专题1 角度计算的常见模型2025-2026学年人教版数学八年级上册

专题1 角度计算的常见模型 【人教版2024】 【模型1 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【典题练习】 【例1】一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理可得，即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：． 【练1】如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．求： （1）∠A的度数； （2）∠C的度数． 【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠A的度数； （2）依据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数． 【详解】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知）， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵∠A＝∠ABD（已知）， ∴∠A＝75度．（等量代换）． 故答案为：∠A，∠ABD，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，75． （2）∵∠A+∠ABC+∠C＝180度（三角形的内角和等于180°）， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）． 又∵∠ABC＝85°， ∴∠C＝20度． 故答案为：180，三角形的内角和等于180°，20． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【模型2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【典题练习】 【例2】材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： (1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)Ⅰ．50；Ⅱ． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用． 根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案． Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以； Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图 连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得 ， ， 又∵， ∴； （2）解：Ⅰ． 由（1）可得，； 又∵， ∴， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴． 【练2】如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 【模型3 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【典题练习】 【例3】我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； (2)【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)100° 【分析】（1）先证明△AOE和△COD是对顶三角形，得到∠OAE+∠OEA=∠C+∠D，再由∠EAO=∠C，∠D=2∠B，推出∠OEA=2∠B，即可利用三角形外角的性质证明∠B=∠BAE； （2）由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC，则∠BDO-∠OEC=20°，证明∠A+∠DOE=180°，如图所示，连接AO，推出∠ADO+∠AEO=180°，进而证明∠BDO=∠AEO，推出∠BDO+∠OEC=180°，即可求出∠BDO=100°． 【详解】（1）证：∵△AOB和△COD是对顶三角形， ∴∠AOB=∠COD， ∴△AOE和△COD是对顶三角形， ∴∠OAE+∠OEA=∠C+∠D， ∵∠EAO=∠C， ∴∠D=∠OEA， ∵∠D=2∠B， ∴∠OEA=2∠B， 又∵∠OEA=∠B+∠BAE， ∴∠B=∠BAE； （2）解：由题意得：∠ECD-∠BDE=20°， 由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC， ∴∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°， ∵∠BOD=∠A，∠BOD+∠DOE=180°， ∴∠A+∠DOE=180°， 如图所示，连接AO， ∴∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠AOE+∠AEO+∠EAO=180°， ∴∠A+∠DOE+∠ADO+∠AEO=360°， ∴∠ADO+∠AEO=180°， ∵∠AEO+∠OEC=∠BDO+∠ADO=180°， ∴∠BDO=∠AEO， ∴∠BDO+∠OEC=180°， ∵∠BDO-∠OEC=20°， ∴∠BDO=100°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确理解题意掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【练3】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 ． 【答案】208° 【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 【详解】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°． 故答案为208°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 角度计算的常见模型 【人教版2024】 【模型1 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【典题练习】 【例1】一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【练1】如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．求： （1）∠A的度数； （2）∠C的度数． 【模型2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【典题练习】 【例2】材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： (1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 【练2】如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模型3 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【典题练习】 【例3】我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； (2)【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 【练3】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$