第十三章 三角形综合能力测评卷2025-2026学年人教版数学八 年级上册

第十三章 三角形综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 2．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B．C．D． 4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段 AD 应该是ABC 的 A．角平分线 B．中线 C．高 D．任意一条线 6．已知的三个内角的大小关系为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 7．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时， 保持不变．大雄躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：该躺椅不合格． 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数也会减少． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 9．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A．42° B．40° C．38° D．35° 10．如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，MN∥CD，点A，B在直线MN上，连接AD，BC交于点O，若∠C＝30°，∠MAD＝140°，则∠AOB＝ ． 12．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ．    13．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，则的度数为 ． 14．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 ． 15．如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 17．（8分）已知是的三边长，，设的周长为． (1)求的取值范围； (2)若是小于的偶数，试判断的形状． 18．（8分）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 19．（9分）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．    (1)若，则_______； (2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确． 20．（10分）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点F，，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：． 21．（12分）我们定义： 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形” 概念理解： 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）    (1)的度数为______，______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展： 在图2中画出：点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形综合能力测评卷 【人教版2024】 时间：80分钟 满分100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 2．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设米， 根据题意，得， ∴， 观察各选项，选项A不符合， 故选：A． 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 5．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段 AD 应该是ABC 的 A．角平分线 B．中线 C．高 D．任意一条线 【答案】B 【分析】根据三角形中线性质，三角形中线把三角形的面积平均分成两份. 【详解】解：因为三角形中线把三角形的面积平均分成两份， 故选择：B. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握中线的性质. 6．已知的三个内角的大小关系为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据∠A、∠B、∠C之间的关系结合三角形内角和定理即可得出∠A=90°，进而可得结论． 【详解】解：∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B+∠C， 即2∠A=180°，∠A=90°． ∴△ABC为直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，求出∠A的度数是解题的关键． 7．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线．延伸直线a，b交于点，根据，，可求出，，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图，延长直线a，b相交于点， ，， ，， ， 直线a，b所夹锐角的度数为， 故选：B． 8．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时， 保持不变．大雄躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：该躺椅不合格． 结论Ⅱ：若的度数减少，的度数也会减少． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， 按规定，，， ， 该躺椅不合格， 故结论Ⅰ正确； ， ， 若的度数减少，的度数也会减少， 故结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ、Ⅱ都正确 故选：D ． 9．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A．42° B．40° C．38° D．35° 【答案】B 【分析】根据、分别是的外角和外角的平分线，得出，，根据，得出，根据，，得出，最后根据三角形的内角和，得出． 【详解】解：∵、分别是的外角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和领补角的定义求出． 10．如图，在中，E，F分别是，上的点，且，是的平分线，分别交，于点H，D，则、和之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和外角的性质以及角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵、分别是和的外角，平分， ∴①， ， 则②， 把②代入①，得， 整理，得，即，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角和，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，MN∥CD，点A，B在直线MN上，连接AD，BC交于点O，若∠C＝30°，∠MAD＝140°，则∠AOB＝ ． 【答案】110° 【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠ABC=30°，由平角为180°得∠BAO=40°，根据三角形内角和为180°，得∠AOB=110°． 【详解】解：∵MN∥CD， ∴AB∥CD， ∠ABC=∠BCD=30°， ∵∠MAD=140°， ∴∠BAD=180°-∠MAD=180°-140°=40°， ∵∠AOB+∠BAO+∠ABO=180°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-40°-30°=110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解本题的关键，熟练掌握平行线的性质，即两直线平行，内错角相等． 12．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ．    【答案】75°/75度 【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图，    ∵∠2=90°-30°=60°， ∴∠3=180°-45°-60°=75°， ∵a∥b， ∴∠1=∠3=75°， 故答案为：75°． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 13．如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，则的度数为 ． 【答案】108°/108度 【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出∠B，然后根据平行线的性质，即可求出∠ADE，再根据折叠的性质可得∠ADE=，从而求出． 【详解】解：在△ABC中，∠C=120°，∠A=24°， ∴∠B=180°－∠C－∠A=36° ∵DEBC， ∴∠ADE=∠B=36°， 根据折叠的性质：∠ADE==36°， ∴=180°−∠ADE−=108°， 故答案为：108°． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质． 14．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 ． 【答案】10 【分析】由三角形的中线得，， 即可得出结论． 【详解】解：,，是的中线， ，，， 阴影部分面积之和 ． 【点睛】本题考查三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 15．如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线和高线的定理、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图∶当时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 【答案】(1)4个 (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 17．（8分）已知是的三边长，，设的周长为． (1)求的取值范围； (2)若是小于的偶数，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形三边关系求得的范围，进而求得的范围； （2）根据的范围，确定的值，继而判断的形状，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三边长，， ∴， 即， ∵的周长为， ∴ ， ∴； （2）解：∵，且是小于的偶数， 则或， 当时，， 当时，， ∵， ∴或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键． 18．（8分）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 19．（9分）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．    (1)若，则_______； (2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确． 【答案】(1) (2)小明的说法正确，理由见解析 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用角的和差即可求出； （2）根据（1）的思路求出，即可作出判断． 【详解】（1）∵，，， ∴, ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ， ， ∴； （2）∵是的平分线， ． 是高线， ， ， ． 由可知：的度数与的具体数值无关，只和与的差值有关， 故小明的说法正确． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键． 20．（10分）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点F，，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质推出． （1）根据直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由三角形外角的性质得到； （2）由平行线的性质，垂直的定义推出，根据直角三角形的性质及角的和差即可推出． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， 平分， ， ， ． 21．（12分）我们定义： 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形” 概念理解： 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）    (1)的度数为______，______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展： 在图2中画出：点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“和谐三角形”的概念判断； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可； （3）根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“和谐三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为“和谐三角形”， 故答案为：；是； （2）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是“和谐三角形”； （3）解：如图所示，即为所求；      ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， ∵， ∴或． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$