱B,C,AD的中点，过点 F作与DE垂直的平面a,期：截正方体乐得截顶的周长为 14已知在平行国边形M动中，AB=2.0=1,∠D=胃.点6，F分器在边C,D上， C1=2.期花·A不的最大值为 四，解答蹶：本题共5小弧，共刀分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤， 5《3分) 已知平面向量a,请足a=3,a·(a-的=5.(a,b》一寻 1)求ab,1h1: 《Ⅱ)若12a-b1=2√13，求实数：的值 16.415分) 已知角0的终边经过点P3x.1m一)= 2 《I)求u: 《Ⅱ)求雨数尺)=■m2r+6年的单调递增区间及值线 数学（北师大版）试盟第3真（共4页） 7.(15分》 已知在△中，内角4，B,C的对边分圳为，，c,且m屏=+血气 (I求C ()若A情边上的高为A.求套的是大值 18.(17分) (1）证用：%30=4=W-3es: (Ⅱ)利用取1)中的结论求n8的值； (Ⅱ》若函数八x)=%3r+s3x+1在K[0T】.库gN”内恰有20个零点，求n的值 及这20个零点之和 9.(17分》 如图，在直三极柱AC-A,BC中，AG⊥BC,AC=C1,CC-2.点P在线段C,上.： (1》若P为C的中点 (i}求证：4B平而CP (日求点B到平面A,P的距离. (目》若P上C,CP的延长线与直线阴相交于点E,正明平面 A,CP1平库A,CP,并求直线A,E与平而AGCA,所成角的正 弦植 数学（北师大版}试题第4真（共4真）