2.3 二次根式 （1） (概念、性质及应用) 导学案 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

2.3 二次根式 （1） (概念、性质及应用) 导学案 【学习目标】了解二次根式和最简二次根式的概念，【学习重难点】能将二次根式化简为最简二次根式； 【导学过程】一.知识回顾: 1.9的算术平方根式是___，7的算术平方根是______. 2.0有算术平方根吗？负数呢？答：_________________________________________. 3.正数a的算术平方根是：_______4.由算术平方根的非负性得：__________，_________. 二.探究新知： 引入;观察式子，，，，（c≥b≥0），上述式子有什么共同特征？ 答：__________________________________. 定义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式.a叫做被开方数. 概念理解：下例式子哪些是二次根式：,, 解：二次根式：_____________________________. 做一做： （1）＝___，＝___；∴=________. （2）＝___，＝_____；∴=__________ （3）＝____，＝_____；∴______. （4）＝____，＝____．∴=_____. 归纳结论:1.,2.. 语言表达：积的算术平方根，等于_____________;商的算术平方根，等于____________. 三.典例与练习： 例1.化简（1）；（2）；（3） 解：(1)原式= （2）原式= （3）原式= . 练习1.化简：(1) (2) (3)； (4) ； (5) 解：（1）原式= ，（2）原式= ，（3）原式= ，(4)原式= ，（5）原式= . 例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 解：（1）原式= ，（2）原式= ，（3）原式= ，(4)原式= ，（5）原式= . 经验总结1：________________________________________________________________________. 练习2.（1），（2），（3），（4），（5） 解：(1)原式= ，（2）原式= ，（3）原式= ， （4）原式= ，（5）原式= . 例3.化简，使分母中不含有二次根式，且二次根式中不含有分母. （1）. （2） （3） （4） (5) 解：（1）原式= ,（2）原式= ,（3）原式= ,（4）原式= ,（5）原式= . 经验总结2：______________________________________________________________________________. 练习3.（1） （2） （3） （4） 解：（1）原式= ，（2）原式= ，（3）原式= ,（4）原式= . 概念：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 四.课堂小结： 1.二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 2.二次根式的性质：①,②,③,④ 3.分母有理化：(a>0)，4.用性质和分母有理化把二次根式化为最简二次根式. 五.分层过关： 1.化简的结果是（ ）A. B. C. D. 2.化为最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 3.一个直角三角形的斜边长为15,一条直角边长为10,求另一条直角边的长为（ ） A B.5 C. D. 4.小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②•=5a；③a=；④÷=4．做错的题是（　　）A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（　　） A. B. C. 2 D. 5 6.要使式子有意义的最小整数m是________; 7.边长为8cm的等边三角形中，一边上的高为________cm. 8.使是整数的最小正整数n=_____． 9.把下列各式化成最简二次根式：=_______；=______；=________． 10.直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为___________． 11.化简：（1）；（2）；（3）；（4） ． 解：（1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）= . 12.设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求 的值． 解： 13.观察下列各式及其验算过程： =2，验证：===2； =3，验证：===3； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 解： www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次根式 （1） (概念、性质及应用) 导学案 【学习目标】了解二次根式和最简二次根式的概念， 【学习重难点】能将二次根式化简为最简二次根式； 【导学过程】一.知识回顾: 1.9的算术平方根式是_3_，7的算术平方根是__. 2.0有算术平方根吗？负数呢？答：0有算术平方根是0.负数没有算术平方根. 3.正数a的算术平方根是：.4.由算术平方根的非负性得：, 二.探究新知： 引入;观察式子，，，，（c≥b≥0），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 定义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式.a叫做被开方数. 概念理解：下例式子哪些是二次根式：,, 解：二次根式：, 做一做： （1）＝6，＝6； ∴= （2）＝20，＝20； ∴= （3）＝，＝； ∴= （4）＝，＝．∴= 归纳结论:1.,2.. 语言表达：积的算术平方根，等于各因式算术平方根之积;商的算术平方根，等于各因式算术平方根之商. 三.典例与练习： 例1.化简（1）；（2）；（3） 解：(1)原式=×=9×8=72 （2）原式==5 （3）原式= 练习1.化简：(1) (2) (3)； (4) ； (5) 解：（1）原式=21，（2）原式=4，（3）原式=12，解：(4)原式=，（5）原式=0.13 例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 解：（1）原式==3，（2）原式=2，（3）原式=3，(4)原式=2，（5）原式=2 经验总结1：先把45分解质因数得:45=3×3×5=32×5,再化简=. 练习2.（1），（2），（3），（4），（5） 解：(1)2，（2）原式=3，（3）原式=2，（4）原式=4，（5）原式=4 例3.化简，使分母中不含有二次根式，且二次根式中不含有分母. （1）. （2） （3） （4） (5) 解：（1）原式==,（2）原式=,（3）原式==,（4）原式=,（5）原式= 经验总结2：把被开方数的分子分母同时乘以分母3，即得. 练习3：（1） （2） （3） （4） 解：（1）原式=，（2）原式=，（3）原式=（4）原式= 概念：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 四.课堂小结： 1.二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 2.二次根式的性质：①,②,③,④， 3.分母有理化：(a>0)， 4.用性质和分母有理化把二次根式化为最简二次根式. 五.分层过关： 1.化简的结果是（ C ）A、 B、 C、 D、 2.化为最简二次根式是（ B ）A、 B、 C、 D、 3.一个直角三角形的斜边长为15，一条直角边长为10，求另一条直角边的长为（ A ） A B.5 C. D. 4.小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②•=5a；③a=；④÷=4．做错的题是（　D　）A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（　C　）A. B. C. 2 D. 5 6.要使式子有意义的最小整数m是_3_; 7.边长为8cm的等边三角形中，一边上的高为__4__cm. 8.使是整数的最小正整数n=_3． 9.把下列各式化成最简二次根式：=__；=__；=__． 10.直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为_5或_． 11.化简：（1）；（2）；（3）；（4） ． 解：（1）=；（2）==4； （3）=；（4）==． 12.设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求 的值． 解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，∴a﹣3=0，b﹣1=0， 解得a=3，b=1，∴== ． 13.观察下列各式及其验算过程： =2，验证：===2；=3，验证：===3； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 解：（1）∵ =2，=3，∴=4=4=，验证：==，正确； （2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴，验证：==,正确. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$