第04讲 三角形的内角和外角2025-2026学年人教版数学八 年级上册

第04讲 三角形的内角和外角 【人教版2024】 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【典题练习】 【例1】在中，，判断是什么形状？ 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 【练1.1】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 【练1.2】如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出； （2）先求出，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ， ， ， ， ， ∴； （2），， ， ， ， ． 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【典题练习】 【例2】把下面的证明过程补充完整： 已知：如图，在中，，，垂足为，求证：．    证明：在中， ∵（    ）， ∴（    ）． ∵______（已知）， ∴（    ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴______（直角三角形的两个锐角互余）． ∴（    ）． 【答案】已知，直角三角形的两个锐角互余，，垂直的定义，，同角的余角相等． 【分析】此题考查了直角三角形的性质，三角形的高，同角或等角的余角相等，根据知识即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）． ∵（已知）， ∴（ 垂直的定义 ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴ （直角三角形的两个锐角互余）． ∴（同角的余角相等）． 【练2】如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形    【答案】见解析 【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得；再求出，进而得到，再判定即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 【知识点 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【典题练习】 【例3】如图，中，，，E是边上一点，交的延长线于点D，交于点F，．求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平角的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． 【练3】如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，则与互余的角有（    ）    A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】利用余角的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴与互余的角有和， 故选D． 【点睛】本题考查余角的定义，解题的关键是掌握和为的两个角互为余角． 2.如图，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 3.在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠C＝28°，则∠CDE＝ °． 【答案】34 【分析】根据直角三角形的两锐角互余和折叠性质求出∠AED=∠B=62°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝28°， ∴∠B=90°﹣∠C=90°﹣28°=62°， 由折叠知∠AED=∠B=62°， ∵∠AED=∠C+∠CDE， ∴∠CDE=62°﹣28°=34°， 故答案为：34． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余、折叠性质、三角形的外角性质，熟练掌握折叠性质和三角形的外角性质是解答的关键． 5.在ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数． 【答案】∠A=99°，∠B=33°，∠C=48° 【分析】设∠B=x，则∠A=3x，∠C=x+15，再由三角形内角和定理求出x的值即可． 【详解】解：设∠B=x，则∠A=3x，∠C=x+15， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴x+3x+x+15=180， 解得：x=33， ∴∠A=99°，∠B=33°，∠C=48°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定义，难度不大，关键是运用方程思想进行解题． 6.共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴． 【提升关】 7.如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得， ，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将三角形纸片沿BD折叠， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 8.将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是 ．    【答案】/40度 【分析】利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，在中， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键． 9.如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且∠，． 的度数______________． 【答案】 10.如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线有关计算： （1）根据，可得，再根据邻补角的性质解答，即可； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再结合角平分线的定义，可得，再由三角形的内角和定理以及解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形的内角和外角 【人教版2024】 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【典题练习】 【例1】在中，，判断是什么形状？ 【练1.1】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【练1.2】如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数；(2)点F在上，连接．若，请说明：． 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【典题练习】 【例2】把下面的证明过程补充完整： 已知：如图，在中，，，垂足为，求证：．    证明：在中， ∵（    ）， ∴（    ）． ∵______（已知）， ∴（    ）． ∴是直角三角形（直角三角形的定义）． ∴______（直角三角形的两个锐角互余）． ∴（    ）． 【练2】如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形    【知识点 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【典题练习】 【例3】如图，中，，，E是边上一点，交的延长线于点D，交于点F，．求的大小． 【练3】如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，则与互余的角有（    ）    A． B． C． D．和 2.如图，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3.在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠C＝28°，则∠CDE＝ °． 5.在ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数． 6.共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【提升关】 7.如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8.将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是 ．      9.如图，在中，，D、E、F分别为边、、上的点，且∠，． 的度数______________． 10.如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$