专题2 三角形中双角平分线模型2025-2026学年人教版数学八 年级上册

专题2 三角形中双角平分线模型 【人教版2024】 【模型1 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【典题练习】 【例1】如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义求出的值，后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解： 平分，（已知）， ． 同理可得． 在中，三角形三个内角和等于， ， （等式的性质） ． 【练1】如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【模型2 一内角一外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【典题练习】 【例2】【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）设，由角平分线定义得，，， ，由三角形外角定理得，，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：； （2） 和是邻补角， ． 平分，平分， ，， ， 即， ． 由（1），可知， ． 【练2.1】如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 【练2.2】如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 【模型3 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【典题练习】 【例3】如图1，已知点A，B（均不与点O重合）分别在∠MON的边ON，OM上，AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD与BC相交于点C. (1)如图1，若，求∠ACB的度数； (2)如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟减少，经过t秒（）后，∠MON与∠ACB的度数相等，求此时t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的性质、三角形外角和内角的关系可得到∠CAB +∠ABC与∠MON的关系，再利用及三角形的内角和定理得结论． （2）先用含t的代数式表示出秒后∠MON的度数，再根据（1）中推导过程得到∠ACB与∠MON的度数关系，根据t秒后∠MON与∠ACB的度数相等列出关于t的方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示， ∵， ∴, ∵，， ∴． ∵AD平分，BC平分， ∴，． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图②所示；经过t秒后，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当与的度数相等时，， 解得． 所以，t的值为3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解决本题的关键． 【练3】如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线可得，同理，再根据四边形内角和即可得的度数． 【详解】解：方法一： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 方法二： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 同理可得： 在四边形中，根据内角和为 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练运用角平分线是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 三角形中双角平分线模型 【人教版2024】 【模型1 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【典题练习】 【例1】如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【练1】如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【模型2 一内角一外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.②，把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,即∠D=∠A. 【典题练习】 【例2】【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【练2.1】如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【练2.2】如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【模型3 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【典题练习】 【例3】如图1，已知点A，B（均不与点O重合）分别在∠MON的边ON，OM上，AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD与BC相交于点C. (1)如图1，若，求∠ACB的度数； (2)如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟减少，经过t秒（）后，∠MON与∠ACB的度数相等，求此时t的值. 【练3】如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$